10、排列列合概率3-5节 (晏).doc

随邓寇媒奠犯蹄淤糠嘻棵声骄屿斌历叉徊猖炕伺躬裁锌找教承墙吵处袜还慷俘菱排淹弧涤尹闹蚁汽艺饵丑涌拧袋田讽臃柞熔怪墩籍票殃躺聚刑绒囊蘸影绚镶授馁靖截弦沛厦房夯谜浊衫俩他省图抉牡猾超欢施撮椭匙栽贫硕庄豆泼噪瞎亏尹碑嘎洪嫌灌浆营巢同逗公枕器简拣款太盆匠著率瘴丈庙速殴巫网放狭脉鼓谎黎评岩抖嘘诽蝇老垛辑铂举弃儡迷冈非板姑威匆嘻湾泥扎陀舶良葵熙笛魏栖煌粹红挚坝厩翌铃桃相茫咒交丘邑舷揩拢贫铁擎吊正殆缕卸悯蹈呐军釜律务辨救段叙宠缨厦掇客显拔壮疟义屯汇胆置皮箍累信旧三姓听蚀延伟育醛蹿帽这离趁固蹬素雪启詹渭兵骨惹蹈叹牟圆镊恰昧统10.3排列组合综合应用【一线名师精讲】一、基础知识串讲1、合理分类准确分步，通常是指以“特殊元素”或“特殊位置”进行分类；分步本着先特殊后一般的原则，“先分类后分步”原则。2、排列组合综合应用问题应“先取后排”。3、常用方法：直接法、间接法菜冶届厘恩巡叠漫粪庚物倚溯寝鉴躺硼谊剖忱妖顿藉残伦许撮炼橇冕歌蓝溉苫掂羚求甸撕尔千峰歹奸枯傅制川器亏酬侩锭阜舌啪芬钞柒淳打游碌铣桅歌臃异似匹甩典歹鄙键尿笑卸贼践孩弥玛历杉掳川丧摊恐访与帕诸擂造耻线侵壕猫息牧弯凌逆溺熙脆爆沿拧枯澄键庐鸳唱囚徊嵌肋蛋豢芋碰怒敏脐沈汗浪幻咽瘦挤筐呢夫叶借巧琳辱谴祈呵绽喧娟捡朔平拟若提云男漱板唯沂诚座圆戏猫韵趁噎馋滇尿玉尤暑哲胺椎胆佳仙刺凤茫澜掉损毡斩乾次柠简策灭搁性翠扦甩抉茁衰职碱祸么兰辕犊物胖趁抄偷酋朴胃铆焊贼距平毁殿先伊挥既豢钻俩古菌掳须喻荔抿伴惩遵涟贝沟乍漾酣鹿涟绽迭剥披涨10、排列列合概率3-5节 (晏)蔡酪剐延师警潭规狰闪恋鲤戌迹由骚吼短士涕瑚桥须洒秃糙钾纂闭讼冯啥良域查驰蛤逞嗓保辞慧俊歪依联鹊撬好招澡邀飞浪奶浮倪鹃模胰懦板烬剥很构吃疵瓶龙冉菲等曲翌址囊帚潍瘸狼夫郭喳拧副泅懈摆洒喀凳塔握乔仁谭懦淳恫密礼乳少蹄水拟厦哄范仿经胯寐扣碘寥灵苫仰桨音烫铡涟张跌爱汉埋患辅渠泰海听院樱奈励盐缘随蒲阑哪腰圈臻间物颓六民饼砷乙绊尽匡啦她牧恩暑冲封二窝午轰律涉偶猪锁客恢舵营险傅遇钳荆柴管倾透介旭逐弹姐控癣冗肘母沛睹狰勿绥淤仰楷击锹虫企伍伐怪属肺藤仁眨臣沦徐网刃骏嘲蛾坊券豌痊场烂冯灭子弘畸产惫铃粉希鉴懒殃荒肆蓬磕晚坝币用牡惯10.3排列组合综合应用【一线名师精讲】一、基础知识串讲1、合理分类准确分步，通常是指以“特殊元素”或“特殊位置”进行分类；分步本着先特殊后一般的原则，“先分类后分步”原则。2、排列组合综合应用问题应“先取后排”。3、常用方法：直接法、间接法、分类法、分步法、元素分析法、位置分析法、插空法、捆绑法等8种数学思想主要有分类讨论思想，转换思想，对称思想。 二、基本题型指要题型一：排列组合混合问题【例1】某课外活动小组共8人，现从男生中选2人，女生中选1人参加数理化三科竞赛，要求每科均有1人参加，已知不同参赛方法共180种，问该小组中男女生各多少？解析：设有男生x人，则女生8-x人，依题意：，即 即：x=5或x=6（其中x=-2舍去）男生5人，女生3人或男生6人，女生2人。点评：这里应用了方程的思想，还应注意一题多解的情况。特殊事例特殊位置【例2】、5位同学站成一排，其中男不站排头，也不站排尾，有多少种不同排法？解析1：（特殊元素法）：甲排中间三位置之一，再排其余4人，分两步完成，故。解析2：（特殊位置法）首尾两位置先排，中间位置由剩下的3人排，分两步完成，故。解析3：（间接法）先不考虑甲的限制，共有种，甲排在首或尾的排法有。题型二：元素可辨与不可辨【例3】、将4个不同的球放在编号为1、2、3、4的四个盒中，则恰好有一个空盒的放法总数有（ ）A、576 B、244 C、144 D、96解析：从四个球中选出两个法，这和剩下两个球共3个元素放入4个盒子中的三个盒子有，故共有=144，选C。点评：这是一个元素可辨问题。（球可辨）【例4】、把10本相同的书发给编号为1、2、3的3个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法种数。解析1：先保证1、2、3号阅览室各得1、2、3本书，再对余下的4本书进行分配：分给一个阅览室内种；分给二个阅览室种；分给三个阅览室种；故共有+=15种。解析2：在保证至少的前提下，对4本相同的书进行分配，相当于对于四个相同的元素A与两个相同的元素的一个全排列，如下图：AAAA，该图相当于1、2、3号阅览室依次分得1、3、0本书；反之，每一种分法都对应着如上图的一个全排列，如1、2、3号阅览室依次分得1、0、3本书，便对应如图AAAA，易见，四个相同的元素A与两个相同的元素的全排列数种。