现代控制理论第4章 系统的稳定性分析.pptx

现代控制理论ModernControlTheory 9 俞立 浙江工业大学信息工程学院 第4章系统的稳定性分析 给定一个静止的系统 1 给了一个初始扰动 它是否会恢复到静止状态 D A C 2 在持续扰动下 系统的输出是否有界 B 不同的稳定性概念 1 李雅普诺夫意义下的稳定性 2 输入输出稳定性 李雅普诺夫稳定性 李雅普诺夫第一方法 利用矩阵特征值李雅普诺夫第二方法 利用能量函数 直接法 李雅普诺夫 1857 1918 1892年在博士论文中提出稳定性理论1907 15年后 出版了法文版1992 100年后 出版了英文版当今任何一本控制期刊都有 李雅普诺夫的名字 李雅普诺夫稳定性理论在许多领域存在应用 9经典动力学9结构动力学9流体力学9航空动力学9化学动力学9生物学 9经济学 9控制 Lyapunov稳定性 D 1 平衡点 A C 2 通过系统能量来分析稳定性 3 李雅普诺夫函数 B 关键 选取适当的李雅普诺夫函数 给出判别其增加还是减小的方法 需要有判别一个函数定号的方法 解决方法 二次型函数定号性判据 优点 1 用于分析 2 用于设计 平衡状态 自治系统模型 x f x t D t A C 假定 初始条件x x 0 0 自治系统有惟一解x t t x t 0 0 B 使得f x t 0成立的状态x称为是平衡状态 e e 平衡状态 静止状态 时间导数等于零 对一个系统 可能没有平衡状态 存在一个平衡状态 存在无穷多个平衡状态 f x t Ax 当A为非奇异矩阵时 有惟一平衡状态 当A为奇异矩阵时 有无穷多平衡状态 假定 零状态是自治系统x f x t 的平衡状态 f 0 t 0 x L x 到原点距离 T n维空间中的任意一个点 xx 1 2 n x xx 2 2 L 2x 1 2 n 称为欧几里德范数 半径为r的球域 S r xxr x2 S S 状态轨线x t t x t 00 x1 x 满足ttr 0 0 x t x2 0 0 x t S x1 t T 定义 对自治系统x f x t 的平衡状态x 0 若对任 e 意给定的0 存在一个0 使得只要状态轨线的 初始状态满足 由该初始状态出发的状态轨线 x 0 x t t x t x满足 t t 00 00 那么 系统的平衡状态x 0称为是李雅普诺夫意义下 e 稳定的 x2 S x2 S S x1 S x t x2 0 0 x t x t 0 0 S x1 x1 x t t T 定义 对自治系统x f x t 的平衡状态x 0 若该平 e 衡状态x 0是李雅普诺夫意义下稳定的 且当t e 时 始于原点小邻域的轨线满足x t 0 则平衡状态 x 0称为是李雅普诺夫意义下渐近稳定的 e 渐近稳定性是局部性质 x2 需要确定渐近稳定域 吸引域 S 大范围渐近稳定 S 不稳定 无论从原点多小领域 x t 0 0 x1 中出发的状态轨线都难以保持在原点的小邻域中 x t 能量函数李雅普诺夫稳定性理论建立了系统能量与稳定性之间的关系 需要有一个抽象的能量函数来描述系统的虚拟能量 能量函数 状态和时间的标量函数V x t 能量函数的定号性 V x V x 0 V 0 0正定 对所有非零的x V x t 的正定性 存在正定函数W x 使得 对所有非零的x V x t W x V 0 t 0 负定 V x 负定 V x 正定 能量函数 0 半正定 对所有x 且V 0 V x 0 半负定 V x 半负定 V x 半正定 不定 无论在原点的多么小领域内V x 既可以取到正值 也可以取到负值 x 2 22 例V x2x是正定的 1 x 2 V xx 是半正定的 1 2 1 2 V x xx 0 1 2 2 对 V x 0 xx0 1 2 x 2 2 V x 3x2x 是负定的 1 1 2 V xxx是不定的 x 2 12 2 二次型函数 p p12 p x L 11 1n 1 n n p21 pLp22 x V x pxx T xPx xxLx 2n 2 ijij 1 2 n M MMM M i 1j 1 ppLp x n n1 n2 nn 关于x和x的二次多项式 i j pxx pxx 注意 和 是同类项 jiji ijij 例 2 2 2V x x2xxxx 1 12 2 3 xx xx xx xx xx 11 12 21 22 33 110 x 1 xxx 110 x 1 2 3 2 001x 3 矩阵P是对称的 称为表示矩阵 二次型函数的定号性就是矩阵P的定号性 问题 如何判别矩阵P的定号性 塞尔维斯特判据 p p12 p L 11 1n 对实对称矩阵 p12 pLp P 22 2n p pij ji M MOM p1n pLp 2n nn 定义各阶顺序主子式 p p12 p LL 11 1n p p p p22 p p det 11 12 L det 12 2n 1 11 2 n p12 p M MOM 22 p p2n Lpnn 1n 塞尔维斯特判据 矩阵P正定的充分必要条件是 0 i1 2 n L i 其它重要判别方法 矩阵P正定 P的所有特征值为正 例验证以下二次型是正定的 x V 10 x4xx2xx2xx4xx 2 1 2 2 2 3 12 23