高中数学2.2.3两条直线的位置关系2.2.4点到直线的距离例题与探究新人教B版必修.docx

2.2.3 两条直线的位置关系2.2.4 点到直线的距离典题精讲例1(经典回放)在ABC中，BC边的中点M(，)，直线AC的方程为x+1=0，直线AB的方程为x+y-1=0，求直线BC的方程.思路分析:确定直线的方程需要两个条件，本题已经给出直线BC经过M点，只要求得点B(或C)的坐标或直线BC的斜率就可以了.图2-2-(3,4)-1解法一:利用两点式，参看图2-2-(3,4)-1.设B(a，1-a)、C(-1，b)，则B(-4，5)、C(-1，-4).BC的方程为，即3x+y+7=0.解法二:利用点斜式.设直线BC的方程为y-=k(x+)(k存在).由得B点横坐标xB=(k存在).又点C横坐标xC=-1，由中点坐标公式得-1=-5，解得k=-3.直线BC的方程为3x+y+7=0.解法三:利用两点式.作MDAC交AB于D，则点D(-，)为边AB的中点，A(-1，2)，B(-4，5).由点M、B的坐标可得直线BC的方程为3x+y+7=0.绿色通道：灵活运用直线方程的各种形式，常常要和平面几何的有关知识相结合.黑色陷阱：一定要注意直线方程各种形式的应用条件.变式训练1l过点P(2，3)，且与两坐标轴的截距相等,求直线l的方程.解法一:利用点斜式(本题斜率存在且不为零).设直线l的方程为y-3=k(x-2).令x=0，得在y轴上的截距b=-2k+3；令y=0，得在x轴上的截距a=2(k0).由两坐标轴上截距相等，得-2k+3=2，即k=-1或.l的方程为x+y-5=0或3x-2y=0.解法二:利用一般式.设直线l的方程为x+y+C=0或kx-y=0，由于点P(2，3)在l上,得2+3+C=0或2k-3=0，故C=-5或k=.l的方程为x+y-5=0或3x-2y=0.例2已知直线l:3x-y-1=0，在l上求一点P，使得(1)P到点A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大；(2)P到点A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小.图2-2-(3,4)-2思路分析:利用三角形的性质(两边之和大于第三边，两边之差小于第三边)以及对称性质.解：(1)如图2-2-(3,4)-2中，设点B关于l的对称点为B(a,b),则l是BB的垂直平分线.kBB=.即点B的坐标为(3，3).于是AB的方程为,即2x+y-9=0.解方程组得即l与AB的交点坐标为(2，5).由平面几何知识知，对l上的任意点P，有|PA|-|PB|=|PA|-|PB|PA|-|PB|=|BA|.图2-2-(3,4)-3当且仅当P、B、A共线时取等号.故可知所求P点坐标为(2，5).(2)如图2-2-(3,4)-3中，设C点关于l的对称点为C，可求出C的坐标为(,).于是可得AC所在直线的方程为19x+17y-93=0.由AC和l的方程联立,解得交点的坐标为P().绿色通道：许多解析几何问题都需要结合平面几何的相关知识来解决.求解解析几何问题时常会碰到计算量大的问题，简化运算量的技巧是学习解析几何的一项基本技能.当直线满足某一规律时，直线上的点也满足这个规律，因此许多直线的问题是从分析直线上的某点入手的.变式训练2 已知A(4，-3)、B(2，-1)和直线l:4x+3y-2=0，求一点P，使|PA|=|PB|，且点P到直线l的距离等于2.解法一:设点P(x，y)，|PA|=|PB|，.点P到直线l的距离等于2，.由得P(1，-4)或().解法二:设点P(x，y)，|PA|=|PB|，点P在线段AB的垂直平分线上.AB的垂直平分线的方程是y=x-5，设点P(x，x-5).点P到直线l的距离等于2，由上式得到x=1或，P(1，-4)或(，).例3已知n条直线:x-y+C1=0(C1=),x-y+C2=0,x-y+C3=0,x-y+Cn=0(其中C1C2C3Cn).这n条平行线中，每相邻两条之间的距离顺次为2，3，4，n.(1)求Cn;(2)求x-y+Cn=0与x轴、y轴围成的图形的面积;(3)求x-y+Cn-1=0与x-y+Cn=0及x轴、y轴围成的图形的面积.