2013朝阳区高三上学期期末考试数学(理).pdf

北京市朝阳区 2012 2013 学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学测试题 理工类 2013 1 考试时间 120 分钟满分 150 分 本试卷分为选择题 共 40 分 和非选择题 共 110 分 两部分 第一部分 选择题 共第一部分 选择题 共 40 分 分 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 选出符合题目要 求的一项 1 已知i是虚数单位 若复数 1i 2i a 是纯虚数 则实数a等于 A 2B 1 2 C 1 2 D 2 2 1k 是 直线0 xyk 与圆 22 1xy 相交 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 3 执行如图所示的程序框图 若输入3x 则输出k的值是 A 3B 4 C 5D 6 4 已知双曲线的中心在原点 一个焦点为 1 5 0 F 点 P 在双曲线上 且线段 PF1的中点坐标为 0 2 则此双曲线的方程是 A 2 2 1 4 x y B 2 2 1 4 y x C 22 1 23 xy D 22 1 32 xy 5 某中学从 4 名男生和 3 名女生中推荐 4 人参加社会公益活动 若选出的 4 人中 既有男生又有女生 则不同的选法共有 A 140 种B 120 种C 35 种D 34 种 6 已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形 其正视图与俯视图如图所示 则其侧 视图的面积为 A 3 4 B 3 2 C 3 4 D 1 7 设集合 2 A 230 x xx 集合 2 B 210 0 x xaxa 若AB 中恰含 有一个整数 则实数a的取值范围是 A 3 0 4 B 3 4 4 3 C 3 4 D 1 8 在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D 中 点 1 P 2 P分别是线段AB 1 BD 不包括端点 上的动点 且线段 12 P P平行于平面 11 A ADD 则四面体 121 PP AB的体积的最大值是 A 1 24 B 1 12 C 1 6 D 1 2 开始 0k 5xx 1kk 结束 输入 x 是 否 输出 k 23 x 3 1 正视图 俯视图 P B C D A O A1 B1 E C B D1 C1 A D 第二部分 非选择题 共第二部分 非选择题 共 110 分 分 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 把答案填在答题卡上 9 已知数列 12 1 9a a是等差数列 数列 123 1 9b b b是等比数列 则 2 12 b aa 的值为 10 如图 AB CD是半径为a的圆O的两条弦 它们相交于AB的中点P 若 2 3 a PD 30OAP 则AB CP 用a表示 11 若关于x y的不等式组 0 10 x yx kxy k是常数 所表示的平面区域的 边界是一个直角三角形 则k 12 在极坐标系中 过圆4cos 的圆心 且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 13 在直角三角形ABC中 90ACB 2ACBC 点P是斜边AB上的一个三等分点 则 CP CBCP CA 14 将整数1 2 3 25 填入如图所示的5行5列的表格中 使每一行的数字从左 到右都成递增数列 则第三列各数之和的最小值为 最大值为 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 15 本小题满分 13 分 已知函数 2 sincoscos1 222 xxx f x 求函数 f x的最小正周期及单调递减区间 求函数 f x在 上的最小值 16 本小题满分 14 分 在长方体 1111 ABCD A B C D中 1 AA AD 2 点E在棱CD上 且 1 CE CD 3 求证 1 AD 平面 11 A B D 在棱 1 AA上是否存在点P 使DP 平面 1 B AE 若存在 求出线段AP的长 若不存在 请说明理由 若二面角 11 A B E A的余弦值为 30 6 求棱AB的 长 17 本小题满分 13 分 某中学举行了一次 环保知识竞赛 全校学生参加了这次竞赛 为了了解本次竞赛成绩情况 从 中抽取了部分学生的成绩 得分取正整数 满分为 100 分 作为样本进行统计 请根据下面尚未完成 并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图 如图所示 解决下列问题 写出 a b x y的值 在选取的样本中 从竞赛成绩是 80 分以上 含 80 分 的同学中随机抽取 2 名同学到广场参加 