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高等数学课程单元教学设计(1) 教案头单元名称： 参数的点估计学时：2项目数理统计学习型工作任务估计参数与假设检验教学目标知识目标能力目标1.掌握点估计的数字特征法；2.了解点估计的顺序统计量法；3.掌握总体参数的无偏估计；4.了解总体参数的有效性。分析实际问题中的参数的点估计。能力训练任务及案例任务一 给出一些例子, 让学生理解参数的点估计；任务二 给合实例, 让学生理解数字特征法、顺序统计量法；任务三 总体参数的无偏估计与有效。案例：1.用数字特征法估计和；2.用顺序统计量法估计和；3. 求无偏估计量。教学重点教学难点重点：点估计的数字特征法；难点：估计量的评选标准。教学组织1先让学生联系实例, 然后引出参数的点估计;2介绍点估计的数字特征法;3介绍点估计的顺序统计量法及总体参数的无偏估计与有效性;4归纳总结相关知识。作 业习题11-2 备 注(2) 主要教学过程步骤教学内容教学方法教学手段学生活动时间分配分钟告知(教学内容、目的)本次课要学的主要内容:1点估计的数字特征法；2点估计的顺序统计量法；3总体参数的无偏估计与有效。目的: 分析实际问题中的参数的点估计.讲授(口述)5引入(任务项目)1写出一些现象，启发学生理解参数的点估计；2说明本次课的任务: 学会参数的点估计。讲授板书15操练（掌握初步或基本能力）总体方案：1介绍点估计的数字特征法；2介绍点估计的顺序统计量法；3介绍总体参数的无偏估计与有效。教师讲解教师讲解，学生思考并记忆25深化（加深对基本能力的体会）再次强调参数的点估计的重要性，加深理解。启发、诱导重点讲解教师讲解，学生思考并记忆请学生归纳总结20归纳（知识和能力）能力：解决实际问题的能力.知识点1.点估计的数字特征法；知识点2：点估计的顺序统计量法；知识点3：参数的无偏估计与有效性.教师归纳板书15训练（巩固、 拓展、检验）举出一个例子，计算参数的点估计。启发、诱导学生练习解题，教师指导个别提问15总结教师讲授2作业习题11-2 3后记第二节 参数的点估计在实际问题中，总体的分布类型往往可以由经验确定，但有时我们只关心总体的某些数字特征，特别是均值和方差，一般可以通过样本观察值所组成的统计量对总体的参数进行估计，这类问题就是参数估计参数估计的类型一般有两种：点估计、区间估计例如，工厂生产一批铆钉，铆钉头的直径是一个随机变量，现在要问这批铆钉头部的平均直径是多少？根据经验知道，服从正态分布，但参数和未知，而铆钉头部的平均直径就是参数，因此需设法估计的值通常我们从中抽取若干铆钉进行直径的测定，以这些测定量的平均值作为整批铆钉头部直径的平均值的近似值 一、点估计的方法1. 数字特征法用样本的数字特征来估计相应总体的数字特征的方法称为数字特征法在实际问题中常需要对总体的数学期望和方差进行点估计设是来自总体的一个样本，若总体，那么就是说，统计量较每一个分量更集中于均值附近，用来反映总体均值是合理的，所以正态总体均值的估计量就可选择，即同样用样本的方差作为正态总体方差的估计量，即 （4）（5）例1 某厂生产一批铆钉，现在检验铆钉头部的直径，从产品中抽取12只，测得直径（单位：mm）分别为：13.30，13.38，13.40，13.32，13.43，13.4813.51，13.31，13.34，13.47，13.44，13.50设铆钉头部直径总体，其中和未知，用数字特征法估计和解 和的估计量分别为2. 顺序统计量法估计总体参数除数字特征法之外，还有顺序统计量法将样本的一组观察值，按大小顺序排列为，取最大值与最小值之差为，则称为样本的极差；取居中的一个数（若为偶数，则取居中两数的平均值）为，则称为样本的中位数，记作 统计量和称为顺序统计量，构成顺序统计量的方法称为顺序统计量法对于正态总体，用来估计，用来估计是较适宜的，这时，与，和有以下关系： （6） （7）其中 （210）例2 设某种灯泡寿命总体服从，其中未知，今随机取得6只灯泡，测得寿命（单位：）为1400，1502 ，1453，1367，1650，1660用顺序统计量法估计和的值解 按顺序排列为136714001453150216501660，所以（）在例2中，同样可以用数字特征法来估计和这样，对同一正态总体的均值和方差，用不同的方法就得到不同的估计值，这就要求我们选一种较好的估计方法二、估计量的评选标准估计量是随机变量，对不同的样本观察值它有不同的估计值，这些估计值在未知参数的真值附近波动我们希望估计值的数学期望等于未知参数的真值，并且希望的方差越小越好下面给出估计量的两个评选标准1. 