05-09级数值分析试卷.pdf

武武 汉汉 大大 学学 2005 2006 学年第一学期硕士研究生期末考试试题学年第一学期硕士研究生期末考试试题 科目名称 科目名称 数值分析数值分析 学生所在院 学生所在院 学号 学号 姓名 姓名 注意 所有的答题内容必须答在答题纸上 凡答在试题或草稿纸上的一律无效 一 15 分 设求方程 0cos2312 xx 根的迭代法 kk xxc o s 3 2 4 1 1 证明对Rx 0 均有 limxxk k 其中 x为方程的根 2 取4 0 x 求方程的近似根 使误差 2 1 10 kk xx 并列出各次迭代值 3 此迭代法收敛阶是多少 证明你的结论 二 12 分 讨论分别用 Jacobi 迭代法和 Gauss Seidel 迭代法求解下列方程组的 收敛性 022 1 122 321 321 321 xxx xxx xxx 三 8 分 若矩阵 a a aa A 00 00 02 说明对任意实数0 a 方程组bAX 都是 非病态的 范数用 四 15 分 已知 xfy 的数据如下 i x 0 1 2 i xf 0 2 6 i x f 1 求 xf的 Hermite 插值多项式 3 xH 并给出截断误差 3 xHxfxR 五 10 分 在某个低温过程中 函数 y 依赖于温度 x 的试验数据为 i x 1 2 3 4 i y 0 8 1 5 1 8 2 0 已知经验公式的形式为 2 bxaxy 试用最小二乘法求出 a b 六 12 分 确定常数 a b 的值 使积分 dxxbaxbaI 2 1 1 2 取得最小值 七 14 分 已知 Legendre 勒让德 正交多项式 xLn有递推关系式 2 1 1 1 12 1 11 10 n xL n n xxL n n xL xxLxL nnn 试确定三点的高斯 勒让德 G L 求积公式 1 1 332211 xfAxfAxfAdxxf 的求积系数和节点 并用此公式近似计算积分 2 1 1 dxeI x 八 14 分 对于下面求解常微分方程初值问题 00 yxy yxf dx dy 的单步法 2 1 2 1 12 1 211 hkyhxfk yxfk kkhyy nn nn nn 1 验证它是二阶方法 2 确定此单步法的绝对稳定域 武武 汉汉 大大 学学 2006 2007 学年第一学期硕士研究生期末考试试题学年第一学期硕士研究生期末考试试题 A 卷 卷 科目名称 数值分析 学生所在院 学号 姓名 注意 所有的答题内容必须答在答题纸上 凡答在试题或草稿纸上的一律无效 一 12 分 设方程组bAx 为 3 7 11 12 2 1 x x 1 用 Doolittle 分解法求解方程组 2 求矩阵 A 的条件数 ACond 二 12 分 设 A 为 n 阶对称正定矩阵 A 的 n 个特征值为 n 21 为 求解方程组bAx 建立迭代格式 1 kkk Axbxx 求出常数 的取 值范围 使迭代格式收敛 三 12 分 已知数据 i x 2 1 0 1 2 i y 0 1 2 1 0 试用二次多项式cbxaxxp 2 拟合这些数据 四 14 分 已知 xfy 的数据如下 i x 1 2 3 i xf 2 4 12 i x f 3 1 求 xf的 Hermite 插值多项式 3 xH 2 为求 3 1 dxxf的值 采用算法 RdxxHdxxf 3 1 3 3 1 试导出截断误差 R 五 12 分 确定常数 a b 的值 使积分 dxebaxbaI x 2 1 0 取得最小值 六 12 确定常数 i A 使求积公式 2 1 0 321 2 0 fAfAfAdxxf 的代数精度尽可能高 并问是否是 Gauss 型公式 七 12 分 设 x 导数连续 迭代格式 1kk xx 一阶局部收敛到点 x 对 于常数 构造新的迭代格式 1 1 1 1kkk xxx 问如何选取 使新迭代格式有更高的收敛阶 