环保知识的志愿宣传活动 求所抽取的 2 名同学来自同一组的概率 在 的条件下 设 表示所抽取的 2 名同学中来自第 5 组的人数 求 的分布列及其数学 期望 18 本小题满分 13 分 已知函数 1 2ln f xa xx a x R 若2a 求曲线 yf x 在点 1 1 f处的切线方程 求函数 f x的单调区间 设函数 a g x x 若至少存在一个 0 1 e x 使得 00 f xg x 成立 求实数a的取值范围 组别分组频数频率 第 1 组 50 60 80 16 第 2 组 60 70 a 第 3 组 70 80 200 40 第 4 组 80 90 0 08 第 5 组 90 100 2b 合计 频率分布表频率分布表 组距 频率 成绩 分 频率分布直方图频率分布直方图 0 040 x 0 008 5060807090100 y 19 本小题满分 14 分 已知点A是椭圆 22 10 9 xy Ct t 的左顶点 直线 1 l xmym R与椭圆C相交于 E F两 点 与x轴相交于点B 且当0m 时 AEF的面积为 16 3 求椭圆C的方程 设直线AE AF与直线3x 分别交于M N两点 试判断以MN为直径的圆是否经过点B 并请说明理由 20 本小题满分 13 分 将正整数 2 1 2 3 4 n 2n 任意排成n行n列的数表 对于某一个数表 计算各行和各列中的 任意两个数 a b ab 的比值 a b 称这些比值中的最小值为这个数表的 特征值 当2n 时 试写出排成的各个数表中所有可能的不同 特征值 若 ij a表示某个n行n列数表中第i行第j列的数 1in 1jn 且满足 1 1 ij ijinij a inijnij 请分别写出3 4 5n 时数表的 特征值 并由此归纳此类数表的 特 征值 不必证明 对于由正整数 2 1 2 3 4 n 排成的n行n列的任意数表 记其 特征值 为 求证 1n n A1 B1 E C B D1 C1 A D 北京市朝阳区 2012 2013 学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学测试题答案 理工类 数学测试题答案 理工类 2013 1 一 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案AACBDCBA 二 填空题 题号 9 10 11 12 13 14 答案 3 10 3a 9 8 a 1 或0 cos2 445 85 注 两空的填空 第一空 3 分 第一空 2 分 三 解答题 15 本小题满分 13 分 解 1cos sincos1 222 xxx f x 111 sincos 222 xx 2 分 21 sin 242 x 4 分 所以函数 f x的最小正周期为2 6 分 由 3 22 242 kxk k Z 则 5 22 44 kxk 函数 f x单调递减区间是 5 2 2 44 kk k Z 9 分 由x 得 7 244 x 11 分 则当 3 42 x 即 5 4 x 时 f x取得最小值 21 2 13 分 16 本小题满分 14 分 证明 在长方体 1111 ABCD A B C D中 因为 11 A B 面 11 A D DA 所以 111 A BAD 2 分 在矩形 11 A D DA中 因为 1 AA AD 2 所以 11 ADA D 所以 1 AD 面 11 A B D 4 分 如图 在长方体 1111 ABCD A B C D中 以 1 D为原点建立空间直角坐标系 1 Dxyz 依题意可知 11 D 0 0 0 A 2 0 0 D 0 0 2 A 2 0 2 设AB的长为x 则 11 C 0 0 B 2 0 xx 2 C 0 2 0 2 3 xEx 假设在棱 1 AA上存在点P 使得DP 平面 1 B AE 设点P 2 0 y 则DP 2 0 2 y AP 0 0 2 y 易知 1 12 B E 2 2 A 2 0 33 xEx 设平面 1 B AE的一个法向量为 a b c n 则 1 B E0 A0 E n n 即 1 2 20 3 2 2 0 3 axbc axb 7 分 令3b 得 3 2 ax cx 所以 3 3 2 xx n 因为DP 平面 1 B AE 等价于DP0 n且DP 平面 1 B AE 得 3 2 2 0 2 xyx 所以 2 3 y 所以 4 AP 0 0 3 4 AP 3 所以AP的长为 4 3 9 分 因为CD 11 A B 且点ECD 所以平面 11 A B E 平面 11 A B D与面 11 A B CD是同一个平面 由 可知 1 AD 面 11 A B D 所以 1 D 2 0 2 A 是平面 11 A B E的一个法向量 11 分 由 可知 平面 1 B AE的一个法向量为 3 3 2 xx n 因为二面角 11 A B E A的余弦值为 30 6 所以 1 22 1 2 3 30 cos 63 2 29 2 xxD A AD xx