思路分析:(1)由两条平行线间的距离公式,依次写出C2,C3,Cn,然后找出它们的共同的规律,利用逐项相加的方法把中间项C2,C3,Cn-1消去,即可得到Cn.在解决了第(1)问后,后面的两问便容易解决了.解：(1)对任意的两条相邻的平行线Ci、Ci+1间的距离记为di(i=1,2,n-1),根据两平行线间的距离公式有di=,i=1,2,n-1.此即di=Ci+1-Ci,i=1,2,n-1.分别令i=1,2,n-1,再把所得的各式相加,得(d1+d2+dn)=Cn-C1,即(2+3+n)=Cn-C1.把C1=代入此式得Cn=(1+2+3+n)=.(2)直线x-y+Cn=0在坐标轴上所截的线段长皆为|Cn|,截得三角形的面积为|Cn|2=n2(n+1)2.图2-2-(3,4)-4(3)直线x-y+Cn-1=0与x-y+Cn=0及x轴、y轴围成图形的面积就是直线x-y+Cn=0在坐标轴上截得的三角形的面积与直线x-y+Cn-1=0在坐标轴上所截得的三角形的面积之差,如图2-2-(3,4)-4所示的阴影部分面积.要求的阴影部分的面积为n2(n+1)2-n2(n-1)2=n3.绿色通道：一般说来,数学题有多问时,后面的问题依赖于前面问题的解决,在高考中尤其如此,所以做第一问是关键.许多解析几何问题都需要结合平面几何的相关知识来解决.黑色陷阱：如果对第(3)问不能转化为两个三角形的面积之差,将导致解题困难.变式训练3（2006上海高考,文2）已知两条直线l1:ax+3y-3=0,l2:4x+6y-1=0.若l1l2，则a=_.思路解析：由于两条直线的斜率都存在，所以根据两条直线平行，斜率相等，可以将题意转化为关于a的方程进行求解.根据题意,得6a=12，解得a=2.答案:2变式训练4(2006福建高考,文1)已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直，则a等于 ( )A.2 B.1 C.0 D.-1思路解析：由于两条直线的斜率都存在，所以根据两条直线垂直，斜率互为倒数，可以将题意转化为关于a的方程进行求解.根据题意,得a(a+2)+1=0，解得a=-1.因此选D.答案:D问题探究问题1方程组的系数满足什么条件时，直线l1:A1x+B1y+C1=0和直线l2:A2x+B2y+C2=0相交、平行、重合呢？导思：(1)如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是两个方程的唯一公共解；反过来，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必定是直线l1和l2的交点.因此两直线l1、l2相交方程组有唯一解.(2)如果两条直线不相交，那么在平面直角坐标系内有两种情况：一是平行，一是重合.当两直线平行时，它们没有公共点，也就是说，同时满足这两个方程的解不存在，即方程组无解,即l1、l2平行方程组无实数解.(3)如果两条直线重合，那么它们就有无数个公共点，也就是说，同时满足这两个方程的解有无数个，即方程组有无穷多个解,即l1、l2重合方程组有无穷多个解.探究：我们解方程组B2-B1，得(A1B2-A2B1)x+B2C1-B1C2=0.当A1B2-A2B10时，得x=.再由A2-A1，当A1B2-A2B10时，可得y=.因此当A1B2-A2B10时，方程组有唯一一组解，这时两直线相交.当A1B2-A2B1=0，而B1C2-B2C10(或A2C1-A1C20)时，方程组无解，这说明两条直线没有公共点，两直线平行.如果A1=A2，B1=B2，C1=C2(其中0)，即这两个方程中未知数的对应系数成比例，直线l1的方程变为(A2x+B2y+C2)=0，两个方程解集相同，则两个方程表示同一条直线，即l1、l2重合.通过上述讨论知道两直线间“形”的关系可化归为方程组的解即“数”的关系来研究，即以“数”解“形”，同时以“形”助“数”.问题2过两条相交直线交点的直线应该满足什么样的形式?已知直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0为两条相交直线，那么方程A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0能表示直线吗？若能，所表示的直线l与l1、l2间又有何关系？导思：l1与l2相交A1B2A2B1.探究：能