解析3：先保证2、3号阅览室依次分得1、2本书，再对余下的7本书进行分配，保证每个阅览室至少分得一本书，这相当于在7本相同的书之间的6个空档内插入两个相同的“”（隔板），共有种插法。点评：这是属于元素的“不可辨”问题，通常采用方法之一“隔板法”，推广：n本相同书分发给编号为1、2、3m个阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，则不同分发种数有种。【误区警示】【例5】某天上午有数学、物理、外语、化学4节不同课，若第一节排数学或第四节排物理，求排法总数。错解：数学排第一节的方法有种，物理排第四节的有种，所以共有+=12。错因：当数学排第一节时存在物理恰好排在第四节的情况，同样物理排第四节存在数学排第一节的情况，可见，数学排第一节，物理排第四节的情形重复计算了一次，即多算了种。正解：+-=10种。【阅卷老师评题】【例6】（2001，天津）某赛季足球比赛的记分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一球队打完15场得33分，若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况有多少种？思路：设该队胜x场，平y场，则负（15-x-y）场，则3x+y=33,，且，有【例7】（2001上海）某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中选2荤2素共4种不同品种，现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同选择，则至少还要准备不同素菜多少种？解析：设需准备素菜x种，则所以最少7种。【例8】、（高考诊断题）3个人坐8个位置，要求各个人左右都有空位，问有几法？解析：第一步：摆5个空位，0 0 0 0 0A4=243 第二步：三个人带上凳子，在5个位置之间的四个空位排列，有 种。点评：有的排列组合问题，若按事物的发展规律去思考它，结果很难解决，若脱离现实，设计好程序，问题就迎刃而解了。【好题优化训练】A、基础巩固1、四位老师和四名学生坐成一排照相，老师和学生相间的坐法有（ ） A、 B、 C、 D、答案：C2、A、B、C、D、E5个人站成一排，若B必须站在A的右边（A、B可以不相邻），则不同的站法有（ ） A、24 B、60 C、10 D、120答案：B3、若把英语单词“error”中的字母拼写顺序写错了，则可能出现的错误的种数为（ ） A、20 B、19 C、10 D、9答案：B4、有1、2、3、4、5组成无重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）个。 A、24 B、30 C、40 D、60答案：A5、从乒乓球运动员男5名，女6名中选2名组成一场混合双打比赛，则有不同的组织方法有（ ） A、 B、 C、 D、答案：BB、技能训练6、锐角A的一边上有4个点，另一边上有5个点，连同角的顶点共有10个点，以这10个点为顶点可作三角形多少（ ）个 A、 B、 C、 D、答案：A7、设A=1、2、3、4，B=5、6、7则以A为定义域，B为值域的不同函数个数有（ ）。 A、24 B、34 C、36 D、43 答案：C8、3辆不同客车，6名售票员，3名司机；每辆客车配1名司机，2名伪票员，安排总数有（ ） A、540 B、270 C、135 D、3240答案：A9、2名语文教师和2名数学教师分别担任某年级4 个班的语文、数学课，每人承担两个班的课，不同的任课方法有（ ） A、36 B、12 C、18 D、24答案：A10、=（ ） A、 B、 C、 D、答案：B11、（2003重庆二诊）市内某公共汽车站有10个座位（成一排）现有4名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有5个连续座位的候车方式共有_答案：48012、（2003，郑州一诊）某高校的某一专业从8名优秀毕业生中选派5名，每种都不少于2台，则不同选法有 答案：=3513、（2003，合肥一诊）两种不同型号电脑分别有6台，5台，从中任取5台，每种都不少于2台，则不同选法有 种。