2017_18学年高中数学第三章3.1导数的概念学案.docx

31导数的概念31.1平均变化率某病人吃完退烧药，他的体温变化如下：x(min)0102030405060y()3938.738.53837.637.336.8问题1：试比较时间x从0 min到20 min和从20 min到30 min体温变化情况，哪段时间体温变化较快？提示：从20 min到30 min变化快问题2：如何刻画体温变化的快慢？提示：用平均变化率问题3：平均变化率一定为正值吗？提示：不一定可正、可负、可为零1平均变化率一般地，函数f(x)在区间x1，x2上的平均变化率为.2平均变化率与曲线变化关系平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”对平均变化率的理解(1)由平均变化率的定义知，平均变化率可正、可负、可为零(2)平均变化率刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢求平均变化率例1已知函数f(x)2x21.(1)求函数f(x)在区间1,1.1上的平均变化率；(2)求函数f(x)在区间2,2.01上的平均变化率思路点拨直接利用平均变化率的定义求解即可精解详析(1)4.2.(2)8.02.一点通求函数f(x)在区间x1，x2上的平均变化率的步骤：第一步：求x2x1；第二步：求f(x2)f(x1)；第三步：由定义得出.1求函数ysin x在0到之间和到之间的平均变化率解：在0到之间的平均变化率为；在到之间的平均变化率为.2.如图是函数yf(x)的图像，则：(1)函数f(x)在区间1,1上的平均变化率为_；(2)函数f(x)在区间0,2上的平均变化率为_解析：(1)函数f(x)在区间1,1上的平均变化率为.(2)由函数f(x)的图像知，f(x)所以函数f(x)在区间0,2上的平均变化率为.答案：(1)(2)平均变化率的应用例2已知气球的体积为V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)r3.(1)求半径r关于体积V的函数r(V)；(2)比较体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L时半径r的平均变化率，哪段半径变化较快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？思路点拨首先由球的体积公式变形得到函数r(V)的解析式，再根据求平均变化率的步骤运算精解详析(1)Vr3，r3，r ，r(V) .(2)函数r(V)在区间0,1上的平均变化率约为0.62(dm/L)函数r(V)在区间1,2上的平均变化率约为 0.16(dm/L)显然体积V从0 L增加到1 L时，半径变化快，这说明随着体积的增加，气球的半径增加的越来越慢一点通平均变化率在实际问题中有很大作用，要把实际问题中的量与函数中的量对应起来，从而能利用平均变化率的定义来解决实际问题3已知某一细菌分裂的个数随时间t s的变化满足函数关系式f(t)3t1，分别计算该细菌在1,2，3,4，5,6时间段内分裂个数的变化率，由此你能得出什么结论？解：细菌分裂的个数在1,2内的平均变化率为3236，细菌分裂的个数在3,4内的平均变化率为343354.细菌分裂的个数在5,6内的平均变化率为3635486.由此得出随时间的增加，细菌分裂的个数增加速度越来越快4一底面半径为r cm，高为h cm的倒立圆锥形容器，若以n cm3/s的速率向容器里注水，求注水时前t s水面上升的平均速率，并说明由此得出什么结论解：设注水t s时，水面高度为y cm，此时水面半径为x cm.则，xy，由题意知ntx2y，y，在0，t内水面上升的平均速率为：(cm3/s)，可见当t越来越大时，水面上升的平均速率将越来越小平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势，平均变化率的绝对值反映了曲线在给定的区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，曲线在该区间上的变化越快；反之则慢对应课时跟踪训练(十五) 1函数f(x)在x1到x2之间的平均变化率为_解析：.答案：2某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位：mg/mL)来表示，它是时间t(单位：min)的函数，表示为cc(t)，下表给出了c(t)的一些函数值：t/min0102030405060708090c(t)/(mg/mL)0.840.890.940.981.001.000.970.900.790.63服药后3070 min这段时间内，药物浓度的平均变化率为_解析：0.002.答案：0.0023一棵树2011年1月1日高度为4.5 m,2012年1月1日高度为4.98 m，则这棵树2011年高度的月平均变化率是_解析：0.04.