高中数学第三章3.2.2平面的法向量与平面的向量表示课后导练新人教选修.docx

3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示课后导练基础达标1.点A（a,0,0）,B(0,b,0),C(0,0,c),则面ABC的一个法向量为（ ）A.（bc,ac,ab） B.(ac,ab,bc)C.(bc,ab,ac) D.(ab,ac,bc)答案：A2.若ABC所在平面为,P, 且APB=BPC=CPA=90,则点P在平面内的射影是ABC的（ ）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心答案：D3.已知：a,b是直线，是平面，则下列命题中正确的是（ ）A.a,abb B.ab,abC.ab,ba D.a,abb答案：D4.A平面,AB、AC是平面的两条斜线，O是A在平面内的射影，AO=4，OC=，BOOC,OBA=30.求C到AB的距离（ ）A. B.4 C. D.答案：A5.如右图，直三棱柱ABCABC中，AC=BC=AA,ACB=90,D,E分别为AB，BB的中点.(1)求证：CEAD;(2)求异面直线CE与AC所成角的余弦值.答案：(1)证明:设=a,=b,CC=c,根据题意,|a|=|b|=|c|且ab=bc=ca=0,=b+c,=-c+b-a.=-c2+b2=0.CEAD.(2)解:=-a+c,|=|a|,|=|a|.=(-a+c)(b+c)=c2=|a2|,cos,=.6.已知P是正方形ABCD平面外一点，M、N分别是PA、BD上的点，且PMMA=BNND=58.求证：直线MN平面PBC.证明：=+=-+=-+=-(-)+(+)=-+=-=().在BC上取点E，使BE=BC,于是=(-)=.MNPE.MN平面PBC.7.如右图，已知空间四边形OABC中，M为BC中点，N为AC中点，P为OA中点，Q为OB中点，若AB=OC，求证PMQN.证明：=(+),=(+),=+=(+)=(-+)=(+)，=+=(+)=(-+)=(+)=(-).=(+)(-)=(2-2)=(|2-|2).由|=|，=0,即.即.8.如右图，已知正方体ABCDA1B1C1D1中，CD1和DC1相交于点O，连结AO.求证：AOCD1.证明:=+=+=+(+)=+=+,=+=-+,=（+）（-+）=-+=0，即AOCD1.9.如右图，已知正三棱柱ABCA1B1C1侧面的三条对角线AB1、BC1、CA1中，如果AB1BC1，求证：AB1CA1.证明：取AB、A1B1的中点D、D1，连A1D、BD1,A1B1C1ABC为正三棱柱综合运用10.如右图，直三棱柱ABCA1B1C1，底面是等腰直角三角形，ACB=90,AC=1,AA1=,D为AB的中点.(1)求证：CD平面ABB1A1；（2）过CD作A1B的垂面；（注：写出作图过程，并说明理由）.答案：(1)证明：CDAA1,又CDAB,AA1AB=A,CD平面ABB1A. (2)解:如下图,作DEA1B于E;连接CE,则CEA1B(三垂线定理).A1B平面CDE,则平面CDE即为所求作的平面.11.如右图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别在BB1、DD1上，且AEA1B，AFA1D.求证：A1C平面AEF.证明:CB平面A1B,A1C在平面A1B上的射影为A1B,又A1BAE,AE平面A1B.A1CAE.同理A1CAF,A1C平面AEF.12.在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC=90,BC=2,CC1=4,EB1=1,D、F、G分别为CC1、B1C1、A1C1的中点，EF与B1D相交于H.求证：B1D平面ABD.证明:由直三棱柱的性质,得平面ABC平面BB1C1C,又由已知,ABBC.AB平面BB1C1C.又B1D平面BB1C1C,ABB1D.由已知,BC=CD=DC1=B1C1.在RtBCD与RtDC1B1中可求得BDC=B1DC1=45.则BDB1=90,即B1DBD.又ABBD=B,B1D平面ABD.13.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，P、Q分别是BC、CD上的动点，且|PQ|=2，建立如下图所示的坐标系;确定P、Q的位置，使得B1QD1P.解:如下图,设BP=t,则CQ=,DQ=2-,B1(2,0,2),D1(0,2,2),P(2,t,0),Q(,2,0).=(,-2,2),=(-2,2-t,2),B1QD1P等价于=0，即-2(2-t)+22=0,即=t，解得t=1.此时，P、Q分别是棱BC、CD的中点，即当P、Q分别是棱BC、CD的中点时，B1QD1P.14.如下图，正三棱柱ABCA1B1C1中，AB1BC1，求证：AB1CA1.证明:如下图,将BC1平移,使其与A1C在一个平面内,所以延长B1C1至D,使C1D=B1C1,于是BC1DC为平行四边形,只需证明AB1平面A1CD即可,为此,连A1D.A1C1=B1C1=C1D,A1B1A1D,又AA1A1D,A1D面ABB1A1.因此AB1A1D,又AB1DC,可得AB1平面A1DC,AB1CA1.拓展研究15.如下图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为,侧棱长为,E、F分别是AB1、CB1的中点，求证：平面D1EF平面AB1C.证明：把正四棱柱如下图放置在坐标系中，则各点坐标为A(,0,0),C(0, ,0),B1(,),D1(0,0,),E(,),F(,).设平面AB1C的法向量为n1=(1,1,1),则n1应垂直和.而=(-2,2,0),=(0,2,3),n1=-+1=0及n1=1+1=0.1=1,1=.n1=(1,1,)