2017_18学年高中数学第一章名师讲义.docx

1.1正弦定理和余弦定理11.1正弦定理预习课本P35，思考并完成以下问题 (1)直角三角形中的边角之间有什么关系？ (2)正弦定理的内容是什么？利用它可以解哪两类三角形？ (3)解三角形的含义是什么？ 1正弦定理在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即.点睛正弦定理的特点(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化2解三角形一般地，把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)正弦定理适用于任意三角形()(2)在ABC中，等式bsin Aasin B总能成立()(3)在ABC中，已知a，b，A，则此三角形有唯一解()解析：(1)正确正弦定理适用于任意三角形(2)正确由正弦定理知，即bsin Aasin B.(3)错误在ABC中，已知a，b，A，此三角形的解有可能是无解、一解、两解的情况，具体情况由a，b，A的值来定答案：(1)(2)(3)2在ABC中，下列式子与的值相等的是()A. B.C. D.解析：选C由正弦定理得，所以.3在ABC中，已知A30，B60，a10，则b等于()A5 B10C. D5解析：选B由正弦定理得，b10.4在ABC中，A30，a3，b2，则这个三角形有()A一解 B两解C无解 D无法确定解析：选Aba，A30，Bb，AB45.A60或120.当A60时，C180456075，c；当A120时，C1804512015，c.综上可知：A60，C75，c或A120，C15，c.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论 活学活用在ABC中，c，C60，a2，求A，B，b.解：，sin A.A45或A135.又ca，CA.A45.B75，b1.三角形形状的判断典例在ABC中，acosbcos，判断ABC的形状解：法一化角为边acosbcos，asin Absin B由正弦定理可得：ab，a2b2，ab，ABC为等腰三角形法二化边为角acosbcos，asin Absin B.由正弦定理可得：2Rsin2A2Rsin2B，即sin Asin B，AB.(AB不合题意舍去)故ABC为等腰三角形利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径(1)化角为边将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如ab，a2b2c2等，进而确定三角形的形状利用的公式为：sin A，sin B，sin C.(2)化边为角将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状利用的公式为：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C活学活用在ABC中，sin2Asin2Bsin2C，且sin A2sin Bcos C试判断ABC的形状解：由正弦定理，得sin A，sin B，sin C.sin2Asin2Bsin2C，222，即a2b2c2，故A90.C90B，cos Csin B.2sin Bcos C2sin2Bsin A1.sin B.B45或B135(AB225180，故舍去)ABC是等腰直角三角形层级一学业水平达标1在ABC中，a5，b3，则sin Asin B的值是()A. B.C. D.解析：选A根据正弦定理得.2在ABC中，absin A，则ABC一定是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰三角形解析：选B由题意有b，则sin B1，即角B为直角，故ABC是直角三角形3在ABC中，若，则C的值为()A30 B45C60 D90解析：选B由正弦定理得，则cos Csin C，即C45，故选B.4在ABC中，a3，b5，sin A，则sin B()A. B.C. D1解析：选B在ABC中，由正弦定理，得sin B.5在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且absin A，则sin B()A. B.C. D解析：选B由正弦定理得a2Rsin A，b2Rsin B，所以sin Asin Bsin A，故sin B.6下列条件判断三角形解的情况，正确的是_(填序号)a8，b16，A30，有两解；b18，c20，B60，有一解；a15，b2，A90，无解；a40，b30，A120，有一解解析：中absin A，有一解；中csin Bbb，有一解；中ab且A120，有一解综上，正确答案：7在ABC中，若(sin Asin B)(sin Asin B)sin2C，则ABC的形状是_解析：由已知得sin2Asin2Bsin2C，根据正弦定理知sin A，sin B，sin C，所以222，即a2b2c2，故b2c2a2.