2018届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第六节双曲线学案文.docx

1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质2了解圆锥曲线的简单应用、了解双曲线的实际背景、了解双曲线在刻画现实世界或解决实际问题中的作用3理解数形结合的思想知识点一双曲线的定义 平面内动点P与两个定点F1，F2(|F1F2|2c0)的距离_为常数2a(2a2c)，则点P的轨迹叫做双曲线这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距答案之差的绝对值1判断正误(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线()(2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线()答案：(1)(2)2设P是双曲线1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|9，则|PF2|等于()A1B17C1或17D以上答案均不对解析：由题意知|PF1|90，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya，ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1_，A2_渐近线yx_离心率e，e_，其中c实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|_；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2_(ca0，cb0)2.等轴双曲线_和_等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为_，离心率为_答案1(0，a)(0，a)yx(1，)2aa2b22实轴虚轴yxe3双曲线方程：1，那么k的范围是()Ak5B2k5C2k2D2k5解析：由题意知，(|k|2)(5k)0，解得2k5.答案：D4(2016新课标全国卷)已知F1，F2是双曲线E：1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1，则E的离心率为()A. BC.D2解析：设F1(c,0)，将xc代入双曲线方程，得1，所以1，所以y.因为sinMF2F1，所以tanMF2F1，所以e2e10，所以e.故选A.答案：A5(选修11P53练习第3题改编)以椭圆1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为_解析：设要求的双曲线方程为1(a0，b0)，由椭圆1，得焦点为(1,0)，顶点为(2,0)所以双曲线的顶点为(1,0)，焦点为(2,0)所以a1，c2，所以b2c2a23，所以双曲线标准方程为x21.答案：x21热点一双曲线的定义及应用 【例1】已知F是双曲线1的左焦点，A(1,4)，P在双曲线右支上运动，则|PF|PA|的最小值为_【解析】如图所示，设双曲线的右焦点为E，则E(4,0)由双曲线的定义及标准方程得|PF|PE|4，则|PF|PA|4|PE|PA|.由图可得，当A，P，E三点共线时，(|PE|PA|)min|AE|5，从而|PF|PA|的最小值为9.【答案】9【总结反思】双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法，建立与|PF1|，|PF2|的联系. (1)已知F1、F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cosF1PF2()A. B.C. D.(2)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：(1)由x2y22，知ab，c2.由双曲线定义，|PF1|PF2|2a2，又|PF1|2|PF2|，|PF1|4，|PF2|2，在PF1F2中，|F1F2|2c4，由余弦定理，得cosF1PF2.(2)由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(5，0)，F2(5,0)，设曲线C2上的一点P，则|PF1|PF2|80，b0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直，则双曲线的方程为()A.y21Bx21C.1 D1【解析】由题意得c，则a2，b1，所以双曲线的方程为y21.【答案】A【总结反思】求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线由双曲线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程(2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为(0)，再根据条件求的值. (1)已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点与圆x2y210x0的圆心重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1(2)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程为_解析：(1)由题意知圆心坐标为(5,0)，即c5，又e，所以a25，b220，所以双曲线的标准方程为1.(2)法1：双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线的方程为x24y2(0)双曲线过点(4，)，164()24，双曲线的标准方程为y21.法2：渐近线yx过点(4,2)，而0，b0)由已知条件可得解得双曲线的标准方程为y21.答案：(1)A(2)y21热点三双曲线的几何性质 考向1求双曲线的离心率【例3】(2016山东卷)已知双曲线E：1(a0，b0)若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则E的离心率是_【解析】如图，由题意不妨设|AB|3，则|BC|2.设AB，CD的中点分别为M，N，则在RtBMN中，|MN|2c2，故|BN|.由双曲线的定义可得2a|BN|BM|1，而2c|MN|2.所以双曲线的离心率e2.【答案】2考向2求双曲线的渐近线【例4】已知F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|PF2|6a，且PF1F2最小内角的大小为30，则双曲线C的渐近线方程是()A.xy0Bxy0Cx2y0D2xy0【解析】由题意，不妨设|PF1|PF2|，则根据双曲线的定义得，|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，解得|PF1|4a，|PF2|2a.在PF1F2中，|F1F2|2c，而ca，所以有|PF2|F1F2|，所以PF1F230，所以(2a)2(2c)2(4a)222c4acos30，得ca，所以ba.所以双曲线的渐近线方程为yxx，即xy0.【答案】A考向3求变量的取值范围【例5】已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点若0，则y0的取值范围是()A. B.C. D.【解析】由题意知a，b1，c，F1(，0)，F2(，0)，(x0，y0)，(x0，y0)0，(x0)(x0)y0，即x3y0.点M(x0，y0)在双曲线上，y1，即x22y，22y3y0，y00，b0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k满足关系式e21k2.(2)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用b2c2a2和e转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围. (1)(2017安徽合肥质检)若双曲线C1：1与C2：1(a0，b0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b()A2B4C6D8(2)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为()AyxByxCyxDyx(3)(2017江西名校学术联盟一调)设A1，A2分别为双曲线C：1(a0，b0)的左、右顶点，若双曲线上存在点M使得两直线斜率kk2，则双曲线C的离心率的取值范围为()A(0，)B(1，)C(，)D(0,3) 解析：(1)由题意，得2b2a，C2的焦距2c4c2b4，故选B.(2)由题意得，ecaa2a2b2ba，故渐近线方程为yxx，故选C.(3)设M(x，y)，A1(a,0)，A2(a,0)，则k，k，kk(*)又M(x，y)在双曲线1上，y2b2，代入(*)式得，2，即e2121e.答案：(1)B(2)C(3)B双曲线类型问题与椭圆类型问题类似，因而研究方法也有许多类似之处，如“利用定义”，“方程观点”，“直接法或待定系数法求曲线方程”，“数形结合”等但双曲线多了渐近线，问题变得略为复杂和丰富多彩复习中要注意如下两个问题：(1)已知双曲线方程，求出它的渐近线方程；(2)求已知渐近线的双曲线方程；已知渐近线方程为axby0时，可设双曲线方程为a2x2b2y2(0)，再利用其他条件确定的值，此方法的实质是待定系数法忽视“判别式”致误【例】已知双曲线x21，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A、B两点，且点P是线段AB的中点？【分析】由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，所以在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑“判别式”致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑“判别式”，导致解题错误【解】设点A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，且线段AB的中点为(x0，y0)，若直线l的斜率不存在，显然不符合题意设经过点P的直线l的方程为y1k(x1)，即ykx1k，由得(2k2)x22k(1k)x(1k)220(2k20)x0.由题意，得1，解得k2.当k2时，方程成为2x24x30.162480，方程没有实数解不能作一条直线l与双曲