无偏性设为未知参数的估计量，若，则称为的无偏估计量，否则就称为的有偏估计量例3 证明是均值的无偏估计量证明 因为所以为的无偏估计量例4 证明是的有偏估计量证明 因为 即 ，所以是的有偏估计量在例4中，如果我们把换成，则，所以为的无偏估计量今后，我们将用代替表示样本方差例5 求例1中的无偏估计量解 的无偏估计量为2. 有效性设的两个无偏估计量为如果，则称比有效例6 若总体是来自总体的一个样本，试评价的两个估计量与的有效性 解 因为 所以和都是的无偏估计量又因为 ，时，故比有效一般在正态总体中，的估计量是用的估计量是用三、小结知识 学生练习 习题11-2四、布置作业 习题11-2高等数学课程单元教学设计(1) 教案头单元名称： 参数的区间估计学时：2项目数理统计学习型工作任务估计参数与假设检验教学目标知识目标能力目标1.了解置信区间的概念；2.掌握均值的区间估计；3.掌握方差的区间估计。分析实际问题中的参数的区间估计。能力训练任务及案例任务一 给出一些例子, 让学生理解参数的区间估计；任务二 给合实例, 让学生理解均值的区间估计；任务三 总体参数的方差的区间估计。案例: 1.求均值的置信区间；2.求方差的置信区间。教学重点教学难点重点：均值的区间估计；难点：置信区间的概念。教学组织1先让学生联系例子, 然后引出参数的区间估计；2介绍均值的区间估计；3介绍方差的区间估计；4归纳总结相关知识。作 业习题11-3 备 注(2) 主要教学过程步骤教学内容教学方法教学手段学生活动时间分配分钟告知(教学内容、目的)本次课要学的主要内容:1参数的区间估计；2介绍均值的区间估计；3介绍方差的区间估计.目的: 分析实际问题中的参数的区间估计。讲授(口述)5引入(任务项目)1写出一些现象，启发学生理解参数的区间估计；2说明本次课的任务: 学会参数的区间估计。讲授板书15操练（掌握初步或基本能力）总体方案：1介绍参数的区间估计；2介绍均值的区间估计；3介绍方差的区间估计。教师讲解观察图形，教师讲解，学生思考并记忆25深化（加深对基本能力的体会）再次强调参数的区间估计的重要性，加深理解。启发、诱导重点讲解教师讲解，学生思考并记忆请学生归纳总结20归纳（知识和能力）能力：解决实际问题的能力.知识点1.参数的区间估计；知识点2：均值的区间估计；知识点3：方差的区间估计。教师归纳板书15训练（巩固、 拓展、检验）举出一个例子，计算参数的区间估计。启发、诱导学生练习解题，教师指导个别提问15总结教师讲授2作业习题11-3 3后记讲稿第三节 参数的区间估计在点估计中，用去估计时，其误差情况并未考虑通常我们希望估计出真值所在的一个范围，并希望知道这个范围包含真值的概率，这种范围常用区间的形式给出，这种形式的估计称为区间估计一、置信区间设为总体的未知参数，由样本确定两个统计量：和，使得总体参数位于区间内的概率等于给定的数，即 （8）则区间称为的置信区间，为置信下限，为置信上限，为置信水平在一般情况中，取，等说明：式（8）的意义是区间包含真值的概率为即如果我们反复抽取大小为的样本，对每一个样本可求得一个区间，在这些区间中约有的区间包含的真值在许多实际问题中，总体都服从正态分布因此下面只介绍总体服从正态分布的参数的区间估计方法二、均值的区间估计1. 