n n 解得3 2x A1 B1 C B D1 C1 A D x y E z 故AB的长为3 2 14 分 17 本小题满分 13 分 解 由题意可知 16 0 04 0 032 0 004abxy 4 分 由题意可知 第 4 组有 4 人 第 5 组有 2 人 共 6 人 从竞赛成绩是 80 分以上 含 80 分 的同学中随机抽取 2 名同学有 2 6 15C 种情况 6 分 设事件A 随机抽取的 2 名同学来自同一组 则 22 42 2 6 7 15 CC P A C 所以 随机抽取的 2 名同学来自同一组的概率是 7 15 8 分 由 可知 的可能取值为0 1 2 则 2 4 2 6 62 0 155 C P C 11 42 2 6 8 1 15 C C P C 2 2 2 6 1 2 15 C P C 所以 的分布列为 12 分 所以 2812 012 515153 E 13 分 18 本小题满分 13 分 解 函数的定义域为 0 2 22 122 1 axxa fxa xxx 1 分 当2a 时 函数 1 2 2lnf xxx x 1 0f 1 2 f 所以曲线 yf x 在点 1 1 f处的切线方程为02 1 yx 即220 xy 3 分 函数 f x的定义域为 0 1 当0a 时 2 20h xaxxa 在 0 上恒成立 则 0fx 在 0 上恒成立 此时 f x在 0 上单调递减 4 分 2 当0a 时 2 44a 若01a 0 12 P 2 5 8 15 1 15 由 0fx 即 0h x 得 2 11a x a 或 2 11a x a 5 分 由 0fx 即 0h x 得 22 1111aa x aa 6 分 所以函数 f x的单调递增区间为 2 11 0 a a 和 2 11 a a 单调递减区间为 22 1111 aa aa 7 分 若1a 0h x 在 0 上恒成立 则 0fx 在 0 上恒成立 此时 f x在 0 上 单调递增 8 分 因为存在一个 0 1 e x 使得 00 f xg x 则 00 2lnaxx 等价于 0 0 2ln x a x 9 分 令 2ln x F x x 等价于 当 1 ex 时 minaF x 对 F x求导 得 2 2 1ln x F x x 10 分 因为当 1 e x 时 0F x 所以 F x在 1 e 上单调递增 12 分 所以 min 1 0F xF 因此0a 13 分 另解 设 2lnF xf xg xaxx 定义域为 0 22ax Fxa xx 依题意 至少存在一个 0 1 e x 使得 00 f xg x 成立 等价于当 1 ex 时 max0F x 9 分 1 当0a 时 0Fx 在 1 e恒成立 所以 F x在 1 e单调递减 只要 max 10F xFa 则不满足题意 10 分 2 当0a 时 令 0Fx 得 2 x a 当 2 01 a 即2a 时 在 1 e上 0Fx 所以 F x在 1 e上单调递增 所以 max ee2F xFa 由e20a 得 2 e a 所以2a 11 分 当 2 e a 即 2 0 e a 时 在 1 e上 0Fx 所以 F x在 1 e单调递减 所以 max 1F xFa 由0a 得 2 0 e a 12 分 当 2 1e a 即 2 2 e a 时 在 2 1 a 上 0Fx 在 2 e a 上 0Fx 所以 F x在 2 1 a 单调递减 在 2 e a 单调递增 max0F x 等价于 10F 或 e0F 解得0a 所以 2 2 e a 综上所述 实数a的取值范围为 0 13 分 19 本小题满分 14 分 解 当0m 时 直线l的方程为1x 设点E在x轴上方 由 22 1 9 1 xy t x 解得 2 22 2 1 1 33 tt EF 所以 4 2 3 t EF 因为 AEF的面积为 14 216 4 233 t 解得2t 所以椭圆C的方程为 22 1 92 xy 4 分 由 22 1 92 1 xy xmy 得 22 29 4160mymy 显然m R 5 分 设 1122 E x yF xy 则 1212 22 416 2929 m yyy y mm 6 分 11 1xmy 22 1xmy 又直线AE的方程为 1 1 3 3 y yx x 由 1 1 3 3 3 y yx x x 解得 1 1 6 3 3 y M x 同理得 2 2 6 3 3 y N x 所以 12 12 66 2 2 33 yy BMBN xx 9 分 又因为 12 12 66 2 2 33 yy BM BN xx 1212 1212 3636 44 3 3 4 4 y yy y xxmymy 1212 2 1212 4 4 4 36 4 16 mymyy y m y ym yy 222 22 16 436 164164 29 3216 29 mmm mm 222 6457664128576 9 mmm 0 13 分 所以BMBN 所以以MN为直径的圆过点B 14 分