辽宁省高考数学试卷(理科)答案与解析.doc

2009年辽宁省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1（5分）（2009辽宁）已知集合M=x|3x5，N=x|5x5，则MN=（）Ax|5x5Bx|3x5Cx|5x5Dx|3x5【考点】交集及其运算菁优网版权所有【分析】由题意已知集合M=x|3x5，N=x|5x5，然后根据交集的定义和运算法则进行计算【解答】解：集合M=x|3x5，N=x|5x5，MN=x|3x5，故选B【点评】此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道比较基础的题2（5分）（2009辽宁）已知复数z=12i，那么=（）ABCD【考点】复数代数形式的混合运算菁优网版权所有【分析】复数的分母实数化，然后化简即可【解答】解：=故选D【点评】复数代数形式的运算，是基础题3（5分）（2009辽宁）平面向量与的夹角为60，=（2，0），|=1，则|+2|=（）ABC4D12【考点】向量加减混合运算及其几何意义菁优网版权所有【分析】根据向量的坐标求出向量的模，最后结论要求模，一般要把模平方，知道夹角就可以解决平方过程中的数量积问题，题目最后不要忘记开方【解答】解：由已知|a|=2，|a+2b|2=a2+4ab+4b2=4+421cos60+4=12，|a+2b|=故选：B【点评】本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，根据和的模两边平方，注意要求的结果非负，舍去不合题意的即可两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定4（5分）（2009辽宁）已知圆C与直线xy=0及xy4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（）A（x+1）2+（y1）2=2B（x1）2+（y+1）2=2C（x1）2+（y1）2=2D（x+1）2+（y+1）2=2【考点】圆的标准方程菁优网版权所有【分析】圆心在直线x+y=0上，排除C、D，再验证圆C与直线xy=0及xy4=0都相切，就是圆心到直线等距离，即可【解答】解：圆心在x+y=0上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、D；验证：A中圆心（1，1）到两直线xy=0的距离是；圆心（1，1）到直线xy4=0的距离是故A错误故选B【点评】一般情况下：求圆C的方程，就是求圆心、求半径本题是选择题，所以方法灵活多变，值得探究5（5分）（2009辽宁）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A70种B80种C100种D140种【考点】分步乘法计数原理菁优网版权所有【分析】不同的组队方案：选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，方法共有两类，一是：一男二女，另一类是：两男一女；在每一类中都用分步计数原理解答【解答】解：直接法：一男两女，有C51C42=56=30种，两男一女，有C52C41=104=40种，共计70种间接法：任意选取C93=84种，其中都是男医生有C53=10种，都是女医生有C41=4种，于是符合条件的有84104=70种故选A【点评】直接法：先分类后分步；间接法：总数中剔除不合要求的方法6（5分）（2009辽宁）设等比数列an的前n项和为Sn，若=3，则=（）A2BCD3【考点】等比数列的前n项和菁优网版权所有【分析】首先由等比数列前n项和公式列方程，并解得q3，然后再次利用等比数列前n项和公式则求得答案【解答】解：设公比为q，则=1+q3=3，所以q3=2，所以=故选B【点评】本题考查等比数列前n项和公式7（5分）（2009辽宁）曲线y=在点（1，1）处的切线方程为（）Ay=x2By=3x+2Cy=2x3Dy=2x+1【考点】导数的几何意义菁优网版权所有【专题】计算题【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可【解答】解：y=（）=，k=y|x=1=2l：y+1=2（x1），则y=2x+1故选：D【点评】本题考查了导数的几何意义，以及导数的运算法则，本题属于基础题8（5分）（2009辽宁）已知函数f（x）=Acos（x+）的图象如图所示，f（）=，则f（0）=（）ABCD【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；三角函数的周期性及其求法菁优网版权所有【专题】计算题【分析】求出函数的周期，确定的值，利用f（）=，得Asin=，利用f（）=0，求出（Acos+Asin）=0，然后求f（0）【解答】解：由题意可知，此函数的周期T=2（）=，故=，=3，f（x）=Acos（3x+）f（）=Acos（+）=Asin=又由题图可知f（）=Acos（3+）=Acos（）=（Acos+Asin）=0，f（0）=Acos=故选C【点评】本题考查由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，三角函数的周期性及其求法，考查视图能力，计算能力，是基础题9（5分）（2009辽宁）已知偶函数f（x）在区间0，+）单调增加，则满足f（2x1）f（）的x取值范围是（）A（，）B，）C（，）D，）【考点】奇偶性与单调性的综合菁优网版权所有【专题】分析法；函数的性质及应用【分析】由题设条件偶函数f（x）在区间0，+）单调增加可得出此函数先减后增，以y轴为对称轴，由此位置关系转化不等式求解即可【解答】解析：f（x）是偶函数，故f（x）=f（|x|