已知，对进行区间估计设是来自正态分布的一个样本，为已知，试求的的置信区间分析：给定，问题是怎样由样本确定，使其满足（9）根据不等式的性质，得 令，式（9）可变为 （10）其中 不难想到满足式（10）的有无穷多对，我们通常选择满足 （11）图11-4由于，其密度函数图形关于纵轴对称，故满足式（11）的和是绝对值相等，符号相反的两个数，分别记为和,如图11-4,则式（10）可写为 即 查标准正态分布表，得 由，,得故的的置信区间为 （12）一般地，若为来自总体的一个样本，其中为已知，则确定的的置信区间步骤如下：（1）对给定的置信水平，由，查附表1确定（2）计算，则的的置信区间为 （13）例1 某车间生产的滚珠，其直径服从正态分布，从某天生产的滚珠中随机抽取6个，测得直径（单位：mm）为 14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1，分别求平均直径当和时，的置信区间解 依题意，总体分布为， （1）当时，查附表1得，代入式（13），得的的置信区间为（2）当时，查附表1得，代入式（13），得的0.99的置信区间为可见，置信水平越高，置信区间就越大2. 未知，对进行区间估计在很多实际问题中，如新产品的试制、新工艺的实施等，根本无法知道的值，在估计正态总体的均值时，不能直接用式（13）这时可以采用以下方法：首先用无偏估计量来代替，可以证明统计量服从自由度为的分布，即 （14）根据置信区间的定义，对于给定的，有 即 图11-5查附表2得到，记，如图11-5，因此有得出正态总体方差未知时，均值的的置信区间为 （15）例2 对某种型号的飞机的飞行速度进行15次试验，测得最大飞行速度（m/s）为 422.2，417.2，425.6，420.3，425.8，423.1，418.7，428.2，438.3，434.0，412.3，431.5，413.5，441.3，423.0根据长期实践经验，最大飞行速度可以认为服从正态分布，试对最大飞行速度的均值进行区间估计（）解 依题意，总体服从，这时均未知，而，给定，查附表2得，代入式（15）得出的0.95的置信区间为三、方差的区间估计设总体，且未知，现通过样本，求的的置信区间解决此类问题与求的置信区间的方法基本相同（1）先找一个仅含的样本函数，可以证明（1） 根据置信区间的定义，对于给定的，有由不等式的性质得 （16）记 ，则式（16）可写为图11-6（3）如图11-6，由于分布密度函数图像是不对称的，通常我们选择满足即查附表3 确定的值所以的的置信区间为 （17）例3 就例2中所给条件，求总体方差的的置信区间（）解 ，查附表3得，代入公式（17）得的的置信区间为四、小结知识 学生练习 习题10-3五、布置作业 习题10-3高等数学课程单元教学设计(1) 教案头单元名称：参数的假设检验学时：2项目数理统计学习型工作任务估计参数与假设检验教学目标知识目标能力目标1.理解参数的假设检验的基本概念；2.掌握正态总体均值的假设检验法；3.了解正态总体方差的假设检验法。使学生理解假设检验的基本思想，掌握假设检验的基本方法，提高学生利用数理统计的思想方法解决实际问题的能力。能力训练任务及案例任务一 给出一些现象, 让学生理解参数的假设检验的基本概念；任务二 给合例子, 让学生理解正态总体均值的假设检验法；任务三 了解正态总体方差的假设检验法。案例: 1U检验法；2.t检验法；3. 检验法。教学重点教学难点重点：正态总体均值的假设检验法；难点：对假设检验的基本思想和方法的理解。教学组织1先让学生联系实例, 然后分析参数的假设检验的基本概念；2介绍正态总体均值的假设检验法；3介绍正态总体方差的假设检验法；4归纳总结相关知识。作 业习题11-4备 注(2) 主要教学过程步骤教学内容教学方法教学手段学生活动时间分配分钟告知(教学内容、目的)本次课要学的主要内容:1假设检验的基本概念；2正态总体均值和方差的假设检验法；目的: 学会假设检验的计算。讲授(口述)5引入(任务项目)1写出一些现象，启发学生理解假设检验的基本概念；2说明本次课的任务: 学会学会假设检验的计算.讲授板书15操练（掌握初步或基本能力）总体方案：1介绍假设检验的基本概念；2介绍正态总体均值的假设检验法；3介绍正态总体方差的假设检验法。教师讲解教师讲解，学生思考并记忆25深化（加深对基本能力的体会）再次强调假设检验的基本概念的重要性，加深理解。