古典概型课要教给学生什么.doc

古典概型课要教给学生什么从两堂课对基本事件的争论引发的思考白涛 古典概率的内容在高中数学教材里已经有很多年了，以往的课，都把重点放在了用排列组合计算古典概率上。高中课程标准教材实施以后，引入了古典概型的概念，淡化了对古典概率的计算，加强了对概率本身的理解。这样的变化就迫使课堂教学要做大的转变。在中学数学核心概念、思想方法结构体系和教学设计研究第五次课题会上，有两堂有关古典概型的研究课，使用的教材都是人民教育出版社普通高中课程标准试验教科书数学3（必修）“3.2.1古典概型”。课后，听课教师都认为，这两堂课都没能较好地实现新的教学目标，其中一个重要原因是没有把基本事件这一概念讲清楚。于是，对于如何把握这堂课所涉及的基本事件概念，教师们展开了讨论，形成了两种不同的意见。下面就针对大家的意见，谈一谈个人对这一内容教学的思考。一、争论的起因本节课的教学目标是，通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。教学的重点应该是让学生通过实例理解古典概型，初步学会把一些实际问题化为古典概型，而不应该把重点放在如何计数上。但是，由于受传统教学的影响，课堂上教师依然把太多的教学时间花在了计算事件发生的概率上，没能让学生真正理解古典概型，部分学生仍然不会把所遇到的实际问题化为古典概型，结果对所计算出的概率知其然不知其所以然。造成这一现象的另一个关键原因就是，教师没有把本堂课的一个重要概念基本事件讲清楚。于是，课后大家对本堂课应该如何处理基本事件这一概念展开了讨论。一种观点认为，确定一个事件是否是基本事件的关键在于其不可再分性；另一种观点认为，确定一个事件是否是基本事件要从具体问题出发，每一种可能出现的结果都可以作为一个基本事件，不能以不可再分为标准。其实，上述两种观点都有道理，出现分歧的原因在于各自的出发点不同，前者是单纯地看待基本事件概念本身，后者是拘泥于某些具体问题来看待基本事件的概念。解决争论的关键在于，要弄清古典概型课要教给学生什么，只有从本节课的教学任务出发来把握基本事件的概念，才能对基本事件的概念有一个正确的定位。 二、先回到概念上 既然是由概念引发的争论，在弄清这堂课要教给学生什么之前，我们不妨先回到概念上。在本堂课，基本事件和古典概型是紧密联系的两个核心概念，对其中任何一个概念的认识都需要同时认识另一个概念。（一）基本事件 1基本事件的含义由于基本事件的概念是古典概型概念的基础，只有认识了基本事件的概念才能理解古典概型。但是，教材在介绍古典概型之前并没有给出基本事件的概念，而只是指出基本事件具有如下特点： （1）任何两个基本事件都是互斥的； （2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。 但是，要让学生根据上述特点来判断一个事件是否是基本事件是有困难的。例如，在抛掷一个骰子的随机试验中，我们可以认为，结果会有两个：一个是向上一面的点数是奇数，另一个是向上一面的点数是偶数。对于这两个事件，它们都是互斥的，但要用它们的和来表示像“向上一面的点数不小于3”这样的事件却是不可以的。于是，是否可以判断这两个事件不是基本事件？事件有不同的复杂程度。概率论中，往往把复杂的事件“分解”成同一随机现象下的较简单的事件。其中，有的事件不能再“分解”为更简单的事件。像这种在一定研究范围内，不能再“分解”的事件叫做基本事件。按照这一定义，基本事件就应该是在所研究范围内最简单的事件。2如何认识基本事件上述基本事件的定义有两个条件，一个是“在一定研究范围内”，另一个是“不能再分解”。如果仅以“不能再分解”为标准，在抛掷一个骰子的随机试验中，向上一面的点数分别为1，2，3，4，5，6，只有这六个事件才是基本事件。它们也显然具有教材中的两个特点，用它们的和可以表示除不可能事件外的任何事件，包括像“向上一面的点数不小于3”这样的事件。但如果还要考虑“在一定研究范围内”，那么在研究向上一面的点数是奇数和偶数两种情况时，“向上一面的点数是奇数”和“向上一面的点数是偶数”这两个事件同样也可以看作是基本事件。