2015届杨浦高级中学高三数学试卷答案5.4.pdf

第 1 页 共 10 页 第5题 B B A y x 1 O 第第第第 7 7 7 7 题题题题 20152015 高三数学第二学期综合高三数学第二学期综合试卷试卷答案答案答案答案5 55 5 一 填空题 每小题 每小题 4 4 分 共分 共 5656 分 分 1 若 12 02AxxB xx 的图像过点 2 1 其反函数的图像过点 2 8 则ab 等于 11 已知函数 0 4 sin wRxwxxf 的最小正周期为 将 xfy 的图像向 左平移 2 0 ppxy上一点 1 mM 0 m到其焦点的距离为5 双曲线 1 2 2 y a x 的左顶点为A 若双曲线一条渐近线与直线AM平行 则实数a等于 A 9 1 B 4 1 C 3 1 D 2 1 18 已知函数 xf是定义域在R上的奇函数 且0 x时 02 032 xxxf 则关于 xfy 在R上零点的说法正确的是 A有 4 个零点 其中只有一个零点在 2 3 内 B有 4 个零点 其中只有一个零点在 2 3 内 两个在 3 2内 C有 5 个零点都不在 2 0内 D有 5 个零点 Z 正零点中一个在 2 0内 一个在 3 三 解答题 三 解答题 13 13 1313 1414 1616 1818 7474 分 分 1919 在锐角ABC 中 a b c分别为内角A B C所对的边 且满足32 sin0abA 1 求角B的大小 2 若5ac 且ac 7b 求AB AC i的值 第 3 页 共 10 页 2020 如图四棱锥PABCD 中 底面ABCD是平行四边形 0 90ACB PA 平面 ABCD 1PABC 2AB F是BC的 中点 1 求证 DA 平面PAC 2 试在线段PD上确定一点G 使CG 平面 PAF 并求三棱锥A CDG的体积 2121 甲 乙两地相距 1004 千米 汽车从甲地匀速驶向乙地 速度不得超过 120 千米 小时 已知汽车每小时的运输成本 以 1 元为单位 由可变部分和固定部分组成 可变部分与速度v 千米 小时 的平方成正比 比例系数为2 固定部分为a元 1 把全部运输成本y元表示为速度v 千米 小时 的函数 并指出这个函数的定义域 2 为了使全部运输成本最小 汽车应以多大速度行驶 22 22 已知ABC 的顶点 A B 在椭圆 2 43 22 lABxylCyx且上在直线点上 1 当 AB 边通过坐标原点 O 时 求 AB 的长及ABC 的面积 2 当 90ABC 且斜边 AC 的长最大时 求 AB 所在直线的方程 23 文 本题满分 18 分 第 1 小题 4 分 第 2 小题 6 分 第 3 小题 8 分 设 3 3 3 3 xxf 等差数列 n a中7 3 a 12 321 aaa 记 n S 3 1 n af 令 nnn Sab 数列 1 n b 的前 n 项和为 n T 1 求 n a的通项公式和 n S 2 求证 3 1 n T 3 是 否存在正整数nm 且nm 7b 求AB AC i的值 19 解解 因为32 sin0abA 所以3sin2sinsin0ABA 2 分 因为sin0A 所以 2 3 sin B 3 分又B为锐角 则 3 B 5 分 2 由 1 可知 3 B 因为7b 根据余弦定理 得 22 72cos 3 acac 第 5 页 共 10 页 7 分 整理 得 2 37acac 由已知5ac 则6ac 又ac 可得3a 2c 9 分 于是 222 7497 cos 2144 7 bca A bc 11 分 所以 7 coscos271 14 AB ACAB ACAcbA ii 13 分 2020 如图四棱锥PABCD 中 底面ABCD是平行四边形 0 90ACB PA 平面 ABCD 1PABC 2AB F是BC的 中点 1 求证 DA 平面PAC 2 试在线段PD上确定一点G 使CG 平面 PAF 并求三棱锥A CDG的体积 20 解 1 证 明 四 边 形 是 平 行 四 边 形 0 90ACBDAC PA 平面ABCD PADA 又ACDA ACPAA DA 平面PAC 4 分 2 设PD的中点为G 在平面PAD内作GHPA 于 H 则GH平行且等于 1 2 AD 连接FH 则四边形 FCGH为平行四边形 8 分 GC FH FH 平面PAE CG 平面PAE CG 平面PAE G为PD中点时 CG 平面PAE 10 分 设S为AD的中点 连结GS 则GS平行且等于 11 22 PA PA 平面ABCD GS 平面ABCD 11 312 A CDGG ACDACD VVSGS 13 分 A D C F P B A D C F P B 第 6 页 共 10 页 2121 甲 乙两地相距 1004 千米 汽车从甲地匀速驶向乙地 速度不得超过 120 千米 小时 已知汽车每小时的运输成本 以 1 元为单位 由可变部分和固定部分组成 可变部分与速度v 千米 小时 的平方成正比 比例系数为2 固定部分为a元 1 把全部运输成本y元表示为速度v 千米 小时 的函数 并指出这个函数的定义域 2 为了使全部运输成本最小 汽车应以多大速度行驶 21 解 1 每小时运输成本为 2 2va 全程行驶时间为 v 1004 小时 120 0210042 1004 