启发、诱导重点讲解教师讲解，学生思考并记忆请学生归纳总结20归纳（知识和能力）能力：解决实际问题的能力.知识点1：假设检验的基本概念；知识点2：正态总体均值的假设检验法；知识点3：正态总体方差的假设检验法。教师归纳板书15训练（巩固、 拓展、检验）举出一个例子，计算正态总体均值的假设检验.启发、诱导学生练习解题，教师指导个别提问15总结教师讲授2作业习题11-4 3后记（3）讲稿第四节 参数的假设检验前面我们介绍了参数估计，本节将介绍另一类重要问题假设检验一、假设检验的基本思想和方法1. 假设检验问题例如，按国家标准，某产品的次品率不得超过1%，今从批量为200件一批的这种产品中，任取5件，发现5件中有一件次品问这批产品的次品率是否符合国家标准，即我们关心的问题是是否成立再如，某车间用包装机包装商品，额定标准净重0.5kg设包装机称得商品重量服从正态分布某天随机抽取它所包装的商品9袋，称得净重为 0.497，0.506，0.518，0.524，0.488，0.511，0.510，0.515，0.512问这天包装机的工作是否正常？在该例中我们关心的问题是：是否有， 假设检验进行统计推断的过程是：先对关心的问题提出一个看法，称之为统计假设，并记为，然后根据样本信息，对假设的合理性进行推断如在第二例中，假设包装机工作正常，商品每袋重量的均值（），即然后根据样本信息推断的合理性2. 小概率原理在一次试验中，如果事件的概率很小时，称为小概率事件一般地，概率小于0.05的事件，称为小概率事件但如果事件的发生关系到生命、财产的安全时，要取得更小在生活实践中，“小概率事件在一次试验中几乎不可能发生”我们把它称为小概率原理在假设检验过程中，若在一次试验中小概率事件发生了，我们就认为是不合理的3. 假设检验的方法在上例中，我们知道即使机器正常工作，机器所包装商品每袋的净重也不会都是0.5kg也就是说，假设在总体中任取一个样本它的均值和0.5的差异总存在，但不会太大若给一个适当的常数，是不大可能出现的事件，即，一定很小，所以是小概率事件如果抽取一个样本，恰出现了的结果，则依据小概率原理，可以断言，这台机器工作不正常；反之，若出现的结果，就可以断言，机器工作正常综上所述，得到假设检验的方法如下：（1）对需检验的问题提出原假设（如上例中，）（2）按照考察的问题要求选定一个小的正数，并由下式确定值 （18）其中，为均值0.5出现显著差异的概率，称为显著性水平；（3）通过样本值，计算出，并与比较，得出统计推断结论：若，接受原假设；若，拒绝原假设二、一个正态总体均值的假设检验法1. 检验法利用统计量来检验已知方差的正态总体的均值（已知常数）的方法称为检验法利用检验法检验正态总体的均值（已知）的步骤如下：（1）提出原假设（已知）；（2）确定显著性水平，并通过下式确定值：将上式变形得 ，即令，得，查附表1，确定（3）计算，比较，得出统计推断：若，则接受原假设；若，则拒绝原假设也可以说，当的值落入区间内时，则拒绝原假设我们称为拒绝域例1 在第二例中，取时，问这天包装机的工作是否正常？解 （1）（表示假设包装机工作正常）；则统计量（2）由有，查附表得（3）所以接受，即这天包装机工作正常2. 检验法在很多实际问题中，正态总体的方差往往是不知道的，这样上面介绍的检验法就失效了，我们以的无偏估计量代替，便得到新的统计量利用统计量的分布来检验未知方差正态总体的均值（为常数）的方法称为检验法检验法的步骤与检验法相仿：（1）提出原假设（已知）（2）确定显著性水平，并通过确定值，将上式变形得即令，查附表确定（3）计算，比较，得出统计推断：若，则接受原假设；图11-7若，则拒绝原假设即拒绝域为，如图11-7中阴影部分例2 某种零件，经测定其强度原均值为48（kg/mm2），现由于原材料采购困难，使用了某种代用材料，抽取五个零件进行测定，其强度如下（单位：kg/mm2）：47.7，46.8，47.5，48.1，47.9问零件的强度是否满足要求？