2017_18学年高中数学第一章1.2.3空间几何体的直观图学案含解析.docx

12.3空间几何体的直观图斜二测画法提出问题美术与数学，一个属于艺术，一个属于科学，看似毫无关系，但事实上这两个学科之间有着千丝万缕的联系，在美术画图中，空间图形或实物在画板上画得既富有立体感，又能表达出各主要部分的位置关系和度量关系问题1：在画实物图的平面图形时，其中的直角在图中一定画成直角吗？提示：为了直观，不一定问题2：正方形、矩形、圆等平面图形在画实物图时应画成什么？为什么？提示：平行四边形、扁圆形为增加直观性问题3：这种作图方法与在直角坐标系中画平面图的方法相同吗？提示：不相同导入新知1用斜二测画法画平面图形的步骤(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x轴和y轴， 两轴相交于点O，且使xOy45(或135)，它们确定的平面表示水平面(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴或y轴的线段(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半2用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可(2)画z轴，z轴过点O，且与x轴的夹角为90，并画出高线(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图(3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示化解疑难1画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可2用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角画45(或135)水平放置的平面图形的直观图例1按图示的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图解画法：(1)在图中作AGx轴于G，作DHx轴于H.(2)在图中画相应的x轴与y轴，两轴相交于点O，使xOy45.(3)在图中的x轴上取OBOB，OGOG，OCOC，OHOH，y轴上取OEOE，分别过G和H作y轴的平行线，并在相应的平行线上取GAGA，HDHD.(4)连接AB，AE，ED，DC，并擦去辅助线GA，HD，x轴与y轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图ABCDE(如图)类题通法1在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点2画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段活学活用如图是水平放置的由正方形ABCE和正三角形CDE所构成的平面图形，请画出它的直观图解：画法：(1)以AB边所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，两轴相交于点O(如图)，画相应的x轴和y轴，两轴相交于点O，使xOy45(如图)(2)在图中，以O为中点，在x轴上截取ABAB；分别过A，B作y轴的平行线，截取AEAE，BCBC；在y轴上截取ODOD.(3)连接ED，DC，CE，并擦去辅助线x轴和y轴，便得到平面图形ABCDE水平放置的直观图ABCDE(如图)空间几何体的直观图例2用斜二测画法画棱长为2 cm的正方体ABCD ABCD的直观图解画法：(1)画轴如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使xOy45，xOz90.(2)画底面以点O为中心，在x轴上取线段MN，使MN2 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ1 cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是正方体的底面ABCD.(3)画侧棱过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA，BB，CC，DD.(4)成图顺次连接A，B，C，D，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正方体的直观图(如图)类题通法画空间图形的直观图的原则(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段在直观图中应分别画成平行于x轴、y轴、z轴的线段(2)平行于x轴、z轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段长度变为原来的.活学活用如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图解：(1)画轴如图，画x轴、y轴、z轴，使xOy45，xOz90.(2)画底面由三视图知该几何体是一个简单组合体，它的下部是一个正四棱台，上部是一个正四棱锥，利用斜二测画法画出底面ABCD，在z轴上截取OO，使OO等于三视图中相应高度，过O作Ox的平行线Ox，Oy的平行线Oy，利用Ox与Oy画出上底面ABCD.(3)画正四棱锥顶点在Oz上截取点P，使PO等于三视图中相应的高度(4)成图连接PA，PB，PC，PD，AA，BB，CC，DD，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图.直观图的还原和计算问题例3如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图若A1D1Oy，A1B1C1D1，A1B1C1D12，A1D1OD11.试画出原四边形的形状，并求原图形的面积解如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取ODOD11，OCOC12.在过点D的y轴的平行线上截取DA2D1A12.在过点A的x轴的平行线上截取ABA1B12.连接BC，即得到了原图形(如图)由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB2，CD3，直角腰长度为AD2.所以面积为S25.类题通法由直观图还原为平面图的关键是找与x轴、y轴平行的直线或线段，且平行于x轴的线段还原时长度不变，平行于y轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可活学活用如图，RtOAB是一平面图形的直观图，直角边OB1，则这个平面图形的面积是_答案：典例一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形OABC的面积为，则原梯形的面积为()A2B.C2 D4解析如图，由斜二测画法原理知，原梯形与直观图中的梯形上、下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高原梯形的高OC是直观图中OC长度的2倍，OC的长度是直观图中梯形的高的倍由此知原梯形的高OC的长度是直观图中梯形高的2倍，故其面积是梯形OABC面积的2倍，梯形OABC的面积为，所以原梯形的面积是4.答案D易错防范1原梯形与直观图中梯形上、下底边的长度一样，但高的长度不一样原梯形的高OC是直观图中OC的长度的2倍，OC长度是直观图中梯形的高的倍，此处易出错2解答此类问题时要注意角度的变化以及长度的变化，直观图面积S与原图形面积S满足SS.成功破障如图所示，AOB表示水平放置的AOB的直观图，B在x轴上，AO和x轴垂直，且AO2，则AOB的边OB上的高为()A2B4C2 D4答案：D随堂即时演练1关于斜二测画法，下列说法不正确的是()A原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x轴，长度不变B原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y轴，长度变为原来的C在画与直角坐标系xOy对应的坐标系xOy时，xOy必须是45D在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同答案：C2利用斜二测画法得到的下列结论中，正确的是()两条相交直线的直观图是平行直线；两条垂直直线的直观图是垂直直线；正方形的直观图是平行四边形；梯形的直观图是梯形ABC D答案：B3.已知ABC的直观图如图所示，则原ABC的面积为_答案：94.如图所示，一个水平放置的正方形ABCD，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图ABCD中，顶点B到x轴的距离为_答案：5画边长为1 cm的正三角形的水平放置的直观图解：(1)如图所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x轴与y轴，两轴相交于点O，使xOy45.(2)在x轴上截取OBOC0.5 cm，在y轴上截取OAAO cm，连接AB，AC，则ABC即为正三角形ABC的直观图课时达标检测一、选择题1如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的()答案：A2水平放置的ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形ABC，则ABC是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D任意三角形答案：C3如图所示的正方形OABC的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是()A6 cm B8 cmC(23) cm D(22) cm答案：B4.如图所示的水平放置的三角形的直观图中，D是ABC中BC边的中点，那么AB，AD，AC三条线段对应原图形中线段AB，AD，AC中()A最长的是AB，最短的是AC B最长的是AC，最短的是ABC最长的是AB，最短的是ADD最长的是AD，最短的是AC答案：C5已知正三角形ABC的边长为a，那么正三角形ABC的直观图ABC的面积是()A.a2 B.a2C.a2 D.a2答案：D二、填空题6.如图，水平放置的ABC的斜二测直观图是图中的ABC，已知AC6，BC4，则AB边的实际长度是_答案：107在如图所示的平面直角坐标系中，得到的边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是_答案：(3)8.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD，如图所示，ABC45，ABAD1，DCBC，原平面图形的面积为_答案：2三、解答题9.如图，ABC是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形解：画法：(1)如图，画直角坐标系xOy，在x轴上取OAOA，即CACA；(2)在图中，过B作BDy轴，交x轴于D.在图中，在x轴上取ODOD，过D作DBy轴，并使DB2DB.(3)连接AB，BC，则ABC即为ABC原来的图形，如图.10已知某几何体的三视图如下，请画出它的直观图(单位：cm)解：画法：(1)如图，画x轴、