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第三节广义根轨迹 第四章线性系统的根轨迹法 教学重点 绘制参数根轨迹时对闭环传函的等效变形 绘制零度根轨迹时改变的三条规律 教学难点 4 3广义根轨迹 负反馈系统中K 变化时的根轨迹叫做常规根轨迹 除根轨迹增益K 以外 其它情形下的根轨迹统称为广义根轨迹 包括参数根轨迹和零度根轨迹两种情况 定义 以非根轨迹增益 比如比例微分环节或惯性环节的时间常数 为可变参数绘制的根轨迹 闭环传函 等效闭环系统 其开环传函与常规根轨迹的开环传函具有相同形式 变形 参数根轨迹 绘制思路 1 以比例一微分环节的时间常数为参量 例如图所示系统 绘出以时间常数T为参量的根轨迹 解 系统的开环传递函数为 闭环传递函数为 分子分母同除以 由闭环传函标准形式 知等效系统中 等效系统为 绘制T从0 变化时原系统的根轨迹如下图 由开环传函 num 10 den conv 1 0 05 0 9987 j 1 0 05 0 9987 j rlocus num den num 10 den 10 11 rlocus num den 原系统和等效系统的开环传函不同 但它们具有相同的闭环传函 绘出的根轨迹是参数T从0到 变化时原系统闭环特征根的变化轨迹 因为等效系统与原系统的特征根是一样的 说明 等效变形时要化成闭环传函的标准形式 分母中要出现 1 的形式 2 以惯性环节的惯性时间常数为参量 例如图所示系统 绘出以时间常数T为参量的根轨迹 解 系统的开环传递函数为 闭环传递函数为 分子分母同除以 由闭环传函标准形式 知等效系统中 所以等效系统为 原因 闭环特征式等于开环传函的分子多项式和分母多项式的和 开环传函为G s H s 和1 G s H s 时 系统的特征多项式相同 作出的根轨迹是相同的特征方程的根随同一个参数变化的轨迹 因此 根轨迹的形状相同 对于开环传函 分母的阶数小于分子的阶数 无法用MATLBA绘制根轨迹 解决办法 绘制 的根轨迹 进一步说明 已知两系统的开环传函 分别绘制系统的根轨迹如下 num conv 11 12 den conv 13 14 rlocus num den num conv 13 14 den conv 11 12 rlocus num den 绘制T从 0变化时原系统的根轨迹如下图 num 215 den 1100 rlocus num den 说明 得到的根轨迹图和开环传函为G s H s 的根轨迹图相比 形状上相同 起点和终点相反 零极点相反 根轨迹增益互为倒数 定义 如果负反馈系统开环传递函数的分子 分母中s最高次幂系数不同号 或者正反馈系统开环传函的分子 分母中s最高次幂同号 系统根轨迹为零度根轨迹 零度根轨迹 由根轨迹方程1 G s H s 0推得相角条件为 所以 零度根轨迹和常规根轨迹相比凡是和相角有关系的规律都要发生变化 实轴上的根轨迹 若实轴上某点右侧的开环零 极点的个数之和为偶数 则该点在实轴的根轨迹上 渐进线与实轴的夹角为 根轨迹的起始角和终止角 变化的规律 已知单位正反馈系统中用matlab绘制系统根轨迹图如下 g zpk 2 3 1 1 j 1 1 j 1 rlocus g 已知单位反馈系统中用matlab绘制系统根轨迹图如下 g zpk 2 3 1 1 j 1 1 j 1 rlocus g 小结 参数根轨迹和零度根轨迹的概念 参数根轨迹的绘