研究生考试数二题型总结学习笔记.doc

研究生入学考试数二总结高等教学 78%线性代数 22%单项选择题 8小题，每小题4分，共32分填空题 6小题，每小题4分，共24分解答题(包括证明题) 9小题，共94分Part 1.高等数学上册第1章 ：函数与极限考试重点题型必考题型：极限的求法第2章 ：导数与微分：隐函数及由参数方程所确定的函数的导数第六章：定积分的应用考试重点题型必考题型：定积分在几何学上的应用下册第八章：多元函数微分法及其应用：隐函数求导、多元函数求极值最值、多元复合函数求导第九章：重积分：二重积分累次积分法、二重积分的应用第十二章：微分方程【考研题型总结】专题一：二重积分（重点：累次积分法）二重积分的求法：利用直角坐标系计算二重积分：定限口诀：后积先定限（累次积分中后积变量的上下限均为常数）限内画条线（该直线坐标轴且同向）先交下限写，（上下限或者为常数或者后积分变量的函数）后交上限写。选择积分次序的原则：先积容易的积分，并能为后面积分创造条件；对积分区域D的划分，块数越少越好。积分区域的形式：X-型区域D的特点：穿过D内部且平行于y轴的直线与D的边界相交不多于两点；X-型区域D选用公式 也可写成 即先对y,后对x的二次积分。Y-型区域D的特点：穿过D内部且平行于x轴的直线与D的边界相交不多于两点； Y-型区域D选用公式 也可写成 即先对x,后对y的二次积分。利用极标系计算二重积分：专题二：定积分定积分的应用：（平面图形的面积、体积、平面图形的弧长）一、利用定积分求平面面积：直角坐标情形：由曲线（）及直线与轴所围成的曲边梯形的面积A是定积分，其中被积表达式为就是直角坐标下的面积元素，它表示高为、底为的一个矩形面积。 （直角坐标求面积基础）极坐标情形：圆扇形面积公式： （极坐标求面积基础）极坐标下曲边扇形面积公式：2、 利用定积分求体积：求旋转体的体积：平行截面面积为已知的立体的体积：3、 利用定积分求光滑曲线弧的弧长：曲线弧由参数方程确定，其中上具有连续导数.（弧微分）即弧长元素为：于是弧长为：（定积分求弧长的基础）当弧长由直角坐标方程给出，其中上具有一阶连续导数，这时曲线弧有参数方程，利用参数方程求弧长公式得到弧长为： （x为积分变量）当曲线弧由极坐标方程确定，其中上具有连续导数，则由直角坐标与极坐标的关系可得：，这就是以极角为参数的曲线弧的参数方程.于是，利用参数方程下求弧长的公式可得弧长为：专题二：微分方程 微分方程求法：微分方程的种类：可分离变量的微分方程：一般地，如果一个一阶微分方程能写成的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含y的函数和dy,另一端只含x的函数和dx,那么原方程就称为可分离变量的微分方程。解法:齐次方程：如果一阶微分方程中的函数可写成的函数，即，就称这方程为齐次方程。解法：在齐次方程中，引进新的未知函数，就可以化为可分离变量的方程。因为有，将代入齐次方程中，即有，即，分离变量的可化为齐次方程的非齐次方程：方程，当时是齐次的，否则不是齐次的。在非齐次的情形，可用下列变换把它化为齐次方程。非齐次解法：首先化为齐次方程，即令（其中h,k为待定的常数），于是有，从而非齐次方程成为，如果方程组的系数行列式不等于零，那么可以定出使它们满足方程组。这样非齐次方程可以化为齐次方程。求出齐次方程的通解后，在通解中以，便得到非齐次方程的通解。另外的解法参照高等数学（下册）（同济大学应用数学系主编）一阶线性微分方程：方程叫做一阶线性微分方程（因为它对于未知函数及其导数是一次方程）。如果，则一阶线性微分方程称为齐次的。如果不恒等于零，则一阶线性微分方程称为非齐次的。 一阶齐次线性微分方程：即，即解法： 一阶非齐次线性微分方程：（一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和）解法：可降阶的高阶微分方程： 型的微分方程： y=f(x,y)型的微分方程： y=f( y,y)型的微分方程：高阶线性微分方程：1. 二阶齐次线性方程：2. 二阶非齐次线性方程：3.专题三：线性代数（矩阵及行列式）有关矩阵的求法：（必考题型，）专题四：极限有关题型一、极限运算需熟练记忆运用的知识点： （亦可用洛必达法则运算） 常用的等价无穷小：当时， 2、 有关极限的题型1、专题五：极值及最值问题专题六：参数方程求导及复合函数求导专题七：其他考试题型如何求拐点：一般的，设在区间I上连续，是I的内点。如果曲线在经过点时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点为这曲线的拐点。(1) 求；(2) 令,解出这方程在区间I内的实根，并求出在区间I内不存在的点；(3) 对于（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点，检查在左、右两侧邻近的符号，那么当两侧的符号相反时，点是拐点，当两侧的符号相同时，点不是拐点。专题八：渐近线1、斜渐近线定义：如果存在直线：，使得当时，曲线上的动点（x,y）到直线L的距离，则称L为曲线的渐近线。当直线L的斜率时，称L为斜渐近线。直线：为曲线的渐近线的充分必要条件是2、 铅直渐近线定义：一般地说，如果，则直线是函数的图形的铅直渐近线。专题八：间断点的判断及求法专题九：高等数学课后经典习题总结第一章习题181、 讨论函数的连续性，若有间断点，判别其类型。 （考试题型求间断点及判明类型）连续的三个要素为：有定义、有极限、极限值等于函数值。这三个要素主要部分是有极限。对分段函数要考虑左、右连续。判断间断点的类型主要讨论该点的左、右极限。判断函数连续的方法:参见高等数学辅导P46。2、3、高等数学重