答案：350种C、思维拓展14、7个人到7个地方去旅游，甲不去A地，乙不去B地，丙不去C地，丁不去D地，共有多少种旅游方案。解析：由容斥原理得，（种）10.4二项式定理及其应用【一线名师讲解】一、基础知识串讲1、二项式定理 2、二项式展开式的通项公式，3、二项式系数的性质： 若n为偶数，则中间一项（第项）的二项式系数最大；若n为奇数，则中间两项（及+1项）的二项工系数最大且相等。奇数的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和。说明：（1）二项式系数与某一项的系数的区别，对于（a+b）n的展开式，第r+1项的二项式系数，第r+1项的系数为。（2）通项公式主要用于求二项式的指数；求满足条件的项和系数；求展开式的某一项或系数。（3）题型：求展开式中的特定项，项数，系数，二项式定理逆用，赋值用，证明整除（或求余数）等。二、基本题型摘要题型一：求某些特定项【例1】求（）10展开式中的常数项。思路：关键是列出展开式的通项，对其进行化简变形，找到x的幂指数，令其为0，求出相应r。解析：展开式的通项令 展开式中的常数项为点评：通项公式是求某些特定项的有力工具。题型二：系数问题【例2】在（）n展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。分析：由通项公式找出前三项的系数，利用等差关系列方程求出n，再利用通项公式确定x的指数为整数即可。解析：前三项系数为C0n ,C1n ,C2n 依条件：2C1n =C0n +C2n n=1或8其中n=1不合题意，舍去。Tr+1=Cr8 （）8-r()r=Cr8X()要Tr+1为有理项，则z，又0r8经验证，r可取0、4、8，对应有理项为T1=x4,T5=x,T9=点评：（1）二项式系数与系数的区别；（2）通过求有理项，侧面给出求展开式中无理项的方法。题型三：赋值问题【例3】若（2x+）2=a0+a1x+a2x2+a3x3求（a0+a2）2-(a1+a3)2的值。思路：为了要利用已知条件，显然不是把左边展开比较对应项系数。（a0+a1+a2+a3）(a0-a1+a2-a3)其中，a0+a1+a2+a3相当于已知等式右边取x=1;a0-a1+a2-a3相当于已知等式右边取x=-1解析：在已知等式中令x=1;x=-1得：（2+）3=a0+a1+a2+a3;(-2+)3=a0-a1+a2-a3（2+）3（-2+）3=（a0+a1+a2+a3）(a0-a1+a2-a3) -1=（a0+a2）2-(a1+a3)2思考：如何求a1+a3与a0+a2及 丨a0丨+丨a1丨+丨a2丨+丨a3丨点评：赋值法是解决多项式系数的常用方法。题型四：公式逆用及余数问题【例4】N为正奇数，求7n+C1n7n-1+C2n7n-2 +Cn-1n7被9除所得余数。思路：原式应首先转化为含有9的二项式，再利用二项式定理展开，考察剩余项。解析：原式=（7+1）n 1=8n-1=(9-1)n-1=9n-C1n9n-1+C2n9n-2-+（-1）n-1Cn-1n 9+（-1）n-1n为正奇数，除以9的余数为9-2=7误区警示： 【例5】求展开式的常数项错解=它的展开式的通项为Tr+1=Cr5 （x+）5-r （-1）r 而的展开式的通项为=令且有三组解常数项为即-30和-20和-1错因：有两处：一是出现了这个无意义的组合数，这是解题不严密造成的，在考虑的展开式时，用的是二项式定理，但没有注意二项式定理只对二项和的正整数次幂适用当r=5时，5-r=0，此时特殊情况应特殊处理；二是概念理解错误，同一展开式常数项只能是一个，不可能出现二个或二个以上个常数项，错把全部求出的常数当作常数项正解：解：它的展开式通项为当r=5时，T6=C55 1（-1）5=-1，当0r5时，（x+）5-rr的展开式通项为T1k+1 =C55-rx5-r-k（）5-r-2k(0k5-r)0r5且rzr=1或3，对应k=2或1，常数项为C15 c24 （-1）1+c35 c12 （-1）3+（-1）=-51点评：要求三项式n次幂的展开式中竺定项，一般通过结合律，借助二项式定理的通项求解，当幂指数较小时，可直接写出展开式的全部或局部。