抛物线 标准方程、几何性质、经典大题归纳总结.doc

第一讲：抛物线标准方程一、 考点、热点回顾一、定义：在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.即：(定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。)二、 标准方程：设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0)取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系抛物线上的点M(x，y)到l的距离为d，抛物线是集合p=M|MF|=d化简后得：y2=2px(p0)由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：二、 典型例题例1、(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；(2) 已知抛物线的焦点坐标是F(0，-2)，求它的标准方程方程是x2=-8y例2、根据下列所给条件，写出抛物线的标准方程：(1)焦点是F(3，0)；(3)焦点到准线的距离是2答案是：(1)y2=12x；(2)y2=-x；(3)y2=4x，y2=-4x，x2=4y，x2=-4y三、课堂练习1. 抛物线y24x的焦点到准线的距离是_答案：2解析：解析：抛物线y24x的焦点F(1,0)，准线x1. 焦点到准线的距离为2. 2.分别求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(3,2)；(2)焦点在直线x2y40上答案：解析：解：(1)设抛物线方程为y22px或x22py(p0)，则将点(3,2)代入方程得2p或2p，故抛物线方程为y2x或x2y.(2)令x0，由方程x2y40，得y2. 抛物线的焦点为F(0，2)设抛物线方程为x22py(p0)，则由2，得2p8. 所求抛物线方程为x28y.令y0，由方程x2y40，得x4. 抛物线的焦点为F(4,0)设抛物线方程为y22px(p0)，则由4，得2p16.所求抛物线方程为y216x.综上，所求抛物线方程为y216x或x28y.3、已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值解法一：由焦半径关系，设抛物线方程为y2=-2px(p0)，则准线方因为抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离|MF|与到准线的距离得p=4因此，所求抛物线方程为y2=-8x又点M(-3，m)在此抛物线上，故m2=-8(-3)解法二：由题设列两个方程，可求得p和m由学生演板由题意在抛物线上且|MF|=5，故四、课后作业1、分别求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(3,2)；(2)焦点在直线x2y40上答案： 解析： (1)设抛物线方程为y22px或x22py(p0)，则将点(3,2)代入方程得2p或2p，故抛物线方程为y2x或x2y.(2)令x0，由方程x2y40，得y2. 抛物线的焦点为F(0，2)设抛物线方程为x22py(p0)，则由2，得2p8. 所求抛物线方程为x28y.令y0，由方程x2y40，得x4. 抛物线的焦点为F(4,0)设抛物线方程为y22px(p0)，则由4，得2p16.所求抛物线方程为y216x.综上，所求抛物线方程为y216x或x28y.2、若抛物线y22px(p0)上有一点M，其横坐标为9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M点的坐标解析： 解：由抛物线的定义，设焦点F(，0)则准线为x.设M到准线的距离为|MN|，则|MN|MF|10，即(9)10，p2. 故抛物线方程为y24x.将M(9，y)，代入抛物线方程得y6. 故M(9,6)或M(9，6)3、已知抛物线C的焦点F在x轴的正半轴上，点A(2，)在抛物线内若抛物线上一动点P到A、F两点距离之和的最小值为4，求抛物线C的方程解析： 解：设抛物线方程为y22px(p0)，其准线为x，过P点作抛物线准线的垂线，垂足为H(图略)，由定义知，|PH|PF|.|PA|PF|PA|PH|，故当H、P、A三点共线时，|PA|PF|最小 |PA|PF|的最小值为24，p4， 即抛物线C的方程为y28x.4、动圆M经过点A(3,0)且与直线l：x3相切，求动圆圆心M的轨迹方程解：设圆M与直线l相切于点N. |MA|MN|，圆心M到定点A(3,0)和定直线x3的距离相等根据抛物线的定义，M在以A为焦点，l为准线的抛物线上3，p6. 圆心M的轨迹方程为y212x. 第二讲：抛物线简单几何性质一、考点、热点回顾定义：在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.补充：1、通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。通径的长度：2P （P越大,开口越开阔）2、焦半径 ：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。焦半径公式：|PF|=x0 +P/2二、典型例题【题型一】利用抛物线的性质求抛物线的方程【例1】已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过，求它的标准方程。【变式】已知抛物线关于坐标轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过，求它的标准方程。【例2】已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在轴的正半轴上，若抛物线上一动点P到、F两点距离之和的最小值为4，求抛物线C的方程。【变式】抛物线的顶点在原点，以轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为的直线，被抛物线截得的弦长为8，试求抛物线的方程。