（）解 依题意待检验假设是未知（1）假设（2）选用统计量，由，查附表得（3），因为，可以接受原假设，即使用代用材料后强度符合要求，代用品可以使用三、一个正态总体方差的假设检验法在许多问题中有时需要对正态总体的方差作假设检验利用统计量的分布来检验未知均值的正态总体的方差的方法称为检验法检验法的使用步骤与检验法、检验法相仿（1）提出原假设（2）确定显著性水平，并通过，查附表，确定，即，所以接受域为（）计算，比较与：若，则接受原假设，否则可以否定原假设例3 某厂用自动打包机包装食糖，额定标准重100kg，标准差为1kg，已知每包食糖重量服从正态分布，某日随机抽取9袋糖净重分别为99.7，98.2，102.3，101.2，99.0，98.8，98.1，99.6，102.5问这天包装机工作是否正常？（）解包装机是否工作正常，要从均值和方差两方面来检验1.方差未知，检验均值用检验法检验，得到结果为接受原假设（kg）2.检验方差（1）（2）选用统计量由查分布表得 （3）故可以认为该打包机工作不够稳定，方差偏大应该对自动打包机加以调整四、小结知识 学生练习 习题11-4五、布置作业 习题11-4高等数学课程单元教学设计(1) 教案头单元名称：一元线性回归学时：4项目数理统计学习型工作任务学习一元线性回归教学目标知识目标能力目标1.理解线性回归的概念；2.了解线性相关显著性的检验；3.了解一元线性回归方程的应用。培养学生利用线性回归的思想方法思考、分析、判断事件变化趋势的能力，提高学生综合分析问题、解决问题的能力。能力训练任务及案例任务一 给出一些现象, 让学生理解线性回归的概念；任务二 给合实例, 让学生理解线性相关显著性的检验；任务三 会求一元线性回归方程。案例：1.求一元线性回归方程; 2.求相关系数。教学重点教学难点重点：一元线性回归方程；难点：线性回归的概念教学组织1先让学生联系实例, 然后分析线性回归的概念；2介绍线性相关显著性的检验；3介绍一元线性回归方程；4归纳总结相关知识。作 业习题11-5备 注(2) 主要教学过程步骤教学内容教学方法教学手段学生活动时间分配分钟告知(教学内容、目的)本次课要学的主要内容:1线性回归的概念;2线性相关显著性的检验;3一元线性回归方程的应用.目的: 应用一元线性回归方程。讲授(口述)5引入(任务项目)1写出一些现象，启发学生理解线性回归的概念；2说明本次课的任务: 应用一元线性回归方程。讲授板书15操练（掌握初步或基本能力）总体方案：1介绍线性回归的概念；2介绍线性相关显著性的检验;3介绍一元线性回归方程的应用。教师讲解观察图形，教师讲解，学生思考并记忆25深化（加深对基本能力的体会）强调一元线性回归的基本概念的重要性，加深理解。启发、诱导重点讲解教师讲解，学生思考并记忆请学生归纳总结20归纳（知识和能力）能力：解决实际问题的能力.知识点1：线性回归的概念；知识点2：线性相关显著性的检验；知识点3：一元线性回归方程的应用。教师归纳板书15训练（巩固、 拓展、检验）举出一个例子，讲解一元线性回归方程的应用。启发、诱导学生练习解题，教师指导个别提问15总结教师讲授2作业习题11-5 3后记（3）讲稿第五节 一元线性回归以前我们研究的函数关系是完全确定的，例如物体以速度做匀速运动，物体经过的路程和时间之间的关系是确定的线性关系但是，在许多实际问题中，函数关系具有某种不确定性，例如人的年龄与血压、化肥的施量与粮食的产量、合成纤维的强度与拉伸倍数等之间的关系，不能用一个确定的数学表达式表示，这种不确定的关系称为相关关系应用统计方法，寻求一个数学公式来描述变量之间的相关关系所进行的统计分析称为回归分析，所求的公式称为回归方程本节仅介绍两个变量之间的线性关系的回归分析，即一元线性回归分析一、一元线性回归方法我们通过具体问题的分析来说明一元线性回归的方法例1 