课标通用高考数学一轮复习第九章解析几何9.9直线与圆锥曲线学案理.docx

9.9直线与圆锥曲线考纲展示1.掌握解决直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系的思想方法2了解圆锥曲线的简单应用3理解数形结合的思想考点1直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程AxByC0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程即消去y，得ax2bxc0.(1)当a0时，设一元二次方程ax2bxc0的判别式为，则0直线与圆锥曲线C_；0直线与圆锥曲线C_；0.将线段AB的中点M代入直线方程ymx解得b.由得m.故实数m的取值范围为.(2)令t，则|AB|，且O到直线AB的距离为d .设AOB的面积为S(t)，所以S(t)|AB|d ，当且仅当t2时等号成立故AOB面积的最大值为.点石成金处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1x2，y1y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.方法技巧求解与弦有关问题的两种方法(1)方程组法：联立直线方程和圆锥曲线方程，消元(x或y)成为二次方程之后，结合韦达定理，建立等式关系或不等式关系(2)点差法：在求解圆锥曲线且题目中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式是否为正数易错防范判断直线与圆锥曲线位置关系时的注意点(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线也相交于一点(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外，易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点 真题演练集训 12013新课标全国卷已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A. 1 B. 1C. 1 D. 1答案：D解析：直线AB的斜率k，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，得.即k，.又a2b2c29，由得a218，b29.椭圆E的方程为1，故选D.22014新课标全国卷设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A. B. C. D.答案：D解析：易知抛物线中p，焦点F，直线AB的斜率k，故直线AB的方程为y，代入抛物线方程y23x，整理得x2x0.设A(x1，y1) ，B(x2，y2)，则x1x2.由抛物线的定义可得弦长|AB|x1x2p12，结合图象可得O到直线AB的距离dsin 30，所以OAB的面积S|AB|d.32016江苏卷如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：xy20，抛物线C：y22px(p0)(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求证：线段PQ的中点坐标为(2p，p)；求p的取值范围(1)解：抛物线C：y22px(p0)的焦点为，由点在直线l：xy20上，得020，即p4.所以抛物线C的方程为y28x.(2)解：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0)因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，于是直线PQ的斜率为1，则可设其方程为yxb.证明：由消去x得y22py2pb0.(*)因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以y1y2，从而(2p)24(2pb)0，化简得p2b0.方程(*)的两根为y1,2p，从而y0p.因为M(x0，y0)在直线l上，所以x02p.因此，线段PQ的中点坐标为(2p，p)解：因为M(2p，p)在直线yxb上，所以p(2p)b，即b22p.由知p2b0，于是p2(22p)0，所以p0)由x22y，可得yx，所以直线l的斜率为m.因此直线l的方程为ym(xm)，即ymx.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)联立方程得(4m21)x24m3xm410.由0，得0m(或0m22), (*)且x1x2，因此x0， 将其代入ymx，得y0，因为，所以直线OD的方程为yx.联立方程得点M的纵坐标yM，所以点M在定直线y上解：由知直线l的方程为ymx.令x0，得y，所以G.又P，F，D，所以S1|GF|m，S2|PM|mx0|.所以.设t2m21.则2，当，即t2时，取得最大值，此时m，满足(*)式，所以点P的坐标为，因此的最大值为，此时点P的坐标为. 课外拓展阅读 忽视讨论二次项系数致误典例已知点A(0,2)和双曲线x21，过点A与双曲线只有一个公共点的直线的条数为()A1 B2C3 D4解析设过点A(0,2)的直线为ykx2.由得(4k2)x24kx80.当k24，即k2时，方程只有一解，即只有一个交点当k24时，方程有一解时(4k)24(4k2)(8)0，k28，k2k，k为切线的斜率综上，共有4条直线故选