高中数学1.1.7柱锥台和球的体积优化训练新人教B版必修.docx

1.1.7 柱、锥、台和球的体积5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.充满氢气的气球飞艇可以供游客旅行.现有一个飞艇,若要它的半径扩大为原来的4倍,那么它的体积应增大到原来的( )A.4倍 B.8倍 C.64倍 D.16倍解析：设气球原来半径为R,则现在半径为4R,此时体积V=（4R）3=64.故选C.答案：C2.圆台的轴截面等腰梯形的腰长为a,下底边长为2a,对角线长为,则这个圆台的体积是( )A. B.C. D.解：由AD=a,AB=2a,BD=a知ADB=90,分别过D点、C点作DHAB,CGAB.知DH=a,HB=.DE=HF=a.V圆台=(a2+a2+a2).答案：D3.一个圆柱的底面直径和高都等于一个球的直径，则这个圆柱的体积与球的体积的比值为_.解析：代入圆柱和球的体积公式求比即可.设球的半径为r，则圆柱的底面半径是r，高是2r，V球=r3，V柱=r22r=2r3.V柱V球=2r3r3=32.答案：3210分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于（ ）A. B. C. D.解：设正方体的棱长为x,则正方体的对角线长为，由题设有，解得x=.所以选D.答案：D2.半径为R的半圆卷成一个圆锥,这个圆锥的体积是( )A. B. C. D.解：设圆锥的底面半径为r,则2r=l=R.r=R.圆锥的高h=.V锥=r2h=.答案：A3.表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为( )A. B. C. D.解：正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由8知a=1.则此球的直径为2，故选A.答案：A4.如图1-1-7-1，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC、DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A-BEFD与三棱锥A-EFC的表面积分别是S1、S2，则必有( )图1-1-7-1A.S1S2C.S1=S2 D.S1、S2的大小关系不能确定解：连结OA、OB、OC、OD，则VABEFD=VOABD+VOABE+VOBEFD,VAEFC=VOADC+VOAEC+VOEFC.又VABEFD=VAEFC而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故SABD+SABE+S四边形BEFD=SADC+SAEC+SEFC又面AEF公共，故选C.答案：C5.正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连结AE、EF、AF，以AE、EF、FA为折痕，折叠这个正方形，使B、C、D重合于一点P，得到一个三棱锥如图1-1-7-2.求此三棱锥的体积.图1-1-7-2解：D=C=B=90，翻折后APE=EPF=APF=90.RtPEF可以看作底面，而AP可以看作是高.比较发现：AP=1，PEPF，PE=PF=.VAPEF=SPEFAP=1=(立方单位).30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)1.正方体形容器有相邻两面中心各有一小孔,则此封闭容器最多盛水量是正方体总容量的( )A. B. C. D.解析：设正方体棱长为2a,则最多盛水容积为(2a)3-a22a=7a3.又总容积为8a3.故选B.答案：B2.若圆锥、圆柱的底面直径和它们的高都等于一个球的直径,则圆锥、圆柱、球的体积之比为( )A.134 B.132C.124 D.142解：设球半径为R,则V圆锥=R2(2R)=R3,V圆柱=R22R=2R3,V球=R3.V锥V柱V球=2=132.答案：B3.OA是圆锥底面中心O到母线的垂线,OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分,则母线与轴的夹角的余弦值为( )A. B. C. D.解析：如图,设圆锥的高为h,母线与轴的夹角为,则圆锥的底面半径r=htan.V圆锥=r2h=h3tan2.又OA=hsin,故O1A=hsincos.故曲面将圆锥分成两部分的上部分体积为V1=O1A2(DO1+O1O)=h3sin2cos2.所剩另一部分的体积为V2=V圆锥-V1=h3tan2-h3sin2cos2.又V1=V2，故h3sin2cos2=h3tan2-h3sin2cos2.解之,得cos4=,cos=.答案：D4.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A.16 B.20 C.24 D.32解析：由V=Sh得S=4，即正四棱柱底面边长为2.该正四棱柱的主对角线即为球的直径，所以球的表面积V=4r2=4()2=D2=(22+22+42)=24，选C.答案：C5.在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是( )A. B. C. D.解析：截去的每个小三棱锥的体积为=（）4，则剩余部分体积V=1-（）48=.答案：D6.已知球面上的四点P、A、B、C,且PA、PB、PC两两互相垂直,PA=PB=PC=2,则此球的体积为( )A. B. C. D.解析：以PA、PB、PC为三边作一个正方体,则此球是正方体的外接球,其直径等于正方体的对角线长,即2R=,所以R=.因此,球的体积为R3=.故选A.答案：A7.圆台的体积为52 cm3,上、下底面积之比为19,则截得该圆台的圆锥体积为_.解：设圆台的上、下底面半径分别为r、R,则rR=13.而V台=h(r2+Rr+R2)=52,设圆锥高为h,则,h=h.h()=52.hR2=52.R2h=162.V锥=R2h=162=54.答案：548.圆锥的母线长是它的高的2倍,过顶点的最大的截面交底面得一条弦,底面圆心到弦的距离为2 cm,求圆锥的体积.解：设PO=x,则PA=2x,OA=,最大截面为PAD(APD=90).设OCAD,则OC=2,AC=.由OC2+CA2=OA2可得x=2.V=()2x=8.9.将半径为72 cm的扇形OAB剪去小扇形OCD,余下扇环ABCD的面积为648 cm2,围成圆台后,其上、下底半径差为6 cm.求该圆台的体积.解:设圆台上、下底面半径、母线、高分别为r、R、l、h,依题意得方程组解之,得V台=(62+122+126)( cm2)