2017_18学年高中数学第二章2.5等比数列的前n项和第二课时数列求和习题课学案含解析.docx

第二课时数列求和(习题课)1等差数列和等比数列求和公式是什么？其公式是如何推导的？略2等差数列和等比数列的性质有哪些？略分组转化法求和例1已知数列an，bn满足a15，an2an13n1(n2，nN*)，bnan3n(nN*)(1)求数列bn的通项公式；(2)求数列an的前n项和Sn.解(1)an2an13n1(nN*，n2)，an3n2(an13n1)，bn2bn1(nN*，n2)b1a1320，bn0(n2)，2，bn是以2为首项，2为公比的等比数列bn22n12n.(2)由(1)知anbn3n2n3n，Sn(2222n)(3323n)2n1.类题通法当一个数列本身不是等差数列也不是等比数列，但如果它的通项公式可以拆分为几项的和，而这些项又构成等差数列或等比数列时，那么就可以用分组求和法，即原数列的前n项和等于拆分成的每个数列前n项和的和活学活用求数列，2，4，的前n项和Sn.解：an2n2(2n2)(2n1)，Sn24135(2n1)n21.错位相减法求和例2(山东高考)已知数列an的前n项和Sn3n28n，bn是等差数列，且anbnbn1.(1)求数列bn的通项公式；(2)令cn，求数列cn的前n项和Tn.解(1)由题意知当n2时，anSnSn16n5.当n1时，a1S111，符合上式所以an6n5.设数列bn的公差为d.由即解得所以bn3n1.(2)由(1)知cn3(n1)2n1.又Tnc1c2cn，得Tn3222323(n1)2n1，2Tn3223324(n1)2n2，两式作差，得Tn322223242n1(n1)2n233n2n2，所以Tn3n2n2. 类题通法如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式活学活用已知an，求数列an的前n项和Sn.解：Sn，Sn，两式相减得Sn，Sn.裂项相消法求和例3已知等差数列an的前n项和Sn满足S30，S55.(1)求an的通项公式；(2)求数列的前n项和解(1)设an的公差为d，则Snna1d.由已知可得解得a11，d1.故an的通项公式为an2n.(2)由(1)知，从而数列的前n项和为.类题通法裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然后重新组合使之能消去一些项，最终达到求和的目的利用裂项法的关键是分析数列的通项，观察是否能分解成两项的差，这两项一定要是同一数列相邻(相间)的两项，即这两项的结论应一致活学活用在数列an中，an，且bn，求数列bn的前n项和解：an(12n)，bn，bn8，数列bn的前n项和为Sn88.探规寻律数列求和的常用方法归纳1公式法(分组求和法)如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前n项和可考虑拆项后利用公式求解2裂项求和法对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项常见的拆项公式有：；若an为等差数列，公差为d，则；等3错位相减法若数列an为等差数列，数列bn是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为anbn，当求该数列的前n项的和时，常常采用将anbn的各项乘公比q，然后错位一项与anbn的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法4倒序相加法如果一个数列an，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加求和法典例(12分)(江西高考)已知数列an的前n项和Snn2kn(其中kN*)，且Sn的最大值为8.(1)确定常数k，并求an；(2)求数列的前n项和Tn.解题流程规范解答(1)当nkN*时，Snn2kn取得最大值，即8Skk2k2k2，故k216，k4.(3分)当n1时，a1S14，(4分)当n2时，anSnSn1n.名师批注利用anSnSn1时，易忽视条件n2.当n1时，上式也成立，综上，ann.(6分)(2)因为，(7分)所以Tn1，(8分)所以2Tn22，(9分)：2TnTn21名师批注两式相减时，注意不要漏项，由SnqSn得Sn时应注意q是否等于1.44.(11分)故Tn4.(12分)活学活用设数列an的通项公式为an(2n1)an1(a0)，求其前n项和解：当a1时，an2n1是等差数列，Snn2.