八年级数学三角形的证明回顾与思考练习新版北师大版.docx

三角形的证明专题一等腰三角形的性质与判定1.(2017山东滨州中考)如图,在ABC中,AB=AC,D为BC上一点,且DA=DC,BD=BA,则B的大小为(B) A.40B.36C.30D.252.如图所示,点D,E在ABC的边BC上,连接AD,AE.AB=AC;AD=AE;BD=CE.以此三个等式中的两个作为命题的题设,另一个作为命题的结论,构成三个命题:;.(1)以上三个命题是真命题的为(直接作答);(2)请选择一个真命题进行证明(先写出所选命题,然后证明).(1)解,.(2)证明方法一:AB=AC,B=C.又AD=AE,ADG=AEG.ADG=B+BAD,AEG=C+CAE,BAD=CAE.在ABD与ACE中,AB=AC,BAD=CAE,AD=AE,则ABDACE(SAS).BD=CE.方法二:过点A作ABC的高AG,AB=AC,AGBC,BG=CG.又AD=AE,AGDE,DG=EG.BD=BG-DG,CE=CG-GE,BD=CE.专题二等边三角形的性质与判定3.导学号99804031如图,在ABC中,D是AB边上的一点,且AD=DC=DB,B=30.求证:ADC是等边三角形.证明DC=DB,B=DCB=30(等边对等角).ADC=DCB+B=60.又AD=DC,ADC是等边三角形(有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形).4.导学号99804032如图,ABC是等边三角形,1=2=3,求BEC的度数.解ABC是等边三角形,AB=BC=CA,ABC=BCA=CAB=60.1=2=3,BAC-1=ABC-2=BCA-3,即CAF=ABD=BCE.在ABD和BCE和CAF中,ABDBCECAF(ASA).AD=BE=CF,BD=CE=AF.AD-AF=BE-BD=CF-CE,即FD=DE=EF.DEF是等边三角形.FED=60.BEC=180-FED=180-60=120.5.导学号99804033如图所示,等边ABC和等边DCE在直线BCE的同一侧,AE交CD于点P,BD交AC于点Q,求证:PQC为等边三角形.证明在等边ABC和等边DCE中,BC=AC,DC=EC,ACB=DCE=60,所以ACB+ACD=DCE+ACD,即BCD=ACE.在BCD和ACE中,所以BCDACE(SAS).所以1=2.因为ACB=DCE=60所以ACD=180-ACB-DCE=60.所以BCQ=ACP.在BCQ和ACP中,所以BCQACP.所以CQ=CP.又因为QCP=60,所以PQC为等边三角形.专题三直角三角形的性质与判定6.如图所示,在ABC中,CD是AB边上的高,且CD2=ADBD.求证:ABC是直角三角形.证明在RtACD中,由勾股定理得AC2=AD2+CD2.在RtBCD中,由勾股定理得BC2=BD2+CD2.AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2ADBD+BD2=(AD+BD)2=AB2.ABC是直角三角形.7.导学号99804034如图所示,点P是等边三角形ABC内的一点,连接PA,PB,PC,以BP为边作PBQ=60,且PB=BQ,连接CQ,若PAPBPC=345,连接PQ.求证:PQC是直角三角形.证明PAPBPC=345,设PA=3a,PB=4a,PC=5a.在PBQ中,PB=BQ=4a,且PBQ=60,PBQ是等边三角形.PQ=4a.在PQC中,PQ2+QC2=16a2+9a2=25a2=PC2,PQC是直角三角形.专题四线段垂直平分线与角平分线性质的应用8.(2016贵州毕节中考)到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的(D)A.三条高的交点B.三条角平分线的交点C.三条中线的交点D.三条边的垂直平分线的交点9.(2017湖南益阳中考)如图,在ABC中,AB=AC,BAC=36,DE是线段AC的垂直平分线,若BE=a,AE=b,则用含a,b的代数式表示ABC的周长为2a+3b.10.如图所示,在RtABC中,ACB=90,AB的垂直平分线DE交AC于点E,交BC的延长线于点F,若F=30,DE=1,求BE的长.解ACB=90,FDAB,ACB=FDB=90.F=30,A=F=30.又AB的垂直平分线DE交AC于点E,EBA=A=30.RtDBE中,BE=2DE=2.11.导学号99804035如图,已知AD是ABC的角平分线,DEAB于点E,DFAC于点F.求证:AD垂直平分EF.证明AD平分BAC,DEAB,DFAC,DE=DF.