课标通用高考数学一轮复习第七章不等式7.3基本均值不等式及应用学案理.docx

7.3基本(均值)不等式及应用考纲展示1.了解基本(均值)不等式的证明过程2会用基本(均值)不等式解决简单的最大(小)值问题考点1利用基本(均值)不等式求最值1.基本(均值)不等式(1)基本(均值)不等式成立的条件：_.(2)等号成立的条件：当且仅当_时等号成立答案：(1)a0，b0(2)ab2几个重要的不等式(1)a2b2_(a，bR)(2)_(a，b同号)(3)ab2(a，bR)(4)2(a，bR)答案：(1)2ab(2)23算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本(均值)不等式可叙述为：_.答案：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本(均值)不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当_时，xy有最_值是2.(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当_时，xy有最_值是.(简记：和定积最大) 答案：(1)xy小(2)xy大1.基本不等式的两个易错点：忽视不等式成立的条件；忽视等号成立的条件(1)函数yx在区间(0，)上的最小值是_，在区间(，0)上的最大值是_答案：22解析：当x0时，yx22，当且仅当x，即x1时取等号，故y的最小值为2.当x0，yx22，当且仅当x，即x1时取等号，故y的最大值为2.(2)函数ysin x，x的最小值为_答案：5解析：ysin x24，当sin x时，sin x2，显然取不到等号事实上，设tsin x，x，则t(0,1，易知yt在(0,1上为减函数，故当t1时，y取得最小值5.2应用基本不等式的技巧：凑；拆(1)已知0x1，则x的最小值为_答案：5解析：xx11415，当且仅当x1，即x3时，等号成立.利用基本不等式确定最值的两种常见类型：代换变形；变量是负数(1)已知a0，b0，ab2，则y的最小值是_答案：解析：ab2，1，2.故y的最小值为.(2)已知0x1，则ylg x的最大值是_答案：4解析：0x1，lg x0，ylg x24，当且仅当lg x，即x时，等号成立，故ymax4. 考情聚焦利用基本(均值)不等式求最值，一般是已知两个非负数的和为定值求其乘积的最大值，或已知两个非负数的乘积为定积求其和的最小值，是每年高考的重点内容主要有以下几个命题角度：角度一通过配凑法利用基本(均值)不等式求最值典题1(1)已知0x1，则x(33x)取得最大值时x的值为()A. B. C. D.答案B解析因为0x0恒成立，得k13x.3x2，k12，即kf(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立a0) ，若f(x)在(1，)上的最小值为4，则实数p()A2 B. C4 D.答案：B解析：由题意，得x10，f(x)x1121，当且仅当x1时等号成立因为f(x)在(1，)上的最小值为4，所以214, 解得p. 考点3基本(均值)不等式的实际应用(1)教材习题改编现有一段长为18 m的铁丝，要把它围成一个底面一边长为另一边长2倍的长方体形状的框架，当长方体体积最大时，底面的较短边长是()A1 m B1.5 mC0.75 m D0.5 m答案：A(2)教材习题改编将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为_m.答案：42解析：设两直角边分别为a m，b m，框架的周长为l，则ab2，即ab4， lab242，当且仅当ab2时取等号，故选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为(42)m.(3)教材习题改编建造一个容积为8立方米，深为2米的长方体无盖水池，若池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，则这个水池的最低造价为_元答案：1 760解析：池底一边长为x米，则另一底边为米，则总造价y41204801 760，当且仅当x2时取得最小值典题5某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F.(1)如果不限定车型，l6.05，则最大车流量为_辆/时；(2)如果限定车型，l5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加_辆/时答案(1)1 900(2)100解析(1)当l6.05时，F，F1 900，当且仅当v，即v11时等号成立最大车流量F为1 900辆/时(2)当l5时，F，F2 000，当且仅当v，即v10时等号成立最大车流量比(1)中的最大车流量增加2 0001 900100(辆/时)点石成金解实际应用题的三个注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A60件 B80件C100件 D120件答案：B解析：若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是元，仓储费用是元，总的费用是220，当且仅当，即x80时等号成立.方法技巧1.基本(均值)不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本(均值)不等式的切入点2对使用基本(均值)不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数yx(m0)的单调性易错防范1.使用基本(均值)不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可2连续使用基本(均值)不等式求最值要求每次等号成立的条件一致 真题演练集训 12016江苏卷在锐角三角形ABC中，若sin A2sin Bsin C，则tan Atan Btan C的最小值是_答案：8解析：由sin Asin(BC)2sin Bsin C，得sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bsin C，两边同时除以cos Bcos C，得tan Btan C2tan Btan C，令tan Btan C2tan Btan Cm，因为ABC是锐角三角形，所以2tan Btan C2，则tan Btan C1，m2.又在三角形中有tan Atan Btan Ctan(BC)tan Btan Cmm24248，当且仅当m2，即m4时等号成立，故tan Atan Btan C的最小值为8.22014福建卷要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_(单位：元)答案：160解析：设该容器的总造价为y元，长方体的底面矩形的长为x m，因为无盖长方体的容积为4 m3，高为1 m，所以长方体的底面矩形的宽为 m，依题意，得y20410802080202160，当且仅当x，即x2时等号成立，所以该容器的最低总造价为160元32013天津卷设ab2，b0，则当a_时，取得最小值答案：2解析：ab2，2 1.当且仅当且a(n1)思路分析(1)根据等差数列和等比数列的性质易求；(2)中数列bn满足bn，这是一个等差数列的前n项和与一个关于n的一次函数之比，数列bn极可能也是一个等差数列，求出其和后，根据不等式的有关知识解决(1)解因为a1，a2，a7成等比数列，所以aa1a7，即(a1d)2a1(a16d)又a11，d0，所以d4.所以Snna1dn2n(n1)2n2n.(2)证明因为bn2n，所以bn是首项为2，公差为2的等差数列所以Tnn2n.所以2Tn9bn1182n22n18(n1)182n216n362(n28n16)42(n4)244，当且仅当n4时等号成立4，当且仅当n，即n3时等号成立又中等号不可能同时取到，所以2Tn9bn118(n1)温馨提示本题在求解时注意，两次放缩取等号的条件不一致，最后结果不能取等号2与函数、导数共现在函数的解答题中出现的基本(均值)不等式一般都与导数有密切的联系，在多数情况下问题的求解需要构造新的函数，通过合理转化，巧妙放缩去完成求解这类问题一般难度较大，在高考中常以压轴题的形式出现，需要较强的综合能力典例2已知h(x)ln(x1).(1)当a0时，若对任意的x0，恒有h(x)0，求实数a的取值范围；(2)设xN且x2，试证明：ln x.(1)解h(x)ln(x1)，则h(x)的定义域为(1，)，h(x).当01时，h(x)在x(0，a1上单调递减，h(x)在xa1，)上单调递增若对任意的x0