因为在研究向上一面的点数是奇数和偶数这一范围内，这两个事件就可以看作是最简单的事件。而在研究向上一面的点数不小于3这一范围内，这两个事件就不可以看作是基本事件了。但是，向上一面的点数分别为1，2，3，4，5，6，这六个事件却是在抛掷一个骰子的随机试验中的各种研究范围的基本事件。对此，学生在刚开始学习时是难以理解的，教学的关键在于教师应循序渐进地引导学生把握，允许学生先以“不能再分解”为标准来把握基本事件，再逐步认识“在一定研究范围内”，逐步达到对基本事件的正确把握。另外，两堂课在讲到基本事件的特点时，老师都引导学生对事件的互斥作了重点讨论。虽然互斥的概念是在本章中给出的，但主要是考虑到相关内容的需要。就实质来讲，互斥并不是概率论的概念，它的定义与概率无关。所以，基本事件概念的教学不应将重点放在互斥的理解上，只要学生能针对实际问题分清事件是否互斥即可。（二）古典概型 1古典概型的含义教材将具有下列特点的概率模型称为古典概型：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； （2）每个基本事件出现的可能性相等。在两堂课中，教师都以抛掷硬币和骰子为例，从正面介绍古典概型。这还不能帮助学生很好地理解古典概型。教师还应该列举一些不满足上述特征的反例，让学生进行判断，这样才有利于学生更好地理解这一概念。例如，在研究酒瓶落地情况的随机试验中，向上抛掷的酒瓶落地后有瓶身在下、瓶口在下和瓶底在下三个结果，但这三个结果出现的可能性却不相等，所以这种概率模型就不是古典概型。又如，在研究射击时子弹击中靶牌各点位置的随机试验中，可能出现的结果有无限多个，所以这种概率模型也不是古典概型。 2古典概型是一种数学模型教材把具有上述特征的概率模型称为古典概型，但是课后在与学生的交流中发现，他们对什么是概率模型也不太清楚。这同样影响到他们对古典概型的理解。究其原因，还是过去对数学模型的概念缺乏认识。在此之前，教材只专门介绍过函数模型，所以学生自然就会以函数模型的一些特征来衡量其他数学模型，结果就对概率模型也是数学模型难以理解。因此，教师有必要在课堂上简单介绍一下数学模型的概念。一般地，数学模型是指根据研究目的，对所研究的过程和现象的主要特征或关系，采用形式化的数学语言概括地、近似地表达出来的一种结构。当学生对数学模型的概念有所了解后，教师应通过较多的典型事例，引导学生认识古典概率。例如，抛掷一枚硬币，可以看作只有两个结果，即“正面朝上”和“反面朝上”，而且每个结果出现的可能性相等，所以符合古典概型。值得注意的是，要把主要精力放在对概念的理解上，不要在一些细枝末节上耗费时间。例如，有人认为，抛掷硬币的试验中，实际情况还可能有硬币竖立着的情况，硬币的质地是否均匀也只能是近似的等，这些也要让学生明白，从而让学生了解古典概念并不是现实情况的精确描述。我们认为，这是不必要的。（三）教学要处理好基本事件和古典概型的关系虽然基本事件和古典概型是本节课的两个核心概念，但从教学目标来看，教学的重点是理解古典概型，了解基本事件的概念是为了更好地理解古典概型。所以，在课堂教学中教师不应该让学生孤立地认识这两个概念，而应该将两个概念联系起来，以突出古典概型的理解为主。对于一个概率模型，首先要让学生从实际问题出发，根据研究的范围来确定基本事件，在此过程中辩证地认识基本事件的概念；然后再看这些基本事件是否具有有限性和等可能性，从而确定是否是古典概型。这样，学生关注的焦点就落在了实际问题上，而对两个概念的认识则是同时与具体问题紧密结合的，而不是孤立的、抽象的。判断学生是否认识基本事件和古典概型的关键，在于他们能否将实际问题化为古典概型。三、古典概型课要教给学生什么 认识基本事件和古典概型这两个概念的目的，是为了更好地进行本节课的教学。那么，古典概型课究竟要教给学生什么呢？ （一）会把一些实际问题化为古典概型 在古典概率问题中，关键是要给出正确的模型。教师应多列举具体问题，让学生有更多的机会去尝试将实际问题化为古典概型，而不要将教学的重点放在计算概率的大小上。但是，两堂课的教学对此却有所偏颇。