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兰州大学2005年数学分析考研试题及解答一、 判断题1 设数列数满足：对任意正整数，则收敛。解 错。例如：对，对任意正整数，就有，但发散。2 设在上Riemann可积，则在上一定有原函数。解 错。例如：，显然在上可积，但不存在在上可导，且，的函数，即在上不存在原函数。3 设在区间上处处可导，则在上一定Riemann可积。解 错。例如：，显然在上连续，在上可积，在上处处可导，但在上无界，在上不可积。4 若二元函数在点可微，则在点的所有方向导数都存在。解 正确。已有的定理结论。5 设积分收敛，是上的单调有界函数，则收敛。解 正确。这就是著名的Abel判别法。二 计算题。1 求。解 由，及夹逼定理，知。2 求。解 。3 求级数的收敛域与和函数。解 记，则，当时 ，原级数绝对收敛；当时，原级数发散；当时，原级数发散。所以该幂级数的收敛域为， ，4 级数积分，其中为椭圆沿逆时针方向。解 ，取任意小，则 。5 求，其中是平面中的曲线线绕轴所生成的旋转曲面在的部分的外侧。解 ，由高斯公式，得 。3 叙述函数列在上不一致收敛到的分析定义，并用定义证明在上不一致收敛。解 函数列在上不一致收敛到的分析定义：存在，对任意正整数，存在,使得，在上不一致收敛。事实上，而，所以在上不一致收敛。4 设在上一致连续，在上连续，且。证明：在上一致连续。证明 令，则在上连续，又存在，所以在上一致连续，故在上一致连续。5 设平面截三轴于三点，为坐标原点，是三角形上一点，以为对角线，三坐标平面为三面作一长方体，试求其最大体积。解 以为对角线，三坐标平面为三面的长方体体积，其中等号成立当且仅当，。6 设是闭区间上的连续可导函数，记，假设且对，成立，证明：（1）是有限集；（2）中使的点的个数与的点的个数最多相差1，即成立。证明 （1）断言对，存在，使得时，事实上，由，知，存在，使得时，有，而，是有界闭集，有界是必然的。因为，闭性亦显然，因为对，存在，于是有，上述的开集族就覆盖了有界闭集。 根据有限覆盖定理，存在有限个开集，使得，而；（2）不妨设（1）中构造的单增，即，断言，事实上，不妨设，则因在内无零点，而，任意，（否则，由连续函数介值定理，即导出矛盾）。明显的，又，所以。这样，我们从第一个零点开始讨论，知道是交替等于1或-1的，故。7解常微分方程；已知函数二次可导，且满足，求。解（1）由， ， ， ， 于是， ，（2）由， 得， ，
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