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极坐标系与参数方程编稿：侯彬审稿：安东明责编：辛文升一、基础知识回顾1极坐标系（1）建系：如图所示，在平面上取一个定点O，由O点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的 正方向（通常取逆时针方向）合称为一个极坐标系。O点称为极点，Ox称为极轴。 平面上任意点M的位置可以由线段OM的长度（0）和从Ox到OM的角度来刻画，这两个数组 成的有序数对称为点M的极坐标。称为极径，称为极角。多数情况下，我们用弧度制度 量。 注意：平面上的点与其极坐标之间不具有一一对应关系，因为若点M的一组极坐标为，则 （kZ）也是点M的极坐标。若限定，则除原点外，点其极坐标一 一对应。（2）极坐标系与直角坐标系的互化 在平面上取定了一个极坐标系，以极轴作为直角坐标系的x轴的正半轴，以的射线作y轴的 正半轴，以极点为坐标原点，长度单位不变，建立一个直角坐标系。 设M为平面上的一点，它的直角坐标为（x，y），极坐标为。画图可知： ，或。（3）曲线的极坐标方程的概念 在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程。如果曲线C是由极坐标满足 方程的所有点组成的，则称此二元方程为曲线C的极坐标方程。 也就是说：以方程的解为坐标的点在曲线C上； 曲线C上的点的至少一组坐标是方程的解。（4）直线的极坐标方程 经过极点：或。 垂直于极轴且与极点距离为a（0）：。 平行于极轴且与极点距离为a（0）：。（5）圆的极坐标方程 圆心为极点，半径为r：。 圆心为（r，0），半径为r：。 圆心为，半径为r：。 圆心为，半径为r：。 圆心为，半径为r：。2参数方程（1）定义：平面直角坐标系上点的坐标x，y表示为第三个变量t的函数，参数t是 联系x，y的桥梁，消去t即得到方程F(x，y)=0。 注意：对t的每一取值，方程组确定的点（x，y）在曲线上； 线上任一点（x，y）都可由t的某一取值通过方程组可得到。（2）已知直线经过定点P0(x0，y0)，倾斜角为，则方向向量，直线上任意一点 P(x，y)满足，则（t为参数）。 注意：参数t的意义： t的符号：相对于P0（x0，y0）的位置。t的绝对值：|P0P|=|t|。 若已知一般的方向向量类似于上述过程（t为参数），但此时参数t就不具 有上述参数方程的意义。（3）圆的参数方程：，为参数。 椭圆的参数方程：，为参数。二、典型例题1设点，直线过极点且垂直于极轴，分别求点M关于极轴，直线，极点的对称点的极坐标。解：关于极轴：；关于直线：关于极点：。说明：点的极坐标不唯一，写出一组即可。2把下列点的极坐标化为直角坐标：，B（1，2）。解：（1）， A点直角坐标。（2）， B点直角坐标。3把下列点的直角坐标化为极坐标：A（1，1），B（1，）解：（1），又A在第四象限， A点极坐标（2），又B在第一象限， B点极坐标4将下列极坐标方程化为直角坐标方程。（1）；（2）；（3）；（4）。解：（1），直角坐标方程为x2+y2=1（2）曲线经过极点，x2+y2=y（3） (x2+y2)(x1)=0（4）曲线经过极点 (x2+y2)2=2a2xy5求直线的倾斜角。解：法一：直线的方向向量，倾斜角为法二：消去t，将直线方程化为普通方程为，即，斜率，倾斜角为。6设直线经过点M（1，1），倾斜角为。（1）写出直线的参数方程；（2）求直线与直线的交点P的坐标及|PM|。解：（1）的参数方程为（2）由（1）知，解方程，得 P点坐标为， 即，且7直线经过点A（1，3）且与共线，求点P（2，1）到直线的距离。解：的参数方程设P到点的距离为d， 设 当时P到的距离为。8求椭圆上的点到M（2，0）的距离的最小值。解：设椭圆上点坐标，M到椭圆上点的距离为d 当时 椭圆上点到M（2，0）的距离最小值为。三、课后练习1极坐标方程表示的曲线是（ ）A直线 B圆 C椭圆 D抛物线2已知动圆方程，那么圆心的轨迹是（ ）A椭圆 B椭圆的一部分