风险投资组合的线性规划模型

第卷 第期 年月 数学的实 践 与 认 识 风险投资组合的线性规划模型 邓刚毅许剑勇周斌 指导教师胡良剑 中国纺织大学 上海 川 编者按本文通过风险函数转化为不等约束 建立为线性规戈 模型直接采用现成程序进布 刹十算 得出 优化决策方案并且给出有效投资曲线 根据投资者主观偏好 选择投资方向 摘要对市场上的多种风险资产和一种无风险资产存银行进行组合投资策略的设计需要考虑两个 目标总体收益尽可能大和总体风险尽可能小 而这两个目标在一定意义上是对立的 本文给出组合投资方案设计的一个线性规戈模型上要思路是通过线性加权综合两个设计目标假 设在投资秀绷模相当大的基础上 将交易费函数近似线性化 通过决策变量的选取化解风险函数的非线性 模型的最大优点是计算过程稳定性好 速度快我们对各种加权因子 求得了最优化决策方案 从而得到间题的有效投资曲线根据有效投资曲线 投资者可以由自己的主观偏好 直观地选择自己的 投资方向 一 问题的提出 略 二 符号说明 万 第种资产 万 十 其中味 十 表示存入银行 从的平均收益率 写 的风险损失率 叼 的交易费率 写 购买额阀值解资金总额 丫 投资 占总额的比重不含交易费以下简称投资 几 投资呵 的交易费占总额的比重 以下简称交易费 净收益总体风险 入 权因子 三 模型的建立 一基本模型 我们的目标是对各种资产投资以后 不仅收益尽可能大 同时总体风险还要尽可能小 所以我们 的目标函数应为收益和风险两个函数由于在一段时间内的各种资产的平均收益率和风险损失率均已 由财务人员分析了出来 因此我们可以建立以下数学模型 目标 川 目标 一山 一 艺仕 戈 一 王 儿 蟹攀 恤 月 艺 十 二 之 更多数学建模资料请关注微店店铺 数学建模学习交流 数学的实践与认识卷 其中 丽 工 二 大 斋 丫 大 告 刀老 一一 产名 这是一个多 目标非线性数学规划模型 月 它转化为一个线性规划模型 二线性规划模型 目标函数的确定 多目标规划有多种方法化为单目标问题解决 不是 的连续函数 优化求解困难下面我们将 我们使用线性加权法 总目标函数 川久儿十 一入一 久反映了风险投资中投资者的主观因素 入越小表示投资越冒险 特别地入表示只顾收益不顾 风险 这样的人有可能取得最大收益 八 表示只顾风险而不顾收益 这样的人会将所有资金存入 银行 交易费函数的线性化近似 本题难点之一是 飞不是灭 的连续函数现将从近似为从的线性函数 了 少 对闹值以下有一定误差图略但当投资规模充分大时 对优化结果不会有明显影响一方面 对 于 若从 的投资很小 会白白浪费交易费 对优化不利 最优解一确受不会出现小 丫 另一方面当投资总额很大时 不足购买费阂值的迫加费用对目标函数影响不大 弓 风险函数的转化 令 那么必有 丫 三丫 十 二 哟由于目标函数优化 从而最优解必 可使 瞥华佩 达到玩 这样得到线性规划模型 一入 艺 一 入 十 乙 一 又么 十 大 一 三 丫 四 模型的求解 一求解方法 木文采用 刃 入 优化工具箱中的线性规划函数 求解它优化下列线性规划模型 川 了 一 飞入乙 使用格式为 二 一 之 二 入 期邓刚毅等风险投资组合的线性规划模型 其中 之 肠 分别是上下界 为初始值 刀表示约市条件中前 个约束为等式约束 二计算步骤 输入数据 选取权因子 无 生成矩阵 认 根据需要取 时乙 心 本问题 时占取零向量 取 功和 无特殊要求 置 为空集 使用函数 求解 三计算结果及分析 投资问题一略 使用上述方社衫全另求解当入 时的最优决策及风险和收益如下 兮兮兮入们日 了了二入二日入 冬 刀 夕夕 二冬 困 从从 注悦 存存银行行 吸仁 卜吸 吸 哎 净净收益益 肖 夏刀 风风险险 亏们山 乡 乡 刀 投资问题二略 使用上述方牲名于另 求解入 的最优决策及风险和收益如下 罗 入 入二入二日入 口入二 右 久二入 万万 口 川 悦在 心上考 奋 乍组组 任弓 从从甚 甚 写写 以 刀 哎 吸 万万 吃日 五二 飞 万万吕 吕 日夏 写写 叮冬 兮 川下下 卜 卜 门 以下下 日勺 乡乡一 卜 畏 乡谧 硬 一 叮 川 气气 几不不卜 万万一礴 礴 川 川 印川们们 硬 硬 日 臼 臼 硬 刀 飞飞 存存银行行 气川飞 川 气川 飞人又 少几 饭吸 饭川 川 净净收益益 卜川川州左日土且心心几 风风险险 几吸 冬卜 丁 刀 一 咬 于 投资方案分析 从上面结果得到问题一的四个典型最优组合 问题二有了个典型最优组合对于不同风险承 受能力 选择该风险水平下的最优投资组合 例如对问题一若风险承受水平是似 那么取 久 时的决策方案 净收益和风险都是 入的单调下降函数 图哪韵 兑 明谨慎程度越强 风险越小但受益也越 小具有明确的实际意义 数学的实践与认识卷 更详细的计算结果见下图 我们用 入 内等分点 求得最优投资组合集及它们 形成的有效投资曲线这条曲线上的任一点都表示该风险水平的最大可能收益和该收益要求的最小风 险实际上我们发现其有效投资曲线是离散的 问题一只有个最优方案 问题二只有个最优方 案其中问题一风险 加即 入 的决策 二 们 胡 和问题二风 险 即 久 的决策 砚 具有特别重要的意义 因为它们对应在风险增长较慢情形下最大的收益 可认为是一般意义 上的最优解 收益 广一一 有效投资曲线 又二弓 收益有效投资曲线 一一一一一一一一 一 尸 弓白 忍以 冬 卜 少下 口 厂 刀 适用性分析 飞 习一一一一 风险 一 卜 八 风险 当 大 介 线性规划模型可能不是最优解 也就是说结果的正确性与 甘有关 时必最优 但 兴 时结果不一定可靠 比如对问题二