高中数学第一章1.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理1课堂导学案.docx

1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1课堂导学三点剖析一、分类加法计数原理的简单应用【例1】某学生去书店，发现三本好书，决定至少买其中一本，则该生的购书方案有_种.解析:“至少”问题往往需要发类，在三本好书中至少买一本，可分为在类：恰买一本，有3种方种；恰买2本，有3种种方法，恰买3本，有1种方案，从而共有3+3+1=7种方法。温馨提示 分类加法计数原理的实质是“整体”等于“部分”之和，就是“整体”（即完成一件事的方法）分成若干个互不相交的类，使得每一类中的元素的个数易于计算.在分类过程中要按照统一的标准进行.本题中是按照购买的本数分成了三类.二、合理地选择分类标准是用好分类加法计数原理的关键【例2】将一个正三角形的各边都n等分，过各分点作其它两边的平行线，一共可产生多少个三角形(包括原来的三角形在内)?解析：如图，不妨设正ABC的边长为n，首先考虑“头朝上”的三角形，即平行于水平线的那条边在其对角顶点下方的三角形.边长为1的“头朝上”的三角形有1+2+n=个.边长为2的“头朝上”的三角形有1+2+(n-1)=个. 边长为n的“头朝上”的三角形只有1个.从而，“头朝上”的三角形共有个.然后考虑“头朝下”的三角形，即平行于水平线的那条边在其对角顶点上方的三角形.边长为1的“头朝下”的三角形有1+2+(n-1)= 个.边长为2的“头朝下”的三角形有1+2+（n-3）=个.边长为m的“头朝下”的三角形有=1k个(n+12m).故当n为奇数时，“头朝下”的三角形有.=个；各个击破【类题演练1】在正方体的8个顶点中，能构成一个直角三角形的3个顶点的三点组的个数是( )A.24 B.36 C.48 D.56解析：注意到每个正方形或矩形各有4个“直角三角形三点组”，现正方体共有6个正方形侧面及6个矩形对角面，故可视为有12类方案，即12个矩形或正方形，由分类加法计数原理得412=48个“直角三角形三点组”.故选C.答案：C【变式提升1】在十进制数中，若一个至少有两位数字的正整数除了最左边的数字外，其余各个数字都小于其左边的数字时，则称它为递降正整数.所有这样的递降正整数的个数为( )A.1 001 B.1 010 C.1 011 D.1 013解析：设最左边的数字为n，则比n小的数字n-1,n-2,2,1,0每个只能在n的右边至多出现一次.可是，以n为最左边数字的递降正整数的个数等于集合n,n-1,2,1,0的非空子集合个数2n-1.但n=1,2,9,故递降正整数共有=(210-2)-9=1 013(个).【类题演练2】设M是集合S=1,2,3,1 999的子集，且M中每一个正整数(元素)仅含一个0，则集合M所含元素最多有( )A.243个 B.324个 C.414个 D.495个解析：为了清楚起见，可将集合S中的正整数(元素)按其位数划分为如下四个子集：S1=1,2,3,9,S2=10,11,12,99,S3=100,101,102,999,S4=1 000,1 001,1 002,1 999.显然，S1中每个元素都不含0；在S2中，仅个位数为0的元素有9个，则共有9个；在S3中，仅个位或十数为0的元素各有92个，则共有162个；在S4中，仅个位或十位或百位数为0的元素各有92个，则共有392=243个.根据分类原理，集合M中所含元素最多有414个.答案：C【变式提升2】已知椭圆=1的焦点在y轴上，若a1,2,3,4,5,b1,2,3,4,5,6,7,则这样的椭圆共有多少个?解析：依题意知ba,当b=6或7时，a各有5个可能取值；当b=5时，a只有4个可取值；当b=4时，a只有3个可取值；当b=3时，a只有2个可取值；当b=2时，a只有1个可取值.由分类加法计数原理知:共有5+5+4+3+2+1=20个.当n为偶数时，“头朝下”的三角形有=个.综上所述，一共产生的三角形的个数为N=三、先将问题转化后再进行分类【例3】 把20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子内的球数不小于它的编号数，则不同的放法共有_种.解析:不妨设编号为1，2，3的三个盒子中分别放入了x1,x2,x3个小球，依题意有问题转化为在条件(2)下求不定方程(1)的解的个数，可考虑用分类计数的方法.当x1=1时，x2=2,3, ,16,这时x3随之而定，从而共有15种放法.当x1=2时，x2=2,3, ,15,这时x3随之而定，从而共有14种放法.当x1=15时，只有x2=2,x3=3,仅有一种放法.根据分类原理，符合要求的放法共有N=15+14+2+1=120(种).温馨提示 本题应用等价转化的思想，把“投球”问题转化为求不定方程解的个数问题，应用分类计数原理，使问题很快得到解决.【类题演练3】某生为自己的电脑购置价值不超过500元，单价分别为60元，70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式有多少种?解析：设购买单片软件x片，盒装磁盘y盒，则依题意有60x+70y500(x,yN*,且x3,y2)按购买x片分类：x=3,则y=2,3,4共3种方法；x=4,则y=2，3共2种方法；x=5,则y=2共1种方法；x=6，则y=2共1种方法.由分类加法计数原理知，不同的选购方式有N=3+2+1+1=7(种)【变式提升3】设正2n+1(nN*)边形内接于一个圆，考虑所有以这2n+1边形的顶点为顶点的三角形，其中有多少个三角形的内部含该圆的圆心?解析：如图，先取定一个顶点A，将其它2n个顶点顺次标为1，2，2n.设以A，i(1in)为一个端点的两条直径的另一个端点分别为B，C(注意：B，C不可能是正2n+1边形的顶