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论文蒙志朝的论文行列式求法的 探讨(定稿) 目录内容摘要1关键词11引言12行列式的定义13行列式的性质24求行列式的方法35小结13参考文献15英文摘要16行列式的求法探讨数学与应用数学xx10700046蒙志朝指导老师:谢光明【内容摘要】在了解行列式的定义、性质后，本文主要探讨了行列式的计算方法，介绍了n阶行列式的几种行之有效的方法.有常用的定义法、化归、加边法等方法外，还介绍了递推法、数学归纳法等技巧性较高的计算方法，并给出针对性例子.【关键词】行列式；递推法；数学归纳法1引言行列式这一名称是著名的法国数学家柯西于1812年提出来的，行列式的计算是高等代数的重要内容之一，n阶行列式的计算是学习中的一个难点，对于阶数较低的行列式，一般直接用定义法计算出结果，当n较大的时候，直接用定义计算有些困难，所以探讨行列式的计算方法很有必要.通常灵活地运用一些计算技巧和方法，可以简化计算过程.本文介绍了几种行列式的计算方法，如果能够将各种方法掌握并灵活运用，可以很大程度上解决n阶行列式的计算问题.2行列式的定义首先,我们给出n阶行列式的定义.定义2.11由2n个元素(,1,2,11a?)ij ai jn=?组成的符号a?11nnnnaa?称为n阶行列式，简记为ij a.它表示一切可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和（共!n项），各项符号是当项中各元素的行标构成自然排列时，如果列标aa?的排列为偶排列，取正号；如果列标的排列为奇排列，则取负号，即=?12j j111()121 (1)?,nnjjjnjnnna aaa表示n级排列a?(2.1)注12()nj jj?12nj jj的逆序列.式2.1称为n阶行列式按行标自然顺序排列的展开式，12j j()12 (1)?njjjnja aa?称为n阶行列式（2.1）的一般项.当1n=时，一阶行列式a就是数a.3行列式的性质由于计算行列式的时候需要展开行列式，交换行（列），添加一行（列）对行列式进行变换，所以在探讨行列式的计算方法前，我们需要先了解行列式的一些基本性质.定义3.11把行列式D的行列互换后得到的行列式称为D的转置行列式，记作11121naaaaaa?TDTD.即2122212D=nnnnnaaa?，112111222212nnnnnnaaaaaaaaa=?.显然，行列式D与它的转置行列式TD互为转置行列式.性质3.11行列式D与它的转置行列式TD相等.性质3.21交换行列式的两行（列），行列式改变符号，即设n阶行列式=ijD a，交换D的第k行和第s行（sk）得行列式?1D，则a1DD=?.a性质3.32若行列式D有两行（列）的对应元素相同，则aaa?11aa0D=.性质3.43行列式某一行（列）所有元素的公因子可提到行列式外面.即kakakak a=?111211112112121212nniiiniiinnnnn+nnnnaa?aaaaaa+?a?n?.性质3.54如果行列式中有两行（列）的对应元素成比例，那么这个行列式的1122iiiibcbc+?值为零.性质3.64如果行列式中有一行（列）的各元素都是两项之和，则此行列式等12nnaa?于两个行列式之和，即121111211112112121212.ininnnnniiiniiinnnnnnnnnabcaaaaaaabbbcaaaaaa=+?性质3.75把行列式D的某一行（列）的所有元素乘以数k加到另一行（列）的相应元素上，所得行列式的值不变.4求行列式的方法计算行列式一般可以归类为以下几种方法:定义法、化归法、运用拉普拉斯定理法、利用范德蒙德行列式法、拆行（列）法、降阶法、升阶法、递推法、数学归纳法.下面我们具体介绍一些方法.4.1定义法定义法一般适用于二阶、三阶行列式或者行列式中有较多0的情况，因为行列式的项中有一个因数为零时，该项的值就为零，故只需求出所有非零项即可.定理4.1.11一个n阶行列式中等于零的元素个数如果比n nn?多，则此行列式等于零.证明由行列式定义，该行列式展开后都是n个元素相乘，而n阶行列式共有2n个元素.若等于零的元素个数大于n nn?，那么非零元素个数就小于n个,因此该行列式的每一项都至少含一个零元素，所以每项必等于零，故此行列式等于零.4.2化归法利用行列式的性质，化行列式为上三角形行列式或下三角形行列式来计算.1122aa行列式12220000annnnnaaaDa=?称为上三角形行列式，那么1122nnnDa a=?.