高中数学2.3.3直线与圆的位置关系2.3.4圆与圆的位置关系例题与探究.docx

2.3.3 直线与圆的位置关系2.3.4 圆与圆的位置关系典题精讲例1如图2-3-(3,4)-3已知圆x2+y2+x-6y+c=0与直线x+2y-3=0的两交点为P、Q，且OPOQ(O为原点)，求圆的方程.图2-3-(3,4)-3思路分析:涉及到直线与圆的交点问题，可以联立方程求解.解法一:设P(x1，y1)、Q(x2，y2).由消去x,得(3-2y)2+y2+(3-2y)-6y+c=0，即5y2-20y+12+c=0.由韦达定理，得y1+y2=4，y1y2=.如图2.3(3.4)3所示，OPOQ，=-1，即.解得9-6(y1+y2)+5y1y2=0.9-64+5=0，解得c=3.从而所求圆的方程为x2+y2+x-6y+3=0.解法二:设过圆x2+y2+x-6y+c=0与直线x+2y-3=0的交点P、Q的圆的方程为x2+y2+x-6y+c+(x+2y-3)=0，即x2+y2+(1+)x-(2-6)y+c-3=0.OPOQ，故该圆过原点,c-3=0,且圆心(，)在直线x+2y-3=0上,+2()-3=0.由求得=1，c=3.故所求圆的方程为x2+y2+x-6y+3=0.绿色通道：在解析几何中，更多的是把垂直转化为斜率问题，而较少利用勾股定理.在判定直线与圆的位置关系时，应选择能体现圆的几何性质的方法，即用圆心到直线距离与半径作比较，这样更简捷.变式训练1若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线y=x(x0)相切，则这个圆的方程为_.思路解析:若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线y=x(x0)相切，则圆心在直线y=x上，且圆心的横坐标为1，所以纵坐标为，这个圆的方程为(x-1)2+(y-)2=1.答案：1变式训练2(2006重庆高考,文3)以点(2，-1)为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为 ( )A.(x-2)2+(y+1)2=3 B.(x+2)2+(y-1)2=3C.(x-2)2+(y+1)2=9 D.(x+2)2+(y-1)2=3思路解析:根据题意,圆心到切线的距离即为圆的半径r=3，故选C.答案：C例2已知动直线l:(m+3)x-(m+2)y+m=0与圆C:(x-3)2+(y-4)2=9.(1)求证:无论m为何值，直线l与圆C总相交.(2)m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最小?并求出该最小值.思路分析:分析已知条件:圆是定圆，直线不确定(方程中含有未知数m)，解题关键在于发现直线的特征:过定点.(1)证法一:设圆心C(3，4)到动直线l的距离为d，则d=.当m=时，dmax=3(半径).故动直线l总与圆C相交.证法二:直线l变形为m(x-y+1)+(3x-2y)=0.令解得如图2-3-(3,4)-4所示，故动直线l恒过定点A(2，3).图2-3-(3,4)-4而|AC|=，点A在圆内，故无论m取何值，直线l与圆C总相交.(2)解法一:由平面几何知识知,弦心距越大,弦长越小.由(1)知,当m=时，弦长最小.最小值为.解法二:由平面几何知识知，弦心距越大，弦长越小，过点A且垂直AC的直线被圆C所截弦长最小.kl=.解得m=.此时弦长为.故当m=时，直线被圆C所截弦长最小，最小值为.绿色通道：解法一使用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系，解法简便，运算量小.解法二从所要证的结论分析，总与定圆相交的动直线可能是过定点的直线系，且定点必在圆内.于是抓住动直线与定圆的几何特征，数形结合，生动直观，迅速解决问题.变式训练3设直线过点(0,a),其斜率为1,且与圆x2+y2=2相切,则a的值为( )A. B.2 C.2 D.4思路分析:设直线过点(0，a)，其斜率为1，且与圆x2+y2=2相切，设直线方程为y=x+a，圆心(0，0)到直线的距离等于半径，.a的值为2，选B.答案：B例3已知P(x,y)在圆C:x2+y2-6x-4y+12=0上，(1)求x-y的最大及最小值；(2)求x2+y2的最大及最小值；(3)求|PA|2+|PB|2的范围，其中A(-1,0)、B(1,0).思路分析:利用直线与圆的位置关系还可以求最值；另外数形结合的方法也需注意.(1)解：设x-y=m，则P(x,y)在l:x-y-m=0上.又在C上,C的圆心坐标为(3,2),l与C有公共点.C的圆心坐标为(3,2),圆心到直线l的距离d=1，|1-m|，得1-m+1.x-y的最大值为+1,最小值为1-.(2)解法一:x2+y2=(x-0)2+(y-0)2=(=|OP|2.