答案：0.044在曲线yx21的图像上取一点(1,2)及邻近一点(1.1,2.21)，则该曲线在1,1.1上的平均变化率为_解析：2.1.答案：2.15如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是_在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；在0到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度；在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度解析：在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为，故错误；在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为.因为s2s0s1s0，t1t00，所以，故正确，错误答案：6已知正弦函数ysin x，求该函数在和内的平均变化率，比较平均变化率的大小，并说明含义解：当自变量从0变到时，函数的平均变化率为k1.当自变量从变到时，函数的平均变化率为k2.易知3 6(2)，k1k2，即函数ysin x在内的平均变化率大于在内的平均变化率，说明函数ysin x的图像在内比较陡峭，在内比较平缓7路灯距地面8 m，一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速度在地面上从路灯在地面上射影点C沿某直线离开路灯(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式；(2)求人离开路灯的第一个10 s内身影的平均变化率解：(1)如图所示，设人从C点运动到B处的路程为x m，AB为身影长度，AB的长度为y m，由于CDBE，则，即，所以yf(x)x.(2)在0,10上身影的平均变化率为：.即人离开路灯的第一个10 s内身影的平均变化率为.8巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？解：山路从A到B高度的平均变化率为hAB，山路从B到C高度的平均变化率为hBC，hBChAB.山路从B到C比从A到B要陡峭的多31.2瞬时变化率导数曲线上一点处的切线你登过泰山吗？登山过程中，你会体验到“六龙过万壑”的雄奇，感受到“会当凌绝顶，一览众山小”的豪迈，当爬到“十八盘”时，你感觉怎样？问题1：陡峭程度能反映山坡高度变化的快与慢吗？提示：能问题2：从数学的角度如何量化曲线的“陡峭”程度呢？提示：用曲线的切线的斜率表示割线逼近切线的方法设曲线C上有一点P，Q是曲线C上的另一点，则直线PQ称为曲线C的割线；当点Q沿曲线C向点P运动时，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线瞬时速度，瞬时加速度问题1：探究在ygt2中，怎样求在t3这一时刻的速度？提示：物体在t3临近时间间隔内的平均速度可以看做物体在t3这一时刻速度的近似值取一小段时间3,3t，在这段时间t内，物体位置的改变量sg(3t)2g32(6t)t，相应的平均速度(6t)问题2：下表是t选取不同数值时相应的平均速度.t210.50.250.10.050.020.014g3.5g3.25g3.125g3.05g3.025g3.01g3.005g上表的平均速度中最接近t3时这一时刻的速度的是哪一个？提示：t0时的平均速度即这一时刻的速度，v3.005 g.瞬时速度与瞬时加速度要刻画物体在某一时刻的运动速度，通常先计算物体的位移s(t)的平均变化率，当t无限趋近于0时，无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在tt0时的瞬时速度一般地，我们计算运动物体速度的平均变化率，如果t无限趋近于0时，无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在tt0时的瞬时加速度，瞬时加速度就是速度对于时间的瞬时变化率导数的概念在庆祝建国60周年阅兵式上，最后出场的教练机梯队以“零米零秒”的误差通过天安门上空问题1：通过天安门上空那一时刻的速度用什么描述？提示：瞬时速度问题2：瞬时变化率是导数吗？