所以ABC是直角三角形答案：直角三角形8在ABC中，若A105，C30，b1，则c_.解析：由题意，知B1801053045.由正弦定理，得c.答案：9已知一个三角形的两个内角分别是45，60，它们所夹边的长是1，求最小边长解：设ABC中，A45，B60，则C180(AB)75.因为CBA，所以最小边为a.又因为c1，由正弦定理得，a1，所以最小边长为1.10在ABC中，已知a2，A30，B45，解三角形解：，b4.C180(AB)180(3045)105，c4sin(3045)22.层级二应试能力达标1在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果ca，B30，那么角C等于()A120 B105C90 D75解析：选Aca，sin Csin Asin(18030C)sin(30C)，即sin Ccos C，tan C.又0Cb2c2，则ABC一定为钝角三角形()(3)在ABC中，已知两边和其夹角时，ABC不唯一()(4)公式Sabsin C适合求任意三角形的面积()解析：(1)正确余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形(2)正确当a2b2c2时，cos A0.因为0A，故A一定为钝角，ABC为钝角三角形(3)错误当ABC已知两边及其夹角时可利用余弦定理求得第三边长且唯一，因此ABC唯一确定(4)正确，Sabsin C适合求任意三角形的面积答案：(1)(2)(3)(4)2在ABC中，已知a9，b2，C150，则c等于()A. B8C10 D7解析：选D由余弦定理得：c7.3已知ABC的面积为，且b2，c，则A的大小为()A60或120 B60C120 D30或150解析：选A由SABCbcsin A得2sin A，所以sin A，故A60或120，故选A.4在ABC中，已知A30，且3ab12，则c的值为()A4 B8C4或8 D无解解析：选C由3ab12，得a4，b4，利用余弦定理可得a2b2c22bccos A，即1648c212c，解得c4或c8.用余弦定理解三角形典例在ABC中，(1)若a2，b2，c，求A，B，C；(2)若b3，c3，B30，求A，C和a.解(1)由余弦定理得cos A，cos B，A60，B45，C180AB180604575.(2)法一：由余弦定理b2a2c22accos B，得32a2(3)22a3cos 30，a29a180，得a3或6.当a3时，A30，C120.当a6时，由正弦定理得sin A1.A90，C60.法二：由bc，B30，bcsin 303知本题有两解由正弦定理得sin C，C60或120，当C60时，A90，由勾股定理a6，当C120时，A30，ABC为等腰三角形，a3.利用余弦定理求解三角形的主要类型(1)已知三边，求三角，一般利用余弦定理的推论先求出两角，再根据三角形内角和定理求出第三个角(2)已知两边及一角，求第三边和其他角，存在两种情况：已知两边及其中一边的对角，可利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用方程的思想求得第三边，再求出其他角，可免去判断取舍的麻烦已知两边及其夹角，直接利用余弦定理求出第三边，然后应用正弦定理求出另两角活学活用在ABC中，(1)a1，b1，C120，求c；(2)abc12，求A，B，C.解：(1)由余弦定理，得c2a2b22abcos C12122113，c.(2)由于abc12，可设ax，bx，c2x(x0)由余弦定理，得cos A，A30.同理cos B，cos C0，B60，C90.利用余弦定理判断三角形形状典例在ABC中，若b2sin2Cc2sin2B2bccos Bcos C，试判断ABC的形状解：法一化角为边将已知等式变形为b2(1cos2C)c2(1cos2B)2bccos Bcos C.由余弦定理并整理，得b2c2b22c222bc，b2c2a2.A90.ABC是直角三角形法二化边为角由正弦定理，已知条件可化为sin2Csin2Bsin2Csin2B2sin Bsin Ccos Bcos C.又sin Bsin C0，sin Bsin Ccos Bcos C，即cos(BC)0.又0BCAC，C60或C120.当C60时，A90，SABCABAC2；当C120时，A30，SABCABACsin A.故ABC的面积为2或.