2018届高考数学高考大题专项突破一函数导数方程不等式压轴大题1.3导数与函数的零点及参数范围.docx

1.3导数与函数的零点及参数范围1.(2017天津六校联考,文21)设函数f(x)=ln x-ax2-bx.(1)当a=b=时,求函数f(x)的单调区间;(2)当a=0,b=-1时,方程f(x)=mx在区间1,e2上有唯一实数解,求实数m的取值范围.2.(2017湖北荆州质检一,文21)已知函数f(x)=+a(x-ln x),e为自然对数的底数.(1)当a0时,试求f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在x上有三个不同的极值点,求实数a的取值范围.3.(2017北京东城一模,文20)设函数f(x)=x3-x2+ax,aR.(1)若x=2是f(x)的极值点,求a的值,并讨论f(x)的单调性;(2)已知函数g(x)=f(x)-ax2+,若g(x)在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围.4.(2017湖南长郡中学临考冲刺,文21)已知函数f(x)=(2-a)(x-1)-2ln x(aR).(1)若曲线g(x)=f(x)+x在点(1,g(1)处得切线过点(0,2),求函数g(x)的单调减区间;(2)若函数y=f(x)在上无零点,求a的最小值.5.(2017河南豫南九校质量考评八,文21)已知函数f(x)=ln x+(a0).(1)若函数f(x)有零点,求实数a的取值范围;(2)证明:当a,b1时,f(ln b).导学号241909636.(2017福建宁德一模,文21)已知函数f(x)=ln x-ax+(aR).(1)当a=-时,求函数f(x)的单调区间和极值;(2)若g(x)=f(x)+a(x-1)有两个零点x1,x2,且x11.导学号241909641.3导数与函数的零点及参数范围1.解 (1)依题意,知f(x)的定义域为(0,+),当a=b=时,f(x)=ln x-x2-x,f(x)=x-,令f(x)=0,解得x=1或x=-2(舍去),当0x0;当x1时,f(x)0,所以m=1+.要使方程f(x)=mx在区间1,e2上有唯一实数解,只需m=1+有唯一实数解,令g(x)=1+(x0),g(x)=,由g(x)0得0xe;g(x)e,g(x)在区间1,e上是增函数,在区间e,e2上是减函数.g(1)=1,g(e2)=1+,g(e)=1+,故1m0时,对于x(0,+),ex+ax0恒成立,所以,若x1,f(x)0,若0x1,f(x)0,-2a0,解得x2或x-1,f(x)在x(-,-1),(2,+)时单调递增;令f(x)0,解得-1x0恒成立,g(x)单调递增,又g(0)=0,因此此时函数g(x)在区间(0,1)内没有零点.当0a0,g(x)单调递增,x(a,1)时,g(x)0,因此要使函数g(x)在区间(0,1)内有零点,必有g(1)0,(1+a)+a+0,解得a-1.舍去.当a0时,x(0,1),g(x)0,因此要使函数g(x)在区间(0,1)内有零点,必有g(1)0,解得a-1.满足条件.综上可得a的取值范围是(-,-1).4.解 (1)g(x)=(3-a)x-(2-a)-2ln x,g(x)=3-a-,g(1)=1-a.又g(1)=1,1-a=-1,得a=2.由g(x)=3-2-0,得0x2,函数g(x)的单调减区间为(0,2).(2)f(x)0恒成立,即对x,a2-恒成立,令I(x)=2-,x,则I(x)=-,再令m(x)=2ln x+-2,x,则m(x)=m=2-2ln 20,即I(x)0,于是I(x)在上为增函数,I(x)2-恒成立,只要a2-4ln 2,+).综上,若函数f(x)在上无零点,则a的最小值为2-4ln 2.5.(1)解 函数f(x)=ln x+的定义域为(0,+),由f(x)=ln x+,得f(x)=,因为a0,则x(0,a)时,f(x)0.所以函数f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+)上单调递增,当x=a时,f(x)min=ln a+1,当ln a+10,即00,则函数f(x)有零点.所以实数a的取值范围为.(2)证明 要证明f(ln b),即证ln(ln b)+,令t=ln b0(b1),则b=et,所以只需证ln t+e-t,整理得tln t+ate-t.令h(x)=xln x+a,则h(x)=ln x+1.当0x时,h(x)时,h(x)0.所以函数h(x)在上单调递减,在上单调递增,当x=时,h(x)min=-+a.于是,当a时,h(x)-+a.令(x)=xe-x,则(x)=e-x-xe-x=e-x(1-x).当0x0;当x1时,(x)0时,(x).显然,不等式,中的等号不能同时成立,故当x0,a时,xln x+axe-x.因为b1,所以ln b0.所以ln bln(ln b)+aln be-ln b.所以ln(ln b)+,即f(ln b).6.(1)解 当a=-时,f(x)=ln x+x+(x0),求导,f(x)=.令f(x)=0,解得x=或x=-1(舍去),当f(x)0,解得x,当f(x)0,解得0x0).x1,x2是函数g(x)的两个零点,ln x1+-a=0,ln x2+-a=0,两