2007年第三届北方数学奥林匹克数学邀请赛试题.doc

2007第三届北方数学奥林匹克邀请赛试题及参考答案（陕西 西安）第一天2007年8月1日 9:00 12:00一、(本题25分) 在锐角中，、分别是、边上的高.以为直径作圆交于，在上取点使.证明： 二、(本题25分) 设三边长分别为，且.求的最小值.三、(本题25分) 在数列中， ().求证：当时，有 (其中表示不超过的最大整数).四、(本题25分) 平面上每个点被染为种颜色之一，同时满足：(1)每种颜色的点都有无穷多个，且不全在同一条直线上；(2)至少有一条直线上所有的点恰为2种颜色.求的最小值，使得存在互不同色的4个点共圆.第二天2007年8月2日 8:30 11:30五、(本题25分) 设，求=的最大值.六、(本题25分) 已知.(1)解方程；(2)求集合的子集个数.七、(本题25分) 设是正整数, = (其中表示不超过的最大整数)，求同时满足下列条件的的最大值：(1) 不是完全平方数；(2) .八、(本题25分) 设的内切圆半径为1，三边长,.若、都是整数，求证：为直角三角形.参考答案一、证法一：连结，由为直径,得、四点共圆.又,(射影定理的逆定理)证法二：连结、，则由射影定理，得 .，又四点共圆，四点共圆，即.二、解：=因为是三边长，且，所以 ， 于是 即 .等号当且仅当时取到，故的最小值为.三、证明：先考虑一般问题：设，求证：()对于任何正整数，由递推公式知,由于，所以有当为正整数时，有另一方面，由于，且所以，时，时，（总之，故有，所有.取，即得本题四、解：由已知，若，在平面上取一定圆及上面三点、，将弧(含不含)，弧(含不含)，弧(含不含)，分别染为1、2、3色，平面上其他点染为4色，则满足题意且不存在四个不同色的点共圆.所以.当时，假设不存在四个互不同色的点共圆，由条件(2)知，存在直线上恰有两种颜色的点(设上仅有颜色1，2的点)，再由条件(1)知存在颜色分别为3，4，5的点、不共线，设过、的圆为，若与有公共点，则存在四个互不同色的点共圆，矛盾；若与相离，过作的垂线交于，设的颜色为1，垂线交于点，如图，设的颜色为3，考虑上颜色为2的点，交于，、四点共圆，由假设只能为3色，又，必有一点不同于，设为，交于，四点共圆，、四点共圆.若为1色，则、互不同色且共圆；若为2色，则、互不同色且共圆.综上，假设不成立，当时，存在四个互不同色的点共圆.所以的最小值是5.五、解：+=+=令，则再令，则，所以=3-(+)3-2=3-.当且仅当，即=时，等号成立.所以，=的最大值是3-.六、(1)解：任取，则-=-=-.,.-=,-=0为上的减函数，注意到，当时，当时，有且仅有一个根.(2)由或，的子集的个数是4.七、解: 由(1)得 +1 所以 n+2+1即+1n+2令 n=+t t1,2,2由(2)有 再由 记 则 由于 N,所以 N由于t1,2,2, 所以 2 即 2所以 =1或2, 由于n=+t, 且, 2, 所以 令 =2=8, 则 n=+t=16+8=24为最大. 经验证n=24满足(1),(2)两个条件,所以n的最大值24.八、证明：设的内切圆在三边、上的切点分别为，记，则 都是整数， 同为偶数或同为奇数.于是，均为整数或均为奇数的一半。下面证明后者是不可能的. ， 又， 若均为奇数的一半