高中数学第一章1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数课堂导学案.docx

1.2.1 任意角的三角函数课堂导学三点剖析1.三角函数的定义【例1】 已知角的终边经过点P（-4a,3a）(a0)，求sin、cos和tan.思路分析：本题考查利用三角函数定义求三角函数值.选取角终边上任意一点，求出r=,利用三角函数的定义便可求解.解：因为x=-4a,y=3a,所以r=5|a|.当a0时，r=5a,角为第二象限角，所以sin=,cos=,tan=;当a0时，r=-5a,角为第四象限角，所以sin=,cos=,tan=.温馨提示 当角的终边上的点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况及解题需要对参数进行分类讨论.已知角终边上任意一点，求的三角函数值时，我们直接用比值定义计算，没有必要用相似三角形向教材定义转化.2.三角函数符号及用向有线段表示三角函数【例2】 确定下列各式的符号：（1）sin105cos230;(2)sintan;(3)cos6tan6；（4）sin1-cos1.思路分析：先确定所给角的象限，再确定有关的三角函数值的符号.解：（1）105，230分别为第二、第三象限角，sin1050,cos2300.于是sin105cos2300.(2),是第二象限角，则sin0,tan0.sintan0.(3)62,6是第四象限角,cos60,tan60.则cos6tan60.(4)1,如下图所示，由三角函数线可得：sin1cos1.sin1-cos10.温馨提示(1)判断各三角函数值的符号，须判断角所在的象限.(2)sin既表示角的正弦值，同时也可以表示-1，1上的一个角的弧度数.(4)中解题的关键是将cos、sin视为角的弧度数.3.三角函数线的理解及应用【例3】在单位圆中画出适合下列条件的角终边的范围，并由此写出角的集合：（1）sin;(2)cos-.思路分析：作出满足条件：sin=,cos=的角的终边，然后根据条件确定角终边的范围.解：（1）作直线y=交单位圆于A、B两点，连结OA、OB.则OA与OB围成的区域（图甲中阴影部分）即为角的终边范围.故满足条件sin的角的集合为|2k+2k+,kZ.(2)作直线x=-交单位圆于C、D两点，连结OC、OD.则OC与OD围成的区域（图乙中阴影部分）即为角的终边的范围.故满足条件的角的集合为|2k+2k+ 3,kZ.各个击破类题演练1求的正弦、余弦和正切值.解：在直角坐标系中，作AOB=（如右图），易知AOB的终边与单位圆的交点坐标为（，）.所以，sin=,cos=,tan=.变式提升1已知角的终边在直线y=-3x上，求sin.解：设角终边上任一点为P（k,-3k）(k0),则x=k,y=-3k,r=.(1)当k0时，r=k,是第四象限角，sin=,(2)当k0时，r=-k,为第二象限角,sin=.温馨提示 一个任意角的三角函数只依赖于的大小，只与终边位置有关，而与P点在终边上的位置无关.类题演练2判断下列各式的符号：（1）tan250cos(-350);(2)sin151cos230;(3)sin3cos4tan5;(4)sin(cos)cos(sin)(是第二象限角).解：（1）tan2500,cos(-350)0,tan250cos(-350)0.(2)sin1510,cos2300,sin151cos2300.(3)3,4,52,sin30,cos40,tan50,sin3cos4tan50.(4)是第二象限角，0sin1,cos(sin)0.同理，-1cos0,sin(cos)0,故sin(cos)cos(sin)0.变式提升2若sin20且cos0,试确定所在的象限.解：sin20,2k22k+(kZ),kk+ (kZ)当k=2n(nZ)时，有2n2n+(nZ)为第一象限角.当k=2n+1(nZ)时，有2n+2n+(nZ)，为第三象限角.为第一或第三象限角.由cos0，可知在第二或第三象限，或终边在x轴的负半轴上.综上可知，在第三象限.类题演练3利用单位圆中的三角函数线，确定满足sin-cos0的的范围.解：如右图，设角终边与单位圆的交点为P（x,y）sin=y,cos=x.若sin=cos即y=x，角的终边落在直线y=x上.此时=k+,若sin-cos0,即y-x0.此时角的终边落在y=x上方,反之落在y=x下方，因此角的范围为2k+2k+(kZ).变式提升3试比较x,tanx,sinx的大小，x(0,).解