2 vv v a va v y 2 av v a v v a y220082200821004 当且仅当v v a 2 即 2 a v 时等 号成立 若 120 0 2 a 当 2 a v 时 ay22008 min 若120 2 a 易证 略 函数 v v a y21004在 120 0单调递减 当120 v时 240 120 1004 min a y 第 7 页 共 10 页 22 22 已知ABC 的顶点 A B 在椭圆 2 43 22 lABxylCyx且上在直线点上 1 当 AB 边通过坐标原点 O 时 求 AB 的长及ABC 的面积 2 当 90ABC 且斜边 AC 的长最大时 求 AB 所在直线的方程 22 解 解 1 因为 lAB且 AB 通过原点 0 0 所以 AB 所在直线的方程为 xy 由 xy yx43 22 得 A B 两点坐标分别是 A 1 1 B 1 1 22 2 21 2 21 yyxxAB 2 分 又lhAB等于原点到直线边上的高 的距离 2 2 1 2 hABSh ABC 5 分 2 设 AB 所在直线的方程为mxy 由 04364 43 22 22 mmxx mxy yx 得 因为 A B 两点在椭圆上 所以 06412 2 m即 3 34 3 34 m 7 分 设 A B 两点坐标分别为 2211 yxyx 则 4 43 2 3 2 2121 m xx m xx且 2211 mxymxy 8 分 2 21 2 21 2 21 2 xxyyxxAB 2 632 43 4 9 2 4 2 2 22 21 2 21 m mmxxxx 9 分 第 8 页 共 10 页 又lmBC到直线的长等于点 0 的距离 2 2 m BC 1 11102 22222 mmmBCABAC ACm 1时当 边最长 显然 3 34 1 3 34 12 分 所以 AB 所在直线的方程为1 xy 16 分 2323 解解 1 设数列 n a的公差为d 由72 13 daa 1233 1321 daaaa 解得1 1 a d 3 23 nan 3 3 3 3 xxf Sn 3 1 n af 13 1 nan 2 13 23 nnSab nnn 13 1 23 1 3 1 13 23 11 nnnnbn 3 1 13 1 1 3 1 mmm 则1 16 2 nn n 所以 此时不存在正整数 m n 且 1 m n 使得 nm TTT 1 成等比数列 综上 存在正整数 m 2 n 16 且 1 m n 使得 nm TTT 1 成等比数列 另解另解 1 设数列 n a的公差为d 由72 13 daa 1233 1321 daaaa 解得1 1 a d 3 23 nan 3 3 3 3 xxf Sn 3 1 n af 13 1 nan 6 分 2 13 23 nnSab nnn 13 1 23 1 3 1 13 23 11 nnnnbn 3 1 13 1 1 3 1 n Tn 12 分 第 9 页 共 10 页 3 由 2 知 13 n n n n n n T T T T 13 4 1 1 m m TT m 13 n n n n n n T T T T nm TTT 1 成等比数列 2 1 314 31 mn mn 取倒数再化简得 n n m m431 2 6 6 6 6 15 分 当2 2 2 2 m时 4 4 4 4 13131313 n n43 n 16 符合题意 2 22 116161119 3 0 393 39 m m mmmmm nn n 所以 此时不存在正整数 m n 且 1 m n 使得 nm TTT 1 成等比数列 综上 存在正整数 m 2 n 16 且 1 m n 使得 nm TTT 1 成等比数列 18 分 理科 本题满分 18 分 第 1 小题 4 分 第 2 小题 6 分 第 3 小题 8 分 已知数列 n a满足 Nnaa nn 1 1 2 若 4 5 1 a 计算 432 aaa的值 并写出数列 n a 2 nNn 的通项公式 2 是否存在 NnRana 0101 使得当 Nnnn 0 时 n a恒为常数 若存 在 求出 01 n a 否则说明理由 3 若 1 1 kkaa Nk 求 n a的前k3项的和 k S3 用ak 表示 解 1 4 5 1 a 4 3 4 1 4 3 4 1 5432 aaaa 以此类推 3 分 2 n时 2 4 3 12 4 1 kn kn an其中 Nk 6 分 2 1 1 1 1 1 1 nn nn nn aa aa aa 1 n a时 nn aa 1 若10 1 a时 12312 1 1aaaaa 此时只需 2 1 1 1112 aaaa 故存在 2 1 2 1 1 n aa 8 分 若1 1 ba时 不妨设若 Nnmmb 1 时 1 0 1 mbam时 mbambaa mmm 112 11 第 10 页 共 10 页 2 1 mb 1 2 1 1 mnma时 2 1 n a 10 分 若0 1 ca 不妨设 llcllc 1 1 1 1 2 llca 1 01 1 1 2423 lcacacaa l 2 1 1 1 11 223 lclcalcaa lll Nlla 2 1 1 2 ln 则 2 1 n a 故存在三组 1 a和 0 n