2017_18学年高中数学第三章3.2.1几个常用函数的导数与的导数公式课后提升训练含解析.docx

几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2017丽江高二检测)函数f(x)=x,则f(3)等于()A.36B.0C.12xD.32【解析】选A.因为f(x)=()=12x,所以f(3)=123=.【规律总结】求函数在某点处导数的方法函数f(x)在点x0处的导数等于f(x)在点x=x0处的函数值.在求函数在某点处的导数时可以先利用导数公式求出导函数,再将x0代入导函数求解,不能先代入后求导.2.若y=lnx,则其图象在x=2处的切线斜率是()A.1B.0C.2D.12【解析】选D.因为y=1x,所以当x=2时,y=12,故图象在x=2处的切线斜率为12.3.已知函数f(x)=x3的切线的斜率等于3,则切线有()A.1条B.2条C.3条D.不确定【解析】选B.因为f (x)=3x2=3,解得x=1.切点有两个,即可得切线有两条.【补偿训练】若曲线y=x3+x-2在点P0处的切线平行于直线4x-y+1=0,则点P0的一个坐标是()A.(0,-2)B.(1,1)C.(-1,-4)D.(1,4)【解析】选C.因为y=3x2+1=4,所以x=1,所以y=0或-4,所以P0的坐标为(1,0)或(-1,-4).4.给出下列四个导数=cos;(log12x)=-1xln2;1x=1x2;(x4)=4x3.其中正确的导数共有()A.2个B.3个C.4个D.0个【解析】选A.根据导数基本公式求导,再判断.sin=12,而=0,错;(lox)=1xln12=-1xln2,对;=-1x2,错;(x4)=4x3,对,故正确.【补偿训练】下列各式中正确的是()A.(lnx)=xB.(cosx)=sinxC.(sinx)=cosxD.(x-8)=-18x-9【解析】选C.因为(lnx)=1x,(cosx)=-sinx,(x-8)=-8x-9=-8x9,所以A,B,D均不正确,C正确.5.对任意的x,有f(x)=4x3,f(1)=-1,则此函数解析式为()A.f(x)=x3B.f(x)=x4-2C.f(x)=x3+1D.f(x)=x4-1【解析】选B.由f(x)=4x3知,f(x)中含有x4项,然后将x=1代入选项中验证可得.6.(2017许昌高二检测)已知y=x+1+lnx在点A(1,2)处的切线是l,若l与二次函数y=ax2+(a+2)x+1的图象也相切,则实数a的取值为()A.12B.8C.0D.4【解析】选D.因为y=1+1x,所以曲线y=x+1+lnx在x=1处的切线斜率为k=2,则切线方程为y-2=2x-2,即y=2x,由于切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,联立得ax2+ax+1=0,又因为a0且两线相切有一切点,所以=a2-4a=0,所以a=4.7.若曲线y=x-12在点(a,a-12)处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为18,则a=()A.64B.32C.16D.8【解析】选A.由y=-12x-32,所以k=-12a-32,切线方程是y-=-12a-32(x-a).令x=0,y=32a-12;令y=0,x=3a.所以三角形的面积S=123a32a-12=18,解得a=64.8.(2017宝鸡高二检测)已知直线y=kx是曲线y=ex的切线,则实数k的值为()A.1eB.-1eC.-eD.e【解析】选D.设切点为(x0,).y=ex,当x=x0时,y=,所以过切点的切线方程为y-=(x-x0),即y=x+(1-x0),又y=kx是切线,所以所以【延伸探究】若将本题中的曲线“y=ex”改为“y=lnx”,则实数k=()A.1eB.-1eC.-eD.e【解析】选A.设切点为(x0,lnx0).y=1x,当x=x0时,y=1x0,所以过切点的切线方程为y-lnx0=1x0(x-x0),即y=1x0x+lnx0-1,所以所以二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2017兴义高二检测)设曲线y=xn+1(nN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lgxn,则a1+a2+a99的值为.【解析】y=(n+1)xn,曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1),令y=0,得xn=.an=lgxn=lg=lgn-lg(n+1),则a1+a2+a99=lg1-lg2+lg2-lg3+lg99-lg100=-lg100=-2.答案:-210.(2017广州高二检测)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=lnx在x=e(e为自然对数的底数)处的切线与直线ax-y+3=0垂直,则实数a的值为.【解析】因为y=lnx的导数为y=,即曲线y=lnx在x=e处的切线斜率为k=,由于切线与直线ax-y+3=0垂直,则a=-1,解得a=-e.答案:-e三、解答题(每小题10分,共20分)11.求下列函数的导数.(1)y=5x3.(2)y=1x5.(3)y=-2sinx21-2cos2x4.(4)y=log2x2-log2x.【解析】(1)y=()=()=.(2)y=(x-5)=-5x-6=-.(3)因为y=-2sin=2sin=2sincos=sinx,所以y=(sinx)=cosx.(4)因为y=log2x2-log2x=log2x,所以y=(log2x)=.【方法总结】1.公式记忆:对于公式(ax)=axlna与(logax)=记忆较难,又易混淆,要注意区分公式的结构特征,既要从纵的方面(lnx)与(logax)和(ex)与(ax)区分,又要从横的方面(logax)与(ax)区分,找出差异记忆公式.2.求导注意点:(1)应用导数公式时不需对公式说明,掌握这些公式的基本结构和变化规律直接应用即可.(2)需要根据所给函数的特征,恰当地选择公式.(3)对一些函数求导时,要弄清一些函数的内部关系,合理转化后再求导,如y=,y=,可以转化为y=,y=x-3后再求导.【补偿训练】求下列函数的导数.(1)y=a2(a为常数).(2)y=x12.(3)y=x-5.(4)y=lgx.【解析】(1)因为a为常数,所以a2为常数,所以y=(a2)=0.(2)y=(x12)=12x11.(3)y=(x-5)=-5x-6=-.(4)y=(lgx)=.12.(2017烟台高二检测)求过曲线y=cosx上点P且与在这点的切线垂直的直线方程.【解析】因为y=cosx,所以y=-sinx,曲线在点P处的切线斜率是y=-sin=-.所以过点P且与切线垂直的直线的斜率为,所以所求的直线方程为y-=,即2x-y-+=0.【能力挑战题】求证双曲线y=1x上任意一点P处的切线与两坐标轴围成的三角形面