复化辛卜生公式在互通立交工程坐标计算中的应用.doc

复化辛卜生公式在互通立交工程坐标计算中的应用1 作者： 日期：复化辛卜生积分公式在互通立交工程中坐标计算及VB编程中的应用 摘要：互通立交中的匝道线形复杂，复化辛卜生坐标计算公式是适合任何线型坐标计算的万能公式，因而也有利于手工和编程实现复杂曲线的坐标计算。关键词：复化辛卜生；积分；互通立交；坐标计算；VB编程；应用 一、 引言匝道是组成高等级的公路立交的基本单元，其线形千变万化。就线形而言，它是直线、回旋线、园曲线段组成。对于互通立交匝道涉及多个基本曲线，设计半径较小，这就给坐标计算带来了困难。本文从微积分的角度，利用复化辛卜生积分公式推导公路匝道点位坐标计算公式，并简述在诸永高速怀鲁枢纽互通立交工程中坐标计算及编程中的应用。二、 复化辛卜生积分公式的基本原理及坐标计算公式的简单推导1、复化辛卜生积分公式的基本原理由数值计算的知识可知，等距节点的插值型求积分式为： 其中 (1) 式称为牛顿-柯斯特 (Newtow-Cotes) 公式。称为柯斯特系数，容易计算出：当时,三个节点分别为于是相应的积分公式为上面的（2）式就是后面我们推导要用的最基本的公式，其几何意义是用抛物线围成的曲边梯形面积近似代替曲边梯形的面积。在实际计算中，若积分区间比较长，直接使用上面的求积公式精度难以保证，通常采用复化求积的方法，即把区间n等分，记分点为,再在每个小区间上使用低阶的牛顿-柯斯特公式,求得小区间上的近似值,再求和,使用此和作为积分近似值。 2、复化辛卜生坐标计算公式的推导如图1所示，一段长为l的回旋线起点A的曲率半径为，其里程为，回旋线终点为B，曲率半径为，其里程为，AXY为线路坐标系，AXY为以A点为坐标原点，以A的切线为X轴的局部坐标系。 图1 回旋线任一点处切线方位角推导 由于回旋线上的各点的曲率半径和该点离曲线起点距离成反比,故任意点的曲率为 (C为常数)(3)由(3)式知:回旋线上的任意点的曲率按线性变化,由此回旋线上里程为点处的曲率为:* 在图1 中， 对上式积分并将（4）式代入得：若已知回旋线起点A在线路坐标系下的切线坐标系下的方位角，则里程点的切线方位角为：因此有：（6）式就是计算一段线元上任一点切线方位角公式。 回旋线上任意点的坐标计算公式由图1知：设回旋线上起点坐标为，将（7）式积分，便易得回旋线上任意点在线路坐标系下的坐标计算计算公式： .(8)对（8）式的后半部是定积分，我们引入复化辛卜生公式对其解算有： （9） 上面（9）式就是我们计算曲线坐标的复化辛卜生坐标计算公式，式中各符号意义说明如下：曲线元起点X坐标 ,：曲线元起点Y坐标,：曲线元起点的切线方位角：曲线元上2n等分处的切线方位角,：曲线元n等分处的切线方位角,：待求点桩号,：曲线元起点桩号,：曲线元终桩号：曲线元起点曲率半径等于,：曲线元终点曲率半径等于：待遇求点处的切线方位角 三、 复化坐标计算公式在互通立交中坐标计算的应用示例我们选用诸永高速怀鲁枢纽互通立交工程E匝道一段回旋线为例进行计算，其线元要素如下：回旋线参数，起点半径，终点半径，起点处切线方位角932547.66，起点里程K0+140.035，起点坐标（3248738.740，488236.004）；终点里程K0+191.892，终点坐标（3248732.770，488287.493），终点切线主位角是99 15 58.2。1、正向计算选取其中一段回旋线元K0+140.035K0+191.892,由K0+140.035推算至K0+191.892。取n=2由（4）、（6）两式计算K0+191.892处的曲率及方位角如下：191.892=0.001428571429191.892=991558.14其它各点依次代入公式计算，结果见下表：桩号n等分点处的曲率n等分点处切线方位角2n等分点处的曲率2n等分点处切线方位1/400932547.61529990.002232148022951114.521659640001964275384964445.611789280.001696423406980619.991918920001428571429991558.14将上式计算结果代入复化辛卜生坐标计算公式计算得:X= 3248732.770(设计给定值为3248732.770)Y=488287.494(设计给定值为488287.493)2、逆向计算 由K0+191.892推算至K0+141.035,同样取n=2由（4）、（6）两式计算K0+141.035处的曲率及方位角如下：141.035=0.0025141.035=932547.66其它各点依次代入公式，计算结果见下表：桩号n等分点处的曲率n等分点处切线方位角2n等分点处的曲率2n等分点处切线方位角1918921/700991558.2178.9280.001696423406980620.061659640001964275384964445.671529990.002232148022951114.58140.03500025932547.66将上式计算结果代入复化辛卜生坐标计算公式计算得:X= 3248738.740(设计给定值为3248738.740)Y=488236.003(设计给定值为488236.004) 从上面的计算结果可以看出用复化辛卜生坐标计算公式计算出的坐标同设计提供值相吻合,且可顺向计算也可逆向计算。