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第2章非线性方程的数值解法2 1初始近似值的搜索2 2迭代法2 3牛顿迭代法 切线法 2 4弦截法 割线法 2 1初始近似值的搜索2 1 1方程的根 单根和重根 有根区间 假设f x 在区间 a b 内有一个实根x 若b a较小 则可在 a b 上任取一点x0作为初始近似根 一般情形 可用逐步搜索法 2 1 2逐步搜索法 例对方程搜索有根区间 解由于f x 是连续函数 f 0 10 故方程至少有一正实根 设从x 0出发 取h 0 5为步长 逐步右跨搜索 得 所以f x 在区间 1 1 5 上单调连续 因而在 1 1 5 内有且仅有一个实根 故可取 1 1 5 上任一点做初始近似根 可见在 1 1 5 内有根 又 2 1 3区间二分法定理函数f x 在 a b 上单调连续 且f a f b 0 则方程f x 0在区间 a b 上有且仅有一个实根x 二分法的基本思想将有根的区间二分为两个小区间 然后判断根在那个小区间 舍去无根的小区间 而把有根的小区间再一分为二 再判断根属于哪个更小的区间 如此反复 直到求出满足精度要求的近似根 令 近似根xk的误差估计 中点 这时有三种情况 f x0 0 x0为所求的根 f x0 和a0同号 取x0 a1f x0 和b0同号 取x0 b1 x x 新的有根区间为 a1 b1 长度是原来的一半 如此反复 有 ak bk k 0 1 2 近似根xk的误差估计 第2次二分 取中点 若f a1 f x1 0 则x a1 x1 令a2 a1 b2 x1 否则令a2 x1 b2 b1 新的有根区间为 a2 b2 由此得二分过程结束的原则 先给定精度要求 绝对误差限 2 当 bk 1 ak 1 时
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