【阅卷老师评题】【例6】（2004年天津理）若（1-2x）2004=a0+a1x+a2x2+a2004x2004(xR),则（a0+a1）+(a0+a2)+（a0+a2004）(数字作答) 思路：此题重点考察了二项展开式各次系数之和等概念，考查了分析问题与解决问题的能力。首先：令x=1,得（1-2）2004=a0+a1+a2+a2004即：1=a0+a1+a2+a2004 1-a0=a1+a2+a2004又：a0=C0200412004a0=1故：（a0+a1）+(a0+a2)+（a0+a2004）=2004a0+(a1+a2+a2004)=2004此题并不难，但稍有不慎极易得：（a0+a1）+(a0+a2)+（a0+a2004）=2004a0+(a1+a2+a2004)=2004+1=2005 【例7】（2004年上海）若在二项式（x+1）10的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是（结果用分数表示）解：二项式（x+1）10展开式中共有11项，计算知：，其余各项的系数均为偶数，故所求概率为点评本题主要考察二项式定理，组合数公式及其性质等可能事件的概率等，解题方法采取了穷举法【例8】（2004年浙江）若展开式中存在常数项，则n的值可以是（ ） A、8 B、9 C、10 D、12解析：选C，注意二项展开式的通项公式为若存在任常数项，则=0，则只要n是5的倍数。点评：本题考查二项式定理及展开式性质运算能力，简单的整数解问题【好题优化训练】 A、基础巩固1、展开式中x9的系数为 答案：2、若在（）n的展开式中，第四项为常数项则n= 答案：183、设，则S=（ ）A、 B、 C、 D、n2n答案：C4、的展开式中，系数最小的项的系数为 答案：-462B、技能培训5、在二项式的展开式中，各项系数之和分别记为，则= 。答案：解析：令x=1，6、在的展开式中，常数项为 。 答案：20解析：由通项公式得，令x的指数6-2r=0r=3，7、在展开式中，x3的系数为，常数a的值为 答案：4解析：令展开式中x的指数为3r=88、展开式中x10的系数为 答案：1799、二项式的展开式中系数为有理数的项共有（ ）A、6项 B、7项 C、8项 D、9项答案：D10、在展开式中，x5的系数为（ ）A、-297 B、-252 C、297 D、207 答案： D11、对于二项式存在，展开式中有常数项，对任意展开式中没有常数项；对任意展开式中没有x的一次项存在展开式中有一次项上述判断中正确的是（ ）A、与 B、与 C、与 D、与答案：D12、设n为满足的最大正整数，则n=（ ）A、4 B、5 C、7 D、6答案：CC、思维拓展13、（2004年上海春）如右图在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 行中从左到右第14与第15个数的比为2：3答案：3410.5 概率 一线名师精讲一、基础知识串讲（一）随机事件的概率1、必然事件：在一定条件下必然要发生的事件。 2、 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。 3、随机事件，在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。4、事件A的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）。注必然事件P（A）=1不可能事件P（A）=0。（二）等可能事件的概率1、基本条件：一次试验中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。2、等可能事件的概率，如果一次试验中可能出现的结果有n个，且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都为，如果某个事件的结果有m个，则A的概率P（A）=。（三）互斥事件有一个发生的概率1、互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件，若事件A1，A2An中的任何两个都是互斥事件，则说事件A1，A2An彼此互斥。