上例是计算曲线元终点的坐标，同样可计算曲线元上任一点的坐标。复化辛卜生坐标计算公式同样适用圆曲线、直线上的点的坐标计算，这里就不再举例说明了。3、计算时应注意的问题 直线段的曲率为0 曲线右转时曲率取“+”，左转时曲率取“-” 对一般的缓和曲线n取值为23，对更小半径时n取值为4(本人在诸永高速VB编程中，为提高计算精度，取n=6，计算精度全部满足要求)四、 复化辛卜生坐标计算公式在编程中的应用、 程序计算基本原理前面推导的是计算回旋线上任一点坐标的公式，适用于一段曲线元上。下面简述计算线路上任一点坐标的计算原理 。假定有n 段曲线元首尾平滑相连,起点、各连结点和终点的里程分别为、.、。设计已知（起点）处的切线方位角和坐标。如果计算点里程在和之间，则程序用复化辛卜生坐标计算公式依次计算、各点处的坐标和切线方位角，再在和之间用复化辛卜生坐标计算公式计算出待求点里程为l的坐标。这就是在整条线路上用复化辛卜生坐标计算公式计算任一点坐标的基本原理。、程序菜单及主要功能说明我们运用上述原理用VB编写了适用于任何线形的工程测量平纵曲线计算系统，该系统的主界面如图2： 图2本程序适合任何线型的线路坐标计算。程序有8个菜单，计算系统主要功能为平面计算，高程计算。平面和高程计算分单点和批量计算。本程序的特点是能进行平面和高程计算，同时计算结果能批量输出TEXT文档或EXCEL表格中。其中平面计算的的基本数学模型就是复化辛卜生坐标计算公式。、 平面坐标计算实例计算数据还是以诸永高速怀鲁枢纽互通立交工程E匝道为例，设计线里程处程序计算出来的坐标与设计提供值比较见下表：坐标计算成果表里程偏距程序计算值设计值坐标差值(mm)X（米）Y（米）XYXY00000.0003248723.194488097.4873248723.194488097.48700200000.0003248728.079488116.8803248728.079488116.88000400000.0003248732.247488136.4403248732.247488136.44000600000.0003248735.531488156.1663248735.530488156.16610800000.0003248737.830488176.0323248737.830488176.032001000000.0003248739.133488195.9873248739.133488195.987001200000.0003248739.438488215.9833248739.437488215.983101400000.0003248738.743488235.9683248738.742488235.968101600000.0003248737.077488255.8973248737.076488255.897101800000.0003248734.580488275.7403248734.580488275.740002000000.0003248731.419488295.4873248731.419488295.487002200000.0003248727.689488315.1363248727.689488315.136002400000.0003248723.400488334.6703248723.399488334.670102600000.0003248718.554488354.0733248718.553488354.073102800000.0003248713.156488373.3303248713.155488373.330103000000.0003248707.210488392.4253248707.209488392.425103200000.0003248700.720488411.3423248700.720488411.342003400000.0003248693.694488430.0673248693.693488430.067103600000.0003248686.135488448.5823248686.134488448.582103800000.0003248678.050488466.8753248678.049488466.875104000000.0003248669.446488484.9283248669.445488484.9291-14200000.0003248660.322488502.7263248660.322488502.72600从上述计算结果与设计提值供比较可以看出，最大差值只有1mm，通过分析可以知道是计算取值进位引起的。程序应用在怀鲁枢纽互通立交工程的平面坐标计算中，