(1)求三角形面积时，应先根据题目给出的已知条件选择最简便、最快捷的计算方法，这样不仅能减少一些不必要的计算，还能使计算结果更加接近真实值(2)事实上，在众多公式中，最常用的公式是SABCabsin Cbcsin Aacsin B，即给出三角形的两边和夹角(其中某边或角需求解)求三角形面积，反过来，给出三角形的面积利用上述公式也可求得相应的边或角，应熟练应用此公式 活学活用ABC中，若a，b，c的对角分别为A，B，C，且2ABC，a，ABC的面积SABC，求边b的长和B的大小解：ABC180，又2ABC，A60.SABCbcsin A，sin A，bc2.又由余弦定理得3b2c22bccos Ab2c222，即b2c25.解可得b1或2.由正弦定理知，sin B.当b1时，sin B，B30；当b2时，sin B1，B90.正、余弦定理的综合应用题点一：利用正、余弦定理解三角形1ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin Acsin Casin C bsin B.(1)求角B的大小；(2)若A75，b2，求a，c.解：(1)由正弦定理得a2c2acb2.由余弦定理得b2a2c22accos B.故cos B，因此B45.(2)sin Asin (3045)sin 30cos 45cos 30sin 45.故由正弦定理得ab1.由已知得，C180457560，cb2.题点二：利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式2在ABC中，求证a2sin 2Bb2sin 2A2absin C.证明：法一：(化为角的关系式)a2sin 2Bb2sin 2A(2Rsin A)22sin Bcos B(2Rsin B)22sin Acos A8R2sin Asin B(sin Acos Bcos Asin B)8R2sin Asin Bsin C22Rsin A2Rsin Bsin C2absin C.原式得证法二：(化为边的关系式)左边a22sin Bcos Bb22sin Acos Aa2b2(a2c2b2b2c2a2)2c22ab2absin C右边，原式得证题点三：正、余弦定理与三角函数、平面向量的交汇应用3在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求C的大小；(2)如果ab6，4，求c的值解：(1)，sin Ccos Ctan C.又C(0，)，C.(2)|cos Cab，又4，ab8.又ab6，由余弦定理知c2a2b22abcos C(ab)23ab12，c2.正、余弦定理是解决三角形问题的两个重要工具，这类题目往往结合基本的三角恒等变换，同时注意三角形中的一些重要性质，如内角和为180、大边对大角等 层级一学业水平达标1在ABC中，已知a2，b3，C120，则SABC()A. B.C. D3解析：选BSABCabsin C23.2在ABC中，已知(abc)(bca)3bc，则角A等于()A30 B60C120 D150解析：选B(bc)2a2b2c22bca23bc，b2c2a2bc，cos A，A60.3在ABC中，若a8，b7，cos C，则最大角的余弦值是()A BC D解析：选C由余弦定理，得c2a2b22abcos C82722879，所以c3，故a最大，所以最大角的余弦值为cos A.4若ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(ab)2c24，且C60，则ab的值为()A. B84C1 D.解析：选A由(ab)2c24，得a2b2c22ab4，由余弦定理得a2b2c22abcos C2abcos 60ab，则ab2ab4，ab.5三角形的一边长为14，这条边所对的角为60，另两边之比为85，则这个三角形的面积为()A40 B20C40 D20解析：选A设另两边长为8x,5x，则cos 60，解得x2或x2(舍去)故两边长分别为16与10，所以三角形的面积是1610sin 6040.6在ABC中，a3，b2，cos C，则ABC的面积为_解析：cos C，0Ccb，A为最大角由余弦定理的推论，得cos A.又0A180，A120，sin Asin 120.由正弦定理，得sin C.最大角A为120，sin C.10在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3cos(BC)16cos Bcos C.(1)求cos A；(2)若a3，ABC的面积为2，求b，c.解：(1)由3cos(BC)16cos Bcos C，得3(cos Bcos Csin Bsin C)1，即cos(BC)，从而cos Acos(BC).(2)由于0Ab Ba0，a2b2，ab.3在ABC中，cos2，则ABC是()A正三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形解析：选Bcos2，cos B，a2c2b22a2，即a2b2c2，ABC为直角三角形4在ABC中，AB5，BC7，A