高中数学第三章3.1.3两个向量的数量积课堂探究学案新人教选修.docx_第1页
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3.1.3 两个向量的数量积课堂探究探究一 求向量的数量积求两个向量m，n的数量积一般分为两个层次：一是结合图形确定向量m，n的模及m，n的大小，直接利用空间向量数量积的定义来求，此种情况下要注意向量夹角的正确性；二是选定一组基向量表示向量m，n，从而把m，n的数量积通过运算转化为基向量之间的数量积来求【典型例题1】 已知长方体ABCD ABCD，ABAA2，AD4，E为侧面AB的中心，F为AD的中点，计算下列数量积：(1)；(2)；(3).解：如图，设a，b，c，则由题意，得|a|c|2，|b|4，|2，45，abbcca0，(1)|cos，224；(2)b|b|216；(3)|a|2|b|22.探究二 求夹角和距离1求两点间的距离或某线段的长度，就是把此线段用向量表示，然后用|a|2aa，即|a|通过向量运算求|a|.2对于空间向量a，b，有cosa，b.利用这一结论，我们可以较方便地求解异面直线所成角的问题，由于向量的夹角的取值范围为0，而异面直线所成的角的范围是，故a，b时它们相等，而当a，b时，它们互补【典型例题2】 如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点M，N分别是边AB，CD的中点(1)求MN的长；(2)求异面直线AN与CM所成角的余弦值思路分析：(1)求线段长，要利用向量的平方求解，关键是找到表示2的基向量，只要模与夹角均可知，则问题可求解；(2)求夹角问题是向量数量积的逆用解：设p，q，r.由题意|p|q|r|a，且p，q，r三向量两两夹角均为60.(1)()(qrp)，|22(qrp)2q2r2p22(qrqprp)2a2.|a，MN的长为a.(2)设向量与的夹角为，()(qr)，Aqp，(qr)a2.又|a，|cos，aacos ，cos ，向量与夹角的余弦值为，从而异面直线AN与CM夹角的余弦值也为.探究三 数量积性质的应用1对于空间两个非零向量a，b，由夹角公式得abab0.利用这一关系，可以很好地处理立体几何中的垂直问题2证明两直线垂直，可以转化为证明两向量垂直，即证两向量数量积为零【典型例题3】 已知空间四边形OABC中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA，OB的中点，若ABOC，求证：PMQN.思路分析：解答本题即要证PMQN，只要证明0，需将，用其他向量表示后再进行计算即可证明：如图，设a，b，c，又P，M分别为OA，BC的中点，(bc)a(ba)c同理，(ac)b(ba)c(ba)c(|ba|2|c|2)又ABOC，即|ba|c|，0，即PMQN.探究四 易错辨析易错点将向量的夹角与直线夹角混淆【典型例题4】 如图，空间四边形ABCD中，每条边的长度和两条对角线的长度都等于1，M，N分别是AB，AD的中点，计算.错解：|cos，co
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