高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质第四节直角三角形的射影定理课后导练.docx

第五节 直角三角形的射影定理课后导练基础达标1.已知CD是RtABC斜边AB上的高,则下列等式不成立的是( )A.CD2=ADBD B.BC2=BDABC.AC2=ADAB D.ADAC=BDBC解析：根据射影定理,A、B、C均正确,只有D无根据.答案:D2.如图1-5-8,在ABC中,ACB=90,CDAB,垂足为D,AC=12,BC=5,则CD的长为( )图1-5-8A. B. C. D. 解析：AB=.ADAB=AC2,BDAB=BC2,AD=,BD=.又CD2=ADBD,CD=.答案:A3.如图1-5-9,已知AB为O直径,弦CDAB,E为垂足,EFBD,F为垂足,若BF=9,DF=3,则AE的长为( )图1-5-9A. B. C. D.解析：连结AD.CDAB,EFBD,在RtBDE中,由射影定理BE2=BFBD=BF(BF+DF)=9(9+3)=108.BE=6.AB为直径,ADB=90.由射影定理得BEAB=BD2.BE(BE+AE)=BD2.6(6+AE)=122.AE=2.答案:B4.如图1-5-10,在RtABC中,C=90,CD为AB边上的高,AD=8,DB=2,则CD的长为( )A.4 B.16 C. D.图1-5-10解析：ACB=90,CDAB,CD2=ADBD=82=16.CD=4.答案:A5.在ABC中,BAC=90,ADBC于D,下列关系中错误的是( )A.= B.BDCD=AD2+BD2C.= D.=图1-5-11解析：AB2=BDBC,AC2=CDBC,=,A正确.AD2=BDCD,BDCDAD2+BD2,B错误.,C正确.ABDCAD,=()2=,D正确.答案:B综合运用6.在ABC中,ABC=123,CDAB于D,若BC=1,求AB、AC、AD、CD、BD的长.图1-5-12解析：设A=x,则B=2x,C=3x,x+2x+3x=180,x=30.A=30,B=60,C=90.如图1-5-12,RtABC中,A=30,AB=2BC=2,AC=.AC2=ADAB,AD=.BC2=BDAB,BD=,CD=.7.如图1-5-13,梯形ABCD中,ADBC,ADCD,AD、BC与O切于D、C点,AB与O切于E点,求证:OD2=ADBC.图1-5-13证明:连结OA、OB.ODAD,OEAE,在RtOAE、RtOAD中,OAEOAD.AD=AE,1=2.同理,BC=BE,3=4.2+3=1+4=90.在RtAOB中,OEAB,OE2=AEBE.OD2=ADBC.8.如图1-5-14,已知ABC中,ACB=90,CDAB于D,DEBC于E.图1-5-14求证:=.证明:ACB=90,CDAB,BC2=BDAB,AC2=ADAB.=.又DEBC,ACBC,DEAC.=.=.9.如图1-5-15,已知CE是RtABC斜边AB上的高,P是EC延长线上的一点,连结AP,BGAP于G,BG交CE于D.求证:CE2=EDEP.图1-5-15证明:BGAP,P+2=90.PEAB,P+3=90.2=3.又1=2,1=3,BED=PEA=90.BEDPEA.BEAE=EDEP.由射影定理CE2=AEBE,CE2=EDEP.拓展探究10.求证:(1)若射影定理成立,则勾股定理成立;(2)若勾股定理成立,则射影定理成立.图1-5-16证明:如图,RtABC中,CD为斜边上的高.(1)由射影定理AC2=ADAB,BC2=BDAB,AC2+BC2=ADAB+BDAB=(AD+BD)AB=AB2,即勾股定理成立.(2)AB=AD+BD,AB2=(AD+BD)2=AD2+BD2+2ADBD.AB2-AD2-BD2=2ADBD.AC2+BC2-AD2-BD2=2ADBD.(AC2-AD2)+(BC2-BD2)=2ADBD.CD2+CD2=2ADBD.CD2=ADBD.AC2=CD2+AD2=ADBD+AD2=AD(BD+AD)=ADAB,同理,BC2=BDAB.由说明若勾股定理成立,则射影定理成立.备选习题11.ABC中,C=90,CD是斜边上的高,已知CD=60,AD=25,则BC=_.图1-5-17解析：由射影定理CD2=ADBD,602=25BD,BD=144.又BC2=BDAB=144(144+25),BC=156.答案:15612.如图1-5-18,已知ABC中,顶点C在AB上的射影为D且AC2=ADAB,则ABC是三角形.图1-5-18解析：点C在AB上的射影为D,CDAB.ADC=90.又AC2=ADAB,.又A为公共角,ACDABC.ACB=ADC=90.答案:直角13.如图1-5-19,已知CF是ABC的边AB上的高,FPBC,FQAC,求证:CQP=B.图1-5-19证明:CF是ABC的边AB上的高,CFAB.在RtACF中,FQAC,CF2=CQCA.在RtBCF中,FPBC,CF2=CPCB.CQCA=CPCB.,PCQ=ACB.PCQACB.CQP=B.14.如图1-5-20,已知ABC中,ACB=90,CDAB于D,以BD为直径的O交BC于E,求证:=.图1-5-20证明:连结DE,BD是O的直径,DEB=90.ACB=90,DEAC.=.由射影定理BC2=BDAB,AC2=ADAB,=.=.15.如图1-5-21,已知ABC中,BD、CE是高,EHBC于H,交BD于G,