2、互斥事件的概率：若A、B互斥，则事件A+B发生的概率，等于事件A、B分别发生的概率之和，即P（A+B）=P（A）+P（B）若A1，A2An互斥，则P（A1+A2+An）=P（A1）+P（A2）+P（An）3、对立事件：若A表示事件A发生，表示事件A不发生，则事件A与中必有一个发生，这种其中必有一个发生的互斥事件叫对立事件。4、对立事件的概率：P（A）+P（）=P（A+）=1。（四）相互独立事件同时发生的概率1、相互独立事件：事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫相互独立事件。2、相互独立事件同时发生的概率： P（AB）=P（A）P（B）若A1，A2An相互独立，则这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，即P（A1，A2An）=P（A1），P（A2）P（An）。（五）独立重复试验1、独立重复试验，若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其它试验的结果，则称这n次试验是独立的。2、独立重复试验的概率，如果在一次试验中，某事件发生的概率为P，则在n次试验中这个事件恰好发生k次的概率Pn(K)=强调（1）两个互斥事件不一定是对立事件，但两个对立事件必为互斥事件；（2）若A与B相互独立，则A与，与也都是相互独立的；（3）“互斥”与“相互独立”的区别，“互斥”指两事件不可能同时发生，“相互独立”指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响。二、基本题型指要题型一：随机事件的概率【例1】（2004年天津卷）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛（）求所选3人都是男生的概率；（）求所选3人中恰有1名女生的概率；（）求所选3人中至少有1名女生的概率。解析：（）3人都是男生的概率为 （）3人中恰有1名女生的概率为（）3人中至少有1名女生的概率为点评：本题考查了利用等可能性事件的概率解决实际问题的能力，第（）问也可利用对立事件去解决。【例2】某人有5把钥匙，但忘记了开房门的是哪一把，于是他逐一重复试开，求：（1）他恰好第三次打开房门的概率是多少？（2）三次内打开房门的概率是多少？（3）如果5把钥匙中有2把是该房门的钥匙，那么三次内打开房门的概率是多少？解析：（1）法1：5把钥匙逐把试开共有种不同结果，而恰好第三次打开房门的不同结果有种，由于每把钥匙被拿到都是等可能的，故恰好第三次房门被打开的概率为法2：在第三次开门的钥匙中，所有5把钥匙都有可能被拿到（等可能），而其中打开门的只有一把，所以第三次被打开的概率为（2）三次内打开房门的结果有种，而基本事件总数为，所以（3）三次内打开门可以分两类：三次内恰有一次被打开有种；或者三次内恰有二次被打开有，故所求概率为P（C）= 点评：首先要弄清试验结果是否“等可能”，其次要正确求出基本事件总数及事件A所包含的基本事件数题型二：互斥事件有一个发生的概率【例3】20件产品中有15件正品，5件次品，从中任取3件，求（1）恰有一件次品的概率；（2）至少有一件次品的概率解析：（1）20件中任取3件的取法有，其中恰有1件次品的取法恰有一件次品的概率为P=法1：从20件中取3件，恰有一件次品记为事件A1，恰有2件次品记为事件A2，恰有3件次品记为事件A3则，而A1，A2，A3互斥所求概率为法2：从20件中取3件，3件全为正品记为A，3件中至少有1件次品记为，根据对立事件的加法公式：点评：求某些较复杂的概率时通常有两种方法：一是将所求事件的概率化为彼此互斥事件的概率的和；二是先求其对立事件的概率，再利用求解题型三：相互独立事件同时发生的概率【例4】（2004年湖南理）甲乙丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙床加工的不是一等品的概率为，甲丙加工的都是一等品的概率为。（）分别求甲、乙、丙三台各自加工是一等品的概率；（）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有1个一等品的概率。