证明由n阶行列式的定义，它的展开式应有!n项，其一般项为12 (1)（?12)12nnj jjjjnja aa?，我们只需求出上述所有可能不为零的项.在nD中第n行元素除nna外均为0，所以njn=；在第1n?行中，除1,1nna?和1,nna?外的元素都为零，因此11njn?=?或n，但由于1,nnnnaa?位于同一列，而njn=，所以11njn?=?；依此类推，在展开式中只有1122nna aa?一项可能不等于零，且这项的列标所组成的n级排列的逆序数位0，故这11221naaa?项取正号，由行列式的定义得222112xx100nnnnnnaaDa aaa=?，即上三角形行列式的值等于主对角线上各元素的乘积.类似地，可得下三角行列式212211221?2aa000nnnn?n?nnnaaaDa aaaaa2aa=a=?x?+?其中0?.总之，上（下）三角行列式均等于主对角线上元素的乘积.13nD=?10nDax=?解ixa?例4.2.1计算下列行列式ax1a?1ia?23a123(01,2?,).n0nniixaxa1aax a?xxaa iaa?ax=?2x3231000000nx1x a?axx a?232312200000(x).nninnniiiiiaaaxxxaxaa axxxaa=?定理4.3.1=（-）（）k行（列）元素组成的一切k阶子式与它对应的代数余子式乘积之和等于行列式D中取定k行（列）后它的k阶子式共有4.3拉普拉斯定理1（Laplace定理）在n阶行列式nD中，任意取定k行（列），由这nD.也就是说在nknsC=个，设这s个k阶子式为1M,2,SMM?,它们对应的代数余子式分别为1,2,SA AA?,则1122+ssDM AM AMA=+?.证明因为在n阶行列列式nD中，若k阶子式M得代数余子式为A，则MA中的每一项都是D的展开式中的一项，且符号一致.因此，(1,2,)siiM Ai=?中每一项都是nD的展开式中的一项，且符号一致，而且iiM A和(,1,2,)jjM Ai jsij=?无公共项，我们只要证明等式两边的项数相等即可.显然等式左边共有!n项；等式右边中iM共有!k项，iA共有()!nk?项，所以右边共有! (1)!()!knsk n1kk nkCn?=?1=项，结论成立.4.4利用范德蒙德行列式的方法行列式1212223232n11?11a1231nnn?n?3n?nnaaaaDaaaaa2aaaann?=?称为n阶范德蒙德（Vandermonde）行列式.0定理4.4.11n阶范德蒙德（Vandermonde）行列式为D=?2131()()(aaaa?D,那么a?1(?)niajj i nnaa?a)?.证明把第1n?行的01aa a?倍加到第n行，再把第2112312n?行的?1a?倍加到第1na a?1n?行，依此类推，直到把第1行的1a?倍加到第2行，得a?a11?211122232113a a11211213a a21311221232n12a a13a a?11212?1xx1121232213a a?111110nnnnnnnn1nnn.nnn1n1nn)nnaaaaaDaa aaaaaaaaa2aaaaaa a?a=?a aD1aaxxaa D?aa，?(1?)(?)?=?a?=?3?n?阶范德蒙德行列式，我们用aa=?xx?a3?2?a?nn1?112223(1(-1)nnnnnaaaaan?=?最后这个行列式是一个11nD?表示，即121nna?同样地，可以得到1324322()()()nnnDaaaaaa D?=?x?，这里2DnD?表示一个21n?阶范德蒙德行列式.如此继续，最后得n阶范德蒙德行列式的13111)()()nnaaaaa D?nD=?2xx1nDxx=+?1111101xxxxx?11x值为22131x1+?13222?+2x142221()(?)+1x()(?)()xx() (01012).x1nn1xnnijj iniiji nn jixx=?=?4.5拆行（列）法们一般可以用拆行（列）法.例4.5.1计算行列式12aa3?,.0nnxa?a?a?bx0aa?DD(=bbxxaabbb0b?0xa?=a D?n?解1230030nxnxaabxab)b+xabnb(nxb?).bxb=?2?n?1211000000式 （1）， （2）联立，消去Dnnxb axb axxbbib （1）1nxa=()().a b?0ab?0aa?ba?111?()().nixa Daxb?=D?