并问是几阶收敛 八 14 分 对于下面求解常微分方程初值问题 00 yty ytf dt dy 的单步法 2 1 2 1 12 1 21 hkyhtfk ytfk hkyy nn nn nn 1 验证它是二阶方法 2 确定此单步法的绝对稳定区域 武武 汉汉 大大 学学 2007 2008 学年第一学期硕士研究生期末考试试题学年第一学期硕士研究生期末考试试题 科目名称 科目名称 数值分析数值分析 学生所在院 学生所在院 学号 学号 姓名 姓名 注意 所有的答题内容必须答在答题纸上 凡答在试题或草稿纸上的一律无效 一 15 分 给定方程 01 1 x exxf 1 分析该方程存在几个根 2 用迭代法求出这些根 精确至 2 位有效数 3 说明所用的迭代格式是收敛的 二 15 分 设线性方程组为 0 2211 2222121 1212111 aa bxaxa bxaxa 1 证明用Jacobi迭代法和Gauss Seidel迭代法解此方程组要么同时收敛 要么同时发散 2 当同时收敛时比较其收敛速度 三 10 分 设A为非奇异矩阵 方程组bAx 的系数矩阵A有扰动A 受扰 动后的方程组为bxxAA 若1 1 AA 试证 1 1 1 AA AA x x 四 15 分 已知 xfy 的数据如下 i x 0 1 2 i xf 1 0 1 i x f 1 求 xf的 Hermite 插值多项式 3 xH 并给出截断误差 3 xHxfxR 五 10 分 已知数据 i 0 1 2 3 xi 0 1 2 3 yi 3 2 4 7 设 2 1 xbaxxf 求常数a b 使得 3 0 2 min i ii yxf 六 15 分 定义内积 1 1 dxxgxfgf 在 1 2 xxSpanH 中求 xxf 的最佳平方逼近元素 七 10 分 给定求积公式 h h hCfBfhAfdxxf 2 2 0 试确定CBA 使此求积公式的代数精度尽可能高 并问是否是 Gauss 型公式 八 10 分 给定微分方程初值问题 2 0 10 2 y xy dx dy 用一个二阶方法计算 xy在 0 1 0 2 处的近似值 取 1 0 h 计算结果保留 5 位有效数字 武 汉 大 学 2008 2009 学年第一学期硕士研究生期末考试试题 科目名称 数值分析 学生所在院 学号 姓名 注意 所有的答题内容必须答在答题纸上 凡答在试题或草稿纸上的一律无效 一 本题共 3 小题 每题 8 分 共 24 分 解答下面各题 1 下表给出了函数 f x 在一些节点上的函数值 x 0 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 f x 5 8 6 3 0 3 3 3 5 用复化 Simpson 求积公式近似计算函数 f x 在区间 0 0 8 上的积分 2 已知函数 y f x 的观察值如下表所示 使用 Newton 插值法求其插值多项 式 x 0 1 2 3 y 2 3 0 1 3 取初值为 2 利用 Newton 迭代法求方程 在 0 2 中的近似解 要求迭代两次 如果计算结果用小数表示 则最后 结果应保留 5 位小数 二 本题 15 分 设常数 a 0 试求 a 的取值范围 使得用雅可比 Jacobi 迭代法求解下面线性方程组时是收敛的 2 1 23 21 31 a a a z y x a a a 三 本题 16 分 利用 Hermite 插值多项式构造下面的求积公式 0 12 1 0 2 2 h 0 hffhhff h dxxf 并导出其积分余项 四 14 分 已知方程 0410 xex 在 0 2 附近有解 建立用于求解此解的 收敛的迭代公式 并问如何设置迭代终止条件可以保证计算结果具有 4 位有效数字 不计舍入误差 五 15 分 对初值问题 0 0 y baxy 导出改进Euler方法的近似解的 02 2 xxf 表达式 并与准确解 bxaxy 2