当a1时，Sn13a5a27a3(2n1)an1，aSna3a25a3(2n3)an1(2n1)an，得(1a)Sn12a2a22a32an1(2n1)an12(2n1)an.a1，Sn.综上所述，当a1时，Snn2；当a1时，Sn.随堂即时演练1已知an(1)n，数列an的前n项和为Sn，则S9与S10的值分别是()A1,1B1，1C1,0 D1,0解析：选DS91111111111，S10S9a10110.2数列an，bn满足anbn1，ann23n2，则bn的前10项和为()A. B.C. D.解析：选B依题意bn，所以bn的前10项和为S10，故选B.3数列1，3，5，7，(2n1)，的前n项和Sn_.解析：该数列的通项公式为an(2n1)，则Sn135(2n1)n21.答案：n214已知数列an的通项公式an，其前n项和Sn，则项数n等于_解析：an1，Snnn15，n6.答案：65已知等比数列an中，a28，a5512.(1)求数列an的通项公式；(2)令bnnan，求数列bn的前n项和Sn.解：(1)64q3，q4.ana24n284n222n1.(2)由bnnann22n1知Sn12223325n22n1，从而22Sn123225327n22n1，得(122)Sn2232522n1n22n1，即Sn(3n1)22n12课时达标检测一、选择题1已知an为等比数列，Sn是它的前n项和若a2a32a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5等于()A35B33C31 D29解析：选C设an的公比为q，则有解得S53231.2数列(1)nn的前n项和为Sn，则S2 016等于()A1 008 B1 008C2 016 D2 014解析：选AS2 016(12)(34)(2 0152 016)1 008.3数列an的通项公式是an，若前n项和为10，则项数为()A11 B99C120 D121选Can，Sna1a2an(1)()()1，令110，得n120.4数列1，的前n项和为()A. B.C. D.解析：选B该数列的通项为an，分裂为两项差的形式为an2，令n1,2,3，则Sn21，Sn2.5已知数列an：，那么数列bn前n项的和为()A4 B4C1 D.解析：选Aan，bn4.Sn44.二、填空题6数列an中，Sn3nm，当m_时，数列an是等比数列解析：因为a1S13m，a2S2S13236，a3S3S2333218，又由a1a3a，得m1.答案：17设数列an的通项为an2n7(nN*)，则|a1|a2|a15|_.解析：an2n7，a15，a23，a31，a41，a53，a1523，|a1|a2|a15|(531)(13523)9153.答案：1538数列11,103,1 005,10 007，的前n项和Sn_.解析：数列的通项公式an10n(2n1)所以Sn(101)(1023)(10n2n1)(1010210n)13(2n1)(10n1)n2.答案：(10n1)n2三、解答题9设an是公比为正数的等比数列，a12，a3a24.(1)求an的通项公式；(2)设bn是首项为1，公差为2的等差数列，求数列anbn的前n项和Sn.解：(1)设q为等比数列an的公比，则由a12，a3a24，得2q22q4，即q2q20，解得q2或q1(舍去)，因此q2.所以an的通项公式为an22n12n(nN*)(2)易知bn2n1，则Snn122n1n22.10已知各项均为正数的数列an满足aan1an2a0，nN*，且a32是a2，a4的等差中项数列bn满足b11，且bn1bn2.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设cnanbn，求数列cn的前2n项和T2n.解：(1)因为aan1an2a0，所以(an1an)(an12an)0，因为an0，所以an12an，则数列an是公比为2的等比数列，又a32是a2，a4的等差中项，即2(4a12)2a18a1，解得a12，所以an2n.因为数列bn满足b11，且bn1bn2.所以数列bn是公差为2的等差数列，易得bn2n1. (2)由(1)知cn T2n22322n137(4n1)2n2n.11已知数列an的前n项和为Sn，a12，Snn2n.(1)求数列an的通项公式；(2)设的前n项和为Tn，求证Tn1.解：(1)Snn2n，当n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n，又a12满足上式，an2n(nN*)(2)证明：Snn2nn(n1)，Tn1.nN*，0，Tn1.12设公差不为0的等差数列an的首项为1，且a2，a5，a14构成等比数列(1)求