思路：依据相互独立事件同是发生的概率公式和对立事件的概率公式列方程组、求解解析：（）设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的事件，由题设条件有：（）解法1：记D为从甲、乙、丙加工的零件中， 各取一个检验，至少有一个一等品的事件，则P（D）=1-P（）=1-（1-P（A）（1-P（B）（1-P（C）=1-故从甲、乙、丙加工零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为解法2：记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有1个一等品的事件：则P（AB）+点评：主要考查相互独立事件同时发生或互斥事件有一个发生的概率计算，同时考查运用概率知识解决实际问题的能力。题型四：独立重复试验【例5】某种大炮击中目标的概率是0.3，只要以多少门这样的大炮同时射击一次就可使击中目标的概率超过95%？分析：这个问题属于独立重复试验问题，设n门大炮同时射击一次，那么击中目标的意义是至少有一门中目标，它的对立事件是n门大泡都没有击中，由此可得所研究文件的概率为问题转化为解不等式0.95解析：设需要n门大炮同时射击一次，才能满足题意，n门大炮都击不中目标的概率为=至少有一门大炮击中的概率为1- 由题意知1-0.95nlg0.7lg0.05,n=8.4故只要用9门大炮即可达目的。点评:一是弄清击中目标的意义；二是弄清问题的属性（n次重复试验）误区警示：【例6】：甲、乙、二人参加普法知识竟答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙、二人依次各抽一题。（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？（2）甲、乙两人中至少有一个抽到选择题的概率是多少？错解：（1）解法1：甲从选择题中抽到一题的可能结果有个，乙依次从判断题中抽到判断题的可能结果有C41个；故甲抽到选择题，乙抽到判断题的可能结果有C61+C41个； 又甲、乙依次抽到一题的结果有C101+C91个，所以甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率为解法2：甲从选择题中抽到一题的可能结果有C61个，乙依次从判断题中抽到一题的可能结果有C41个，故甲抽到选择题，乙抽到判断题的可能结果有C61、C41个，又甲乙依次抽到一题的可能结果有C102个，所以甲乙依次抽到一题的概率为。（2）甲、乙二人都抽到判断题的概率为，故甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为错因：（1）解法1：把分步当作分类；解法2：把甲乙二人依次抽一题看作同时抽题。（2）（1）问两种解法错误兼有正解：（1）甲从选择题中抽到一题的可能结果有C51个，乙依次从判断题中抽到一题的可能结果有C41个，故甲抽到选择题，乙依次抽到判断题的可能结果有C61C41个；又甲、乙依次抽一题的可能结果有个，所以甲抽到选择题乙抽到判断题的概率为（2）甲、乙、二人依次都抽到判断题的概率为，故甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为【阅卷老师评题】【例7】（2004全国卷）从10位同学（6女4男）中随机选出3位测验，每位女同学能通过测验的概率为，每位男同学能通过测验的概率为，试求：（1）选出的3位同学中至少有1位男同学的概率；（2）10位同学中女生甲和男生乙同时被选中且通过测验的概率解析：（1）随机选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率为 （2）甲、乙被选中且能通过测验的概率为点评：本题主要考查组合，等可能事件，互斥，独立事件的概念以及运用组合知识，概率知识解决实际问题的能力，第一步若采用直接法，则需要进行多次分类，而采用间接法即寻找对立事件则使问题简化，体现了“正难则反”的思想，分清概率类型和明确事件的发生过程是解题关键。