）f（2x1）=f（|2x1|），即f（|2x1|）f（|）又f（x）在区间0，+）单调增加得|2x1|，解得x故选A【点评】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，在这里要注意本题与下面这道题的区别：已知函数f（x）在区间0，+）单调增加，则满足f（2x1）的x取值范围是（）10（5分）（2009辽宁）某店一个月的收入和支出总共记录了N个数据a1，a2，aN，其中收入记为正数，支出记为负数该店用下边的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（）AA0，V=STBA0，V=STCA0，V=S+TDA0，V=S+T【考点】设计程序框图解决实际问题菁优网版权所有【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知S表示月收入，T表示月支出，V表示月盈利，根据收入记为正数，支出记为负数，故条件语句的判断框中的条件为判断累加量A的符号，由分支结构的“是”与“否”分支不难给出答案，累加完毕退出循环后，要输出月收入S，和月盈利V，故在输出前要计算月盈利V，根据收入、支出与盈利的关系，不难得到答案【解答】解析：月总收入为S，支出T为负数，因此A0时应累加到月收入S，故判断框内填：A0又月盈利V=月收入S月支出T，但月支出用负数表示因此月盈利V=S+T故处理框中应填：V=S+T故选A0，V=S+T【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误11（5分）（2009辽宁）正六棱锥PABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥DGAC与三棱锥PGAC体积之比为（）A1：1B1：2C2：1D3：2【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题；转化思想【分析】由于G是PB的中点，故PGAC的体积等于BGAC的体积；求出DH=2BH，即可求出三棱锥DGAC与三棱锥PGAC体积之比【解答】解：由于G是PB的中点，故PGAC的体积等于BGAC的体积在底面正六边形ABCDER中BH=ABtan30=AB而BD=AB故DH=2BH于是VDGAC=2VBGAC=2VPGAC故选C【点评】本题考查棱锥的体积计算，考查转化思想，是基础题12（5分）（2009辽宁）若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x1）=5，x1+x2=（）AB3CD4【考点】函数的图象与图象变化菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】先由题中已知分别将x1、x2所满足的关系表达为，2x1=2log2（52x1）系数配为2是为了与下式中的2x2对应2x2+2log2（x21）=5，观察两个式子的特点，发现要将真数部分消掉求出x1+x2，只须将52x1化为2（t1）的形式，则2x1=72t，t=x2【解答】解：由题意2x2+2log2（x21）=5 所以，x1=log2（52x1） 即2x1=2log2（52x1）令2x1=72t，代入上式得72t=2log2（2t2）=2+2log2（t1）52t=2log2（t1）与式比较得t=x2于是2x1=72x2即x1+x2=故选C【点评】本题涉及的是两个非整式方程，其中一个是指数方程，一个是对数方程，这两种方程均在高考考纲范围之内，因此此题中不用分别解出两个方程，分别求出x1，x2，再求x1+x2，这样做既培养不了数学解题技巧，也会浪费大量时间二、填空题13（5分）（2009辽宁）某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1：2：1，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h，1020h，1032h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为1013h【考点】分层抽样方法菁优网版权所有【分析】由三个分厂的产量比，可求出各厂应抽取的产品数，再计算均值即可【解答】解：从第一、二、三分厂的抽取的电子产品数量分别为25，50，25，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为=1013故答案为：1013【点评】本题考查分层抽样和样本的均值，属基本题再求均值时，要注意各部分所占的比例14（5分）（2009辽宁）等差数列an的前n项和为Sn，且6S55S3=5，则a4=【考点】等差数列的前n项和菁优网版权所有【专题】计算题【分析】根据等差数列的前n项和的公式表示出S5和S3，然后把S5和S3的式子代入到6S55S3=5中合并后，利用等差数列的通项公式即可求出a4的值【解答】解：Sn=na1+n（n1）dS5=5a1+10d，S3=3a1+3d6S55S3=30a1+60d（15a1+15d）=15a1+45d=15（a1+3d）=15a4=5解得a4=故答案为：【点评】此题要求学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式，是一道中档题15（5分）（2009辽宁）设某几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为m）则该几何体的体积为4m3【考点】由三视图求面积、体积菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】由三视图可知几何体是三棱锥，明确其数