高中数学第一章1.1.2余弦定理同步训练.docx

1.1.2 余弦定理5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.在ABC中,已知a=6,b=8,c=10，则a2+b2_c2,cosA=_, cosB=_，cosC=_，c2_a2+b2-2abcosC，a2_b2+c2-2bccosA,b2_a2+c2-2accosB（其中第一、五、六、七空选填“=”或“”）.解析：第一空容易填出，从而判断ABC为直角三角形，通过计算容易填出后面的空.答案：= 0 = = =2.在ABC中,已知a=2,b=3,C=，则 c=_.解析：直接应用余弦定理c=.答案：3.在DEF中,DE=2,EF=3,FD=4，则cosDFE=v_.解析：利用余弦定理，cosDFE=.答案：784.在ABC中，若a=+1,b=-1,c=,则ABC的最大角的度数为_.解析：由cab知：角C为最大角，则cosC=,C=120即此三角形的最大角为120.答案：12010分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知a、b、c分别是ABC的三边长，且满足：(a+b+c)(a+b-c)=ab，则C等于（ ）A.60 B.90 C.120 D.150解析：由已知得a2+b2-c2=-ab，cosC=，C=120.答案：C2.已知一锐角三角形的三边长为2、3、x，则x的取值范围是（ ）A. B.1x5C.1x D.x5解析：首先应该考虑由三角形的三边间的关系得即1x5（这容易忽视），故只要要求最大边是3或x所对的角是锐角即可，即其余弦为正，有4+x2-90，4+9-x20，综上得x，故选A.答案：A3.ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b2=ac，且c=2a，则cosB等于（ ）A. B. C. D.解析：ABC中，b2=ac，且c=2a，则b=，cosB=，选B.答案：B4.在ABC中,已知a=7,b=8,cosC=，则最大内角的余弦值为_.解析：要求其最大内角的余弦，首先应该判断最大内角是哪一个，即是其最大边，故可以先由余弦定理求得c，从而判定最大内角求得结果.由余弦定理得c=3，bac，故最大内角为B，再由余弦定理求得其余弦.答案：5.(2006高考北京卷，理12)在ABC中，若sinAsinBsinC=578，则B的大小是_.解析：sinAsinBsinC=578abc=578.设a=5k，b=7k，c=8k，由余弦定理可解得B的大小为.答案：6.如右图，已知在四边形ABCD中，ADCD，AD=10,AB=14,BDA=60,BCD=135,求BC的长.解：在BAD中，由余弦定理有AB2=AD2+BD2-2ADBCcosADB.设BD=x,代入有142=x2+102-210xcos60,x2-10x-96=0.x1=16,x2=-6(舍去)，即BD=16.在BCD中，由正弦定理，可得BC=sin30=.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.已知在ABC中，下列等式中恒成立的是（ ）A.cos2A=cos2B+cos2C-2cosBcosCcosA B.sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosAC.sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCsinA D.cos2A=cos2B+cos2C-2cosBcosCsinA解析：只要将正、余弦定理结合在一起，即可得到.由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC，将其代入a2=b2+c2-2bccosA中，两边同时除以4R2得sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA,，故选B.答案：B2.在ABC中,AB=3，BC=,AC=4,则sinA等于（ ）A. B. C. D.解析：由余弦定理得cosA=，sinA=.答案：A3.边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）A.90 B.120 C.135 D.150解析：设边长为7的边对应的角为B，则cosB=，B=60A+C=120.答案：B4.在ABC中, sinAsinBsinC=234，则cosABC=_.解析：由正弦定理及已知得abc=234，故可设 a=2m(m0)，则b=3 m，c=4 m，由余弦定理得cosABC=.答案：5.在ABC中,A+C=2B，b2=ac，那么ABC的形状是_.解析：由A+C=2B得B=60,又由余弦定理得 b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac.又b2=ac,ac=a2+c2-ac,(a-c)2=0,a=c,a=b=c,故ABC是正三角形.答案：正三角形6.在ABC中，C=60，a、b、c分别是A、B、C的对边长，则=_.解析：由余弦定理得cosC=,a2+b2-c2=ab.而=1.答案：17.在ABC中，2sinA=,试判断ABC的形状.解：由已知得cosB+cosC=，由正、余弦定理得，即a2(b+c)+bc(b+c)-(b+c)(b2-bc+c2)=2bc.(b+c),a2=b2+c2,ABC是直角三角形.8.(2006高考上海卷，18)如右图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援？（角度精确到1）解：连接BC,由余弦定理得BC2=202+102-22010cos120=700.于是,BC=.,sinACB=.ACB90,ACB=41.乙船应朝北偏东71方向沿直线前往B处救援.9.(2006高考天津卷，理17)如右图，在ABC中，AC=2，BC=1,cosC=.（1）求AB的值；（2）求sin(2A+C)的值.解：（1）由余弦定理，AB2=AC2+BC2-2ACBCcosC=4+1-221=2.那么AB=.（2）由cosC=，且0C得sinC=.由正弦定理，,解得sinA=,所以，cosA=.由倍角公式sin2A=2sinAcosA=，且cos2A=1-2sin2A=，故sin(2A+C)=sin2AcosC+cos2AsinC=.10.(2006高考全国卷，文17)在ABC中