某种合成纤维的强度与其拉伸倍数之间具有相关关系，今测得16对数据见下表序号拉伸倍数强度（kg/mm2）序号拉伸倍数强度（kg/mm2）12.01.395.25.022.52.5106.05.532.72.5116.56.042.72.8127.16.553.53.0138.07.064.03.5148.98.574.54.2159.58.285.05.51610.08.2图11-8从表中可以看出，既有拉伸倍数相同而强度不同（第3、4号），也有强度相同而对应的拉伸倍数却不同（第15、16号）所以与之间不构成确定的函数关系，只存在着相关关系根据表中数据作出对应的图像，这个图称为散点图，如图11-8由散点图可以看出，这些点是散乱的，但大体上是分布在一个狭长的直线带内所以变量与的关系，可以近似地看作为线性的我们设想用直线 （19）近似地表示与之间的关系，式（19）称为对的一元线性回归方程，其中称为回归系数，为常数项，该方程表示的直线称为回归直线问题是如何确定、使该直线总的看来最接近这些点？一般地，设有对数据，作出对应的散点图，把代入式（19）可得到变量的回归值，这些值与实际观察值有一定的误差，记则的几何意义是点沿着平行轴方向与回归直线的偏差，如图11-8可以认为与的偏离越小，直线反映真实情况就越确切设全部观察值与回归值的偏离平方和为，即 （20）显然，能刻画观察值与直线的偏离程度利用式（20）确定、使为最小的方法称为最小二乘法根据多元函数极值的求法，把式（20）分别对、求偏导（其他看作常量），得方程组解得 （21）其中，因此，得回归直线方程为 （22）把代入式（22），得回归方程为另一种形式： 由此可见，回归直线（22）经过点利用式（21）计算回归直线方程较为复杂，通常采用表格进行设、分别为则式（21）中、可写成 （23）例2 求例1中的回归直线方程解 计算过程如下序号12.01.34.001.692.6022.52.56.256.256.2532.72.57.296.256.7542.72.87.297.847.5653.53.012.259.0010.5064.03.516.0012.2514.0074.54.220.2517.6418.9085.05.525.0030.2527.5095.25.027.0425.0026.00106.05.536.0030.2533.00116.56.042.2536.0039.00127.16.550.4142.2546.15138.07.064.0049.0056.00148.98.579.2172.2575.65159.58.290.2567.2477.901610.08.2100.0067.2482.0088.1080.20587.49480.40529.76故所求回归直线方程为二、线性相关的显著检验从前面求回归直线方程的计算过程可以看出，只要给出次独立试验所得到的数据，都可以用最小二乘法得到一条回归直线至于所得到的回归直线是否有实际效果尚待讨论下面我们将用统计方法来检验所得到的回归直线的实际效果1. 相关系数变量之间的线性关系的密切程度可用相关系数来度量相关系数的计算公式为 （24）例3 求例2的相关系数解（1）在例2中 ，按式（24）得 2相关系数的意义由式（20）得因为所以由此可见，越接近1时，就越接近于，散点愈靠近回归直线，这时的线性关系越密切3. 线性相关的显著检验只要相关系数，都可以认为之间存在着线性相关关系但是，只有大到一定程度时才可认为之间线性关系密切，这时的相关系数称为显著的，所求的回归直线方程才有意义否则，就认为相关系数是不显著的但大到什么程度时，之间的线性关系才算是密切呢？也就是说，要找一个数值，当大于这个数值时就认为是显著的这个数值称为相关系数的临界值在计算的过程中，可以发现它与样本容量有关，所以临界值与有关与前面的参数检验问题一样，也应该给出显著性水平这样相关系数的临界值可查附表而得到例4 在例2中求的临界值（给定）解已知查附表得因为，所以在例2中的线性相关性是显著的为了区分之间线性相关程度的好坏，我们约定：如果，则称的线性相关性是显著的；如果，则称的线性相关性是高度显著的在例4中，查附表得因为，所以的线性相关性是高度显著的三、预测与控制对回归直线方程进行了相关性检验后，就可以利用回归直线方程进行预测和控制1. 预测所谓预测，就是对任一给定的值，可以利用回归值来推断在这点的观察值大致在什么范围内因为对于任何一给定的，由回归方程可以计