据关系直接解答即可【解答】解：这是一个三棱锥，高为2，底面三角形一边为4，这边上的高为3，体积等于243=4故答案为：4【点评】本题考查三视图求体积，三视图的复原，考查学生空间想象能力，是基础题16（5分）（2009辽宁）已知F是双曲线的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为9【考点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；双曲线的应用菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】根据A点在双曲线的两支之间，根据双曲线的定义求得a，进而根据PA|+|PF|AF|=5两式相加求得答案【解答】解：A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F（4，0），由双曲线性质|PF|PF|=2a=4而|PA|+|PF|AF|=5两式相加得|PF|+|PA|9，当且仅当A、P、F三点共线时等号成立故答案为9【点评】本题主要考查了双曲线的定义，考查了学生对双曲线定义的灵活运用三、解答题（共8小题，满分70分）17（12分）（2009辽宁）如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC=0.1 km试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01 km，1.414，2.449）【考点】解三角形的实际应用菁优网版权所有【专题】计算题；应用题【分析】在ACD中，DAC=30推断出CD=AC，同时根据CB是CAD底边AD的中垂线，判断出BD=BA，进而在ABC中利用余弦定理求得AB答案可得【解答】解：在ACD中，DAC=30，ADC=60DAC=30，所以CD=AC=0.1又BCD=1806060=60，故CB是CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA、在ABC中，=，sin215=，可得sin15=，即AB=，因此，BD=0.33km故B、D的距离约为0.33km【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用考查学生分析问题解决问题的能力综合运用基础知识的能力20（12分）（2009辽宁）如图，已知两个正方行ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点（1）若平面ABCD平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值；（2）用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线【考点】直线与平面所成的角；反证法与放缩法菁优网版权所有【专题】计算题；证明题【分析】（1）（解法一）由面面垂直的性质定理，取CD的中点G，连接MG，NG，再证出MNG是所求的角，在MNG中求解；（解法二）由垂直关系建立空间直角坐标系，求出平面DCEF的法向量，再用向量的数量积求解；（2）由题意假设共面，由ABCD推出AB平面DCEF，再推出ABEN，由得到ENEF，即推出矛盾，故假设不成立；【解答】解：（1）解法一：取CD的中点G，连接MG，NG设正方形ABCD，DCEF的边长为2，则MGCD，MG=2，NG=平面ABCD平面DCED，MG平面DCEF，MNG是MN与平面DCEF所成的角MN=，sinMNG=为MN与平面DCEF所成角的正弦值解法二：设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系如图则M（1，0，2），N（0，1，0），可得=（1，1，2）又=（0，0，2）为平面DCEF的法向量，cos（，）=MN与平面DCEF所成角的正弦值为cos（2）假设直线ME与BN共面，则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN由已知，两正方形不共面，AB平面DCEF又ABCD，AB平面DCEF面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，ABEN又ABCDEF，ENEF，这与ENEF=E矛盾，故假设不成立ME与BN不共面，它们是异面直线【点评】本题考查了线面角的求法，可有面面垂直的性质定理用两种方法来求解；还考查了用反证法证明，用了线线平行与线面平行的相互转化来推出矛盾，考查了推理论证能力和逻辑思维能力21（12分）（2009辽宁）某人向一目标射击4次，每次击中目标的概率为该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1：3：6击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比（）设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；（）若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P（A）【考点】离散型随机变量及其分布列；等可能事件的概率菁优网版权所有【分析】（1）由题意知目标被击中的次数X的取值是0、1、2、3、4，当X=0时表示四次射击都没有击中，当X=1时表示四次射击击中一次，以此类推，理解变量取值不同时对应的事件，用独立重复试验概率公式得到概率，写出分布列（2）第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次所表示的事件，记出事件，根据事件之间的互斥关系，表示出事件，用相互独立事件同时发生和互斥事件的概率公式，得到结果【解答】解：（）由题意知目标被击中的次数X的取值是0、1、2、3、4，当X=0时表示四次射击都没有击中，P（X=0）=，当X=1时表示四次射击击中一次，P（X=1）=，当X=2时表示四次射击击中两次，P（X=2）=同理用独立重复试验概率公式得到X=3和X=4的概率，X的分列为01234 