+(=由于nnD=，所以11x)b DnniiDb?a+a?b. （2）nbxa=0a1=Dn?得a11niiiin=?注如果副对角线上方元素相同，下方元素也相同，则可归类为如上类型，如以a下行列式,a020Dnabbbbb=?b?b0显然有 (1)0 (1)=?000nnnaaDba0bbb?.4.6递推法有些行列式，可以先计算同样特征的二阶、三阶行列式，根据此低阶的计算结果sp猜想出任意阶行列式的结果，再用数学归纳法给予证明；而有些特殊的行列式则可用0nsD=?0pt?递推法直接推出结果，值得说明的是，对形如下面这样的行列式00000t0?000p0?t0+?pttpptsp?0称之为三对角行列式.如果是三对角行列式，我们按第一行展开后可以得到行列式D=0nsDp=?0sts?12.nnn0pDstD0?0(?0(?证明按第一行展开得00001)00000pD01spnptsp?p?0qD阶+000200?0s00ptspnpt=+sp?2?阶）nn?=（其中qst=）定理4.6.12在上述上三角行列式Ds t(nDn=+DpD=t时，2()st s t?+=t?nD中如果ps t，那么 （1）若s t时， （2）若s t=时，证明由上面知道11nnnt+?1)=nt12?nnn=sn2tsDs t+t?s t?，st （1）若sD=D332()stDs t?=，443n3()ss t+s ts=?t?设1nns t?=，112nnD?，121111()().nnnnnnnnnDs tD+stDststs t+sts t+s t?pnDsts t?+=?=?= （2）若st=时，12(Dts tn t+=D520=，221)23?D1?)p1?stst nt=?=1)=?2n?t12 (1)nnn035ntntD(nnt?=2?，0032( (1).t52nnnnntn?=+故对一切自然数结论都成立（证毕）例4.6.1计算下列n阶行列式nD=300000+00=00325235?223+?.解行列式是三对角行列式，且元素行列式中的元素5等于另外两个元素2与3nD+3之和，根据定理4.6.1有111?1nnnn+?=?.0例4.6.2计算下列行列式00000000000(00nD+=?+?.解行列式是三对角行列式，显然+ （1）时，D12().nnnDDD?=又元素是行列式中另两个元素之和，根据定理4.6.1，有)nD=+121111()=nnnnnnnnD?(?1)+?=?+nD?n.?+?=. （2）=时，得n4.7数学归纳法有时候我们可以快速通过上述方法计算行列式，但是像有三角函数或者更复杂的行列式，计算量很大的行列式，我们只能在短时间内计算它 二、三阶值，那么我们可cos10以在知道行列式 二、三阶的值后通过猜想其结果，通过数学归纳法来证明.12cos1例4.7.1求证0000cos.012cos00000012cosn=?证明用第二数学归纳法 (1)当2n=时，22cos12cos1cos212cosD=?=，结论成立. (2)假设对于阶数小于n的数，行列式的结论仍然成立，则12)22coscos(DnDnnDnD?=?=?，由假设2cos (1)cos (1)cossin (1)sin,nnnn?=?+?代入前一个式子得22cos (1)coscos (1)cossin (1)sincos (1)cossin (1)sincos.nDnnnnnn?=?+?=?故对于一切自然数结论都成立.（证毕）5小结行列式在实际应用中很重要，那么计算行列式显然也很重要.这需要我们理解行列式的定义，了解行列式的性质，掌握行列式的计算方法.而行列式是有些特征的，通过这些特征，用适用于具有这一特征的行列式的计算方法计算行列式更加方便.我们可以找到一些特征.特征1对于 二、三阶低阶行列式我们直接用定义法计算.特征2第一行、列及主对角线外元素均为0或者行列式中0元素比较多的行列式，可以化为三角行列式进行计算比较简便.特征3除主对角线以外，上三角各元素都相等，下三角各元素也相等，这类行列式一般用拆行（列）法.特征4如果是三对角行列式，我们可以用递推法计算.特征5类似范德蒙德行列式的我们可以通过升阶，降阶成范德蒙德行列式用公式直接计算.特征6如果行列式元素含有三角函数或者计算复杂但低阶值有规律点的可以先猜想行列式值然后用数学归纳法.参考文献1易忠.高等代数与解析几何下册M北京:清华大学出版社,xx.2赵兴杰.高等代数教学研究M重庆西南师范大学出版社，xx.3蓝以中.高等代数教程M.北京:北京大学出版社.1988.11.4严谨泰.高等代数考点综述与问题探讨M北京国防工业出版社.xx.