例如，一位老师利用下面三个问题给出古典概型的概念：问题1 在抛掷一枚硬币观察哪个面向上的试验中，“正面朝上”和“反面朝上”这两个基本事件的概率是多少？问题2 在抛掷一枚骰子的试验中，出现“1点”“2点”“3点”“4点” “5点”“6点”这6个基本事件的概率是多少？问题3 在掷骰子的试验中，事件“出现偶数点”的概率是多少？ 从上述问题的设问就可以看出，教师把重点放在了概率的计算上。从实际教学来看，整个教学环节也基本上是在讨论概率的计算，却在帮助学生理解概念以及引导学生归纳具体问题的共性上远远不够。所以，受此影响，在后续的教学中，学生面对具体问题也重在概率大小的计算上，没有形成面对一个具体问题首先要化为古典概型的自觉意识，造成将实际问题化为古典概型的训练不够。另外，由于在讨论概率大小的计算上花的时间太多，导致有一堂课没有时间去研究教材中的部分例题，另一堂课留给学生去分析讨论如何化为古典概型的时间也不够，使得本节课的重点不能得到较好的突出。 （二）会把某些实际问题化为不同的古典概型同一个问题也可以用不同的古典概型来解决。所以，本节课的教学不仅要让学生学会把一些实际问题化为古典概型，还要学会把某些实际问题化为不同的古典概型。例如，两堂课都讨论了下面的问题：抛掷一枚质地均匀的骰子，求出现偶数点的概率。学生给出了下面两种解法：解法1：因为所有的基本事件有6个，即出现“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”，其中出现偶数点包括出现“2点”“4点”“6点”3个基本事件。所以P（“出现偶数点”）3/61/2。解法2：因为所有的基本事件有2个，即出现“偶数点”“奇数点”。所以P（“出现偶数点”）1/2。 两位教师都认为上述两种解法都对，但第二种解法更简单更好。但在本节课，教师更需要向学生强调的是，这两种解法正说明了两个不同的古典概型解决了同一个问题。在上述两种解法中，虽然后一个模型更简单，但用它无法求出如出现“点数大于4”的概率；虽然前一个模型没有后一个简单，但它的适用范围却更广，用它可以解决更多的问题。所以，两个模型各有优劣。有的学生对此可能不太理解。教师可以进一步举例说明。例如：抛掷两枚质地均匀的硬币，求至少有一枚“正面朝上”的概率。教师可以让学生讨论两种抛法：一种是一枚一枚有顺序地抛，一种是不考虑顺序一次同时抛两枚。可能有的学生就会认为其中某一种抛法是错误的，其实这是不对的。通过计算不难发现，两个不同的模型都能解决这一问题。不过，若所求结果和顺序有关，如求“第一枚出现正面朝上”的概率，则后一个模型就不行了。教学中需要多组织学生讨论这样的问题，一题多解体现的正是同一问题的多个模型。要让学生在解决实际问题的过程中，更好地认识基本事件和古典概型，以将实际问题化为古典概型为目的，在具体的研究范围内灵活确定基本事件和概率模型。（三）突出思想方法，体会概率的意义 这两堂课在给出古典概型的概念之后，教师都注意到了向学生渗透概率模型的思想。下面是其中一堂课的讨论片段：（问题）单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A、B、C、D四个选项中选择一个正确答案。如果考生掌握了考查内容，他可以选择唯一正确的答案。假设考生不会做，他随机地选择一个答案，问他答对的概率是多少？学生：概率为1/4。教师：怎样得到的？满足两个特点吗？学生：满足，一共有个基本事件，而且考生不会做，是随机选择的，所以是等可能的。在上述教学过程中，教师提出的问题抓住了古典概型的概念，体现了概率模型的思想。但是，学生只针对古典概型的两个特点进行了回答，没有对怎样得到所求概率作出回答。遗憾的是，教师也没有进一步地追问或作出解释。要得到所求概率，需要解决两个问题：一是将实际问题化为古典概型，二是利用古典概型的概率计算公式求出概率。学生只有暴露出这两个问题的解决过程，才能真正凸现他们概率模型的思想。学习古典概型就是为了将具体的实际问题抽象化、形式化，从而能够用每一种古典概型来描述一类实际问题。教学要重在得到正确的古典概型，而不是计算概率的大小，不应该在解题技巧和计算上玩花样，做繁难的题。在教学中，概率的大小甚至可以给