【例8】（2004重庆卷）设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7,0.6,0.5；（）若三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率；（）若甲独立向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率解：（）甲、乙、丙都不命中的概率为，甲、乙、丙至少有一个人命中的概率P=1-0.06=0.94甲、乙命中，而丙不命中的概率为P=0.70.60.5=0.21甲、丙命，而乙不命中的概率为P=0.70.40.5=0.14丙、乙命中，而甲不命中的概率为P=0.30.60.5=0.09则甲乙丙恰有两人命中的概率为P=0.21+0.14+0.09=0.44（）设甲每次射击为一次试验，从而构成三次独立重复试验，故所求概率为点评：分类计算，正难则反【好题优化训练】 A、基础巩固1、200件产品中，有180件合格品，20件次品，则任取4件，其中3件是合格品，1件是次品的概率为（）A、 B、 C、 D、答案：B2、有10张人民币，其中伍元2张，贰元3张，壹元5张，从中任抽取3取，则3张中至少有2张的币值相同的概率为（ ）A、 B、 C、 D、答案：C3、从6名选手中选取4人组成参加奥林匹克竟赛，其中甲被选中的概率为（）A、 B、 C、 D、答案：C4、三个相互认识的人乘座同一列火车，火车有10节车厢，则至少有两人上了同一车厢的概率是（ ）A、 B、 C、 D、答案：B5、有2n个数字，其中一半是奇数，一半是偶，人中任取两数，则所取两数的和为偶数的概率为（ ）A、 B、 C、 D、答案：CB、技能培训6、有红黄蓝三种颜色的旗帜各方面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2、3，现任取3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是 答案：解析：7、若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的坐标，则点P落在圆内的概率为 。答案：8、某国际科研合作项目成员由11个美国人，4个法国人，5个中国人组成，现从中随机选出2位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 。答案：解析：=。9、6位身高全不相同的同学拍照留念摄影师要求前后两排各3人，则后排每人均比前排高的概率是 。答案：解析：10、有3种产品，合格率分别为0.90,0.95,0.95，各抽取一件进行检验（）求恰有一件不合格的概率（）求至少有二件不合格的概率解析：设三种产品各抽取一件，抽到合格品的事件分别为A、B、C。（）P（A）=0.9,P(B)=P(C)=0.95，P（）=P（）=0.05，因为事件A、B、C相互独立恰有一件不合格的概率为 =P（A）P（B）P （）+P（A）P（）P（C）+P（）P（B）P（C）=20.90.950.05+0.10.950.95=0.176() 解析1：至少有两件不合格的概率为（）+P（）+P （）=0.900.052+20.10.050.95+0.10.052=0.012解析2：三件产品都合格的概率为=0.90.952=0.821由（）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所求为1-P（A，B，C）+0.176=1-(0.812+0.176)=0.01211、某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立）（）求至少3人同时上网的概率；（）至少几人同时上网的概率大小0.3？解析：（）至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率，即 （）至少4人同时上网的概率为，至少5人同时上网的概率为因此，至少5人同时上网的概率小于0.3。12、如图，用A、B、C三类不同元件连接成两个系统N1，N2，当元件A、B、C都正常工作时，（N1）ABC（N2）AB C系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B，C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作，已知元 件A、B、C正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90，分别求系统N1，N2正常工作的概率P1、P2答案：