P（）设A1表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2B1表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2依题意知P（A1）=P（B1）=0.1，P（A2）=P（B2）=0.3，所求的概率为=0.10.9+0.90.1+0.10.1+0.30.3=0.28【点评】本题考查离散型随机变量和相互独立事件的概率以及互斥事件的概率，解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布22（12分）（2009辽宁）已知，椭圆C过点A，两个焦点为（1，0），（1，0）（1）求椭圆C的方程；（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值【考点】椭圆的应用；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】（）由题意，c=1，可设椭圆方程代入已知条件得，求出b，由此能够求出椭圆方程（）设直线AE方程为：，代入得，再点在椭圆上，结合直线的位置关系进行求解【解答】解：（）由题意，c=1，可设椭圆方程为，解得b2=3，（舍去）所以椭圆方程为（）设直线AE方程为：，代入得设E（xE，yE），F（xF，yF），因为点在椭圆上，所以由韦达定理得：，所以，又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以K代K，可得，所以直线EF的斜率即直线EF的斜率为定值，其值为【点评】本题综合考查直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，避免出错23（12分）（2009辽宁）已知函数f（x）=x2ax+（a1）lnx，a1（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）证明：若a5，则对任意x1，x2（0，+），x1x2，有【考点】利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有【专题】计算题；证明题；分类讨论【分析】（1）根据对数函数定义可知定义域为大于0的数，求出f（x）讨论当a1=1时导函数大于0，函数单调递增；当a11时分类讨论函数的增减性；当a11时讨论函数的增减性（2）构造函数g（x）=f（x）+x，求出导函数，根据a的取值范围得到导函数一定大于0，则g（x）为单调递增函数，则利用当x1x20时有g（x1）g（x2）0即可得证【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+）（i）若a1=1即a=2，则故f（x）在（0，+）单调增（ii）若a11，而a1，故1a2，则当x（a1，1）时，f（x）0；当x（0，a1）及x（1，+）时，f（x）0故f（x）在（a1，1）单调减，在（0，a1），（1，+）单调增（iii）若a11，即a2，同理可得f（x）在（1，a1）单调减，在（0，1），（a1，+）单调增（2）考虑函数g（x）=f（x）+x=则由于1a5，故g（x）0，即g（x）在（0，+）单调增加，从而当x1x20时有g（x1）g（x2）0，即f（x1）f（x2）+x1x20，故，当0x1x2时，有【点评】考查学生利用导数研究函数单调性的能力，以及基本不等式证明的能力24（10分）（2009辽宁）选修41：几何证明讲已知ABC中，AB=AC，D是ABC外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长BD至E（1）求证：AD的延长线平分CDE；（2）若BAC=30，ABC中BC边上的高为2+，求ABC外接圆的面积【考点】弦切角；圆內接多边形的性质与判定菁优网版权所有【专题】计算题；证明题【分析】首先对于（1）要证明AD的延长线平分CDE，即证明EDF=CDF，转化为证明ADB=CDF，再根据A，B，C，D四点共圆的性质，和等腰三角形角之间的关系即可得到对于（2）求ABC外接圆的面积只需解出圆半径，故作等腰三角形底边上的垂直平分线即过圆心，再连接OC，根据角之间的关系在三角形内即可求得圆半径，可得到外接圆面积【解答】解：（）如图，设F为AD延长线上一点A，B，C，D四点共圆，CDF=ABC又AB=ACABC=ACB，且ADB=ACB，ADB=CDF，对顶角EDF=ADB，故EDF=CDF，即AD的延长线平分CDE（）设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H，则AHBC连接OC，由题意OAC=OCA=15，ACB=75，OCH=60设圆半径为r，则r+r=2+，a得r=2，外接圆的面积为4故答案为4【点评】此题主要考查圆内接多边形的性质问题，其中涉及到等腰三角形的性质，属于平面几何的问题，计算量小但综合能力较强，需要同学们多练多做题25（2009辽宁）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos（）=1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点（1）写出C的直角坐标方程，