由平面几何知识，连结直线OC交C于A、B.当P与A重合时，|OP|min=|OA|=|OC|-1=-1;当P与B重合时，|OP|max=|OB|=|OC|+1=+1.从而，14-2x2+y214+2.解法二:设x2+y2=r2(r0)，因此P在O上，又在C上， 图2-3-(3,4)-5即O与C有公共点，由图2-3-(3,4)-5可知，当O与C外切时，r最小.此时|OC|=r+1=,rmin=-1.当O与C内切时，r最大.此时，|OC|=|r-1|=，rmax=+1.14-2x2+y214+2.(3)解：可化归为(2),|PA|2+|PB|2=x2+2x+1+y2+x2-2x+1+y2=2(x2+y2)+2.由(2)14-x2+y214+，30-|PA|2+|PB|230+.绿色通道：本题是坐标法的逆向应用,即用几何法研究代数问题最值.变式训练4圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是( )A.36 B.18 C. D.思路解析：圆x2+y2-4x-4y-10=0的圆心为(2，2)，半径为，圆心到直线x+y-14=0的距离为，所以直线与圆的位置关系是相离.因此圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R=，选C.答案:C例4已知圆C:x2+y2-2x-4y-20=0及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(mR).(1)求证:不论m取什么实数，直线l与圆C总相交；(2)求直线l被圆C截得的弦长最短长度及此时的直线方程.思路分析:(1)直线l是过一个定点的直线，若此定点在圆内，则此直线l必与圆C相交.(2)当过定点的直线与圆心的距离最短，即此直线垂直于定点与圆心的连线时，被圆截得的弦最短.(1)证明:把直线l的方程改写成(x+y-4)+m(2x+y-7)=0.由方程组解得直线l总过定点(3，1).圆C的方程可写成(x-1)2+(y-2)2=25.圆C的圆心为(1，2)，半径为5，定点(3，1)到圆心(1，2)的距离为5.点(3，1)在圆C内.过点(3，1)的直线l总与圆C相交，即不论m为何实数，直线l与圆C总相交.图2-3-(3,4)-6(2)解：当直线l过定点M(3，1)且垂直于过点M的圆心的半径时，l被圆截得的弦长|AB|最短.(如图2-3-(3,4)-6)|AB|=2.此时，kAB=2.直线AB的方程为y-1=2(x-3)，即2x-y-5=0.故直线l被圆C截得的弦长的最短长度为，此时直线l的方程为2x-y-5=0.绿色通道：充分考虑圆的几何性质，数形结合,如果对于第(2)问用纯代数的方法来解决,会很复杂.变式训练5(2006高考全国卷，文7)从圆x2-2x+y2-2y+1=0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( )A. B. C. D.0思路解析:圆x2-2x+y2-2y+1=0的圆心为M(1，1)，半径为1，从圆外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则点P到圆心M的距离等于5，每条切线与PM的夹角的正切值等于，所以两切线夹角的正切值为tan=，该角的余弦值等于，选B.答案：B问题探究问题1过一点作圆的切线,求切线方程.现利用点斜式,求出斜率值只有一个,那么该点在圆上吗？利用点斜式求直线方程,会产生漏解吗？如果漏解,会漏掉什么样的解？导思：根据不同条件求圆的切线,主要有以下题型:(1)已知切点,求切线方程.可根据切线垂直于过切点的半径直接写出切线的方程.注意只有一条.(2)已知圆外一点,求圆的切线方程.切记有两条.(3)已知切线的斜率求圆的切线方程.求圆的切线方程常用的三种方法:(1)设切点用切线公式法;(2)设切线斜率用判别式法;(3)设切线斜率,用圆心到切线的距离等于半径法.探究：利用点斜式求直线方程时,很重要的一点就是注意点斜式不能表示斜率不存在的直线的方程,即倾斜角为的直线的方程.如果没有考虑到这一点就贸然运用点斜式方程就有可能产生漏解,忽略倾斜角为的直线的方程而造成错误.对于题中所给问题,先要判断此点与圆的位置关系,如果点在圆外,则过此点应该有两条圆的切线,现在只解出一个斜率,则说明遗漏了倾斜角为的切线方程;如果点在圆上,则应该有一条切线,现解出一个斜率,则正是所求切线的斜率;如果点在圆内,则不应该有切线,不可能解出正确的斜率值.问题2将两个相交的非同心圆的方程x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0(i=1,2)相减,可得一直线方程,这条直线方程具有什么样的特殊性呢？导思：可以通过设出两圆的交点(x1,y1)、(x2,y2),将(x1,y1)