【题型二】有关焦点弦的问题【例3】斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长。【变式】1.已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于A、B两点，且，求AB所在的直线方程。2. 过点作抛物线的弦AB，恰被Q平分，求AB所在的直线方程。【题型三】直线与抛物线一、 直线与抛物线的位置关系1 直线与抛物线相切：直线与抛物线有且只有一个公共点，但不平行于抛物线的对称轴。即把xmyn代入y22px（p0）消去x得：y22pmy2pn0，当方程的判别式0直线与抛物线相切；2 直线与抛物线相交：（1）直线与抛物线只有一个交点：直线与抛物线的对称轴平行；（2）直线与抛物线有两个不同的交点方程的判别式0；3. 直线与抛物线相离方程的判别式0。【例4】已知直线过点且与抛物线只有一个公共点，求直线的方程。【变式】抛物线有一内接直角三角形，直角顶点在原点，一直角边的方程是，斜边长为，求此抛物线的方程。【题型四】定值问题【例5】已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于，两点，求证：（1）为定值；（2）为定值。例1图xyABOMP【题型五】直线过定点问题【例6】A、B是抛物线y22px（p0）上的两点，且OAOB（O为坐标原点）求证：（1）A、B两点的横坐标之积，纵坐标之积分别都是定值；（1） 直线AB经过一个定点；（2） 求O在线段AB上的射影M的轨迹方程。例3图xyBOAMF【例7】抛物线y22px（p0）上有两个动点A、B及一定点M（p，p），F为焦点；若|AF|、|MF|、|BF|成等差数列，求证：线段AB的垂直平分线过定点。例1图xyPFOLANPN【题型六】抛物线中的最值问题 【例8】如图所示，若A（3，2），F为抛物线y22x的焦点，求|PF|PA|的最小值，以及取得最小值时点P的坐标。【变式】1.定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线上移动，求AB中点到轴距离的最小值，并求此时AB中点M的坐标。2. 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个正三角形的边长，并求该三角形外接圆的方程。第三讲：抛物线重点题型一.抛物线的定义1若 是定直线 外的一定点，则过 与 相切圆的圆心轨迹是（）A圆 B椭圆 C双曲线一支 D抛物线1若点 到点 的距离比它到直线 的距离小1，则 点的轨迹方程是（）A B C D 3若点到直线y=-1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点的轨迹方程为 （ ）A.x2=12y B.y2=12x C.x2=4y D. x2=6y 4已知点 ， 是抛物线 的焦点，点 在抛物线上移动时， 取得最小值时 点的坐标为（）A（0，0）B CD（2，2）5已知点（2，3）与抛物线 （ ）的焦点的距离是5，则 =_6在抛物线 上有一点 ，它到焦点的距离是20，则 点的坐标是_7已知抛物线 （ ）上一点 到焦点 的距离等于 ，则 =_， =_8抛物线 的焦点弦的端点为 ， ，且 ，则 =_9过抛物线y 2=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x1, y 1) ，B(x2, y 2)两点，如果x1+ x2=6，那么|AB|=（ ）A8B10C6 D410在抛物线 上有一点 ，它到焦点的距离是20，则 点的坐标是_二.抛物线的几何性质1抛物线 的准线方程是（）ABCD 2焦点在直线 的抛物线的标准方程是_3抛物线 的焦点坐标是（）A B C D 4抛物线 的焦点到准线的距离是（）A2.5 B5 C7.5 D105抛物线 的焦点位于（）A 轴的负半轴上 B 轴的正半轴上 C 轴的负半轴上 D 轴的正半轴上6抛物线 （ ）的焦点坐标为（）A B C D 时为 ， 时为 7抛物线 的焦点坐标是（）ABCD 三.求抛物线方程1已知原点为顶点， 轴为对称轴的抛物线的焦点在直线 上，则此抛物线的方程是（）ABCD 2抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（-5，m）到焦点距离是6，则抛物线的方程是（ ）A y 2=-2xB y 2=-4xC y 2=2xD y 2=-4x或y 2=-36x3与椭圆 有相同的焦点，且顶点在原点的抛物线方程是（）ABCD 4已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值 5求顶点在原点，以 轴为对称轴，其上各点与直线 的最短距离为1的抛物线方程6平面内过点A（-2，0），且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是（ ）A y 2=2xB y 2=4xCy 2=8x Dy 2=16x7已知动圆M与直线y =2相切，且与定圆C：外切，求动圆圆心M的轨迹方程(12分)8动直线y =a，与抛物线相交于A点，动点B的坐标是，求线段AB中点M的轨迹的方程9已知点 和抛物线 上的动点 ，点 分线段 为 ，求点 的轨迹方程 四.直线与抛物线的关系1过（0，1）作直线，使它与抛物线 仅有一个公共点，这样的直线有（）条A1 B2 C3 D42设抛物线 （ ）与直线 （ ）有两个公共点，其横坐标分别是 、 ，而 是直线与 轴交点的横坐标，则 、 、 关系是（）AB CD3抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是（ ）A（1，1）B（）CD（2，4）4过点M（2，4）作与抛物线y 2=8x只有一个公共点的直线l有（ ）A0条B1条C2条D3条5过抛物线y =ax2(a0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于（ ）A2aB C4a D 6在抛物线 内，通过点（