提示：是1导数的概念导数定义设函数yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，当x无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点xx0处可导并称该常数A为函数f(x)在点xx0处的导数，记作f(x0)可用符号“”表示“无限趋近于”几何意义导数f(x0)的几何意义就是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率2导函数的概念(1)导函数的定义：若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f(x)在不引起混淆时，导函数f(x)也简称为f(x)的导数(2)f(x0)的意义：f(x)在点xx0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点xx0处的函数值1求曲线上一点处的切线的关键是利用割线逼近切线的方法求出切线的斜率2瞬时速度为位移函数相对于时间的瞬时变化率；瞬时加速度是速度函数相对于时间的瞬时变化率3“函数f(x)在点x0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别：“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，是针对x0而言的，与给定的函数及x0的位置有关，而与x无关；“导函数”简记为“导数”，是一个函数，它是对于一个区间而言的，是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x，x无关求曲线上一点的切线及斜率例1已知曲线yx上的一点A，用切线斜率定义求：(1)点A处的切线的斜率；(2)点A处的切线方程思路点拨先计算，再求其在x趋近于0时无限逼近的值精解详析(1)yf(2x)f(2)2xx，1.当x无限趋近于零时，无限趋近于，即点A处的切线的斜率是.(2)切线方程为y(x2)，即3x4y40.一点通根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线过某点的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，x无限趋近于0时，无限趋近的常数1已知曲线y2x3上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于_解析：y2x3，2(x23x3)2(x)26x6.当x无限趋近于0时，无限趋近于常数6，因而A处切线斜率为6.答案：62已知曲线y2x24x在点P处的切线的斜率为16，则P点坐标为_解析：设P点坐标为(x0，y0)，则4x042x.当x无限趋近于0时，4x042x无限趋近于4x04，因此4x0416，即x03，所以y023243181230.即P点坐标为(3,30)答案：(3,30)3求曲线C：yx3在x2处的切线方程解：把x2代入yx3，得y4，所以切点为P(2,4)，又42x(x)2，当x趋近于0时，趋近于4.即切线斜率k4.所以所求切线方程为y44(x2)，即4xy40.瞬时速度和瞬时加速度例2以初速度v0(v00)竖直上抛的物体，经过时间t高度为s(t)v0tgt2.求物体在t0时刻的瞬时速度思路点拨先求s，再根据定义，当t0时，趋近于常数来求精解详析由已知得：sv0(t0t)g(t0t)2(v0gt0)tg(t)2，v0gt0gt.当t趋近于0时，趋近于v0gt0.物体在时刻t0时的瞬时速度为v0gt0.一点通(1)求瞬时速度的步骤：求位移增量ss(t0t)s(t0)；求平均速度；求瞬时速度：当t趋近于0时，趋近于v.(2)求瞬时加速度的步骤与上述求瞬时速度的步骤类似4一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s3tt2，则此物体在t2时的瞬时速度为_解析：由于s3(2t)(2t)2(3222)t(t)2，所以1t.当t无限趋近于0时，无限趋近于常数1.故物体在t2时的瞬时速度为1.答案：15已知物体运动速度v与时刻t的关系为v(t)t2t.求物体在t2时的瞬时加速度解：v(2t)2(2t)(222)(t)25t，t5.当t趋近于0时，趋近于常数5.物体在t2时的瞬时加速度为5.求函数在某点处的导数例3求函数f(x)2在点x1处的导数思路点拨法一：法二：精解详析法一：由已知得y21，.x0时，2.f(1)2.法二：y(2)，.f(x).f(1)2.一点通求函数在xx0处的导数的方法：确定yf(x)在xx0处的导数一般有两种方法，一是应用导数定义法，二是导函数的函数值法，求解时，y要求准确，x可正可负6求函数yf(x)2x24x在x3处的导数解：法一：y2(3x)24(3x)(23243)12x2(x)24x2(x)216x，2x16.当x0时，2x1616.f(3)16.法二：4x2x4，当x0,4x2x44x4，f(x)4x4，f(3)43416.7已知函数f(x)ax22x在x1处的导数为6，求a的值解：a(x)2(a1)当x0时，2a2，f(1)2a2.由条件知f(1)6，2a26，a2.导数的几何意义及其综合应用例4已知直线l1为曲线yx2x2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1l2，求由直线l1、l2和x