高中数学第二章.3.2平面向量的正交分解2.3.3坐标表示平面向量的坐标运算同步优化训练.docx

2.3.2 平面向量的正交分解2.3.3 坐标表示、平面向量的坐标运算5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.若向量a=(3，2)，b=(0，-1)，则向量2b-a的坐标是( )A.(3，-4) B.(-3，4) C.(3，4) D.(-3，-4)解析：2b-a=2(0，-1)-(3，2)=(0，-2)-(3，2)=(-3，-4).答案：D2.已知作用在A点的三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1)且A(1,1)，则合力F=F1+F2+F3的终点坐标为_.解析：F=(3,4)+(2,-5)+(3,1)=(8,0).设终点为D(x,y)，则：F=，即(8,0)=(x-1,y-1)，所以所以终点为(9,1).答案：(9,1)3.已知x轴的正方向与a的方向的夹角为60，且a=4，则a的坐标为_.解析：设a=(x,y),x=acos60=4=2,y=asin60=4.答案：(2,)4.已知平行四边形ABCD的一个顶点坐标为A(-2，1)，一组对边AB、CD的中点分别为M(3，0)，N(-1，-2)，求平行四边形的各个顶点坐标.解：设其余三个顶点的坐标为B(x1，y1)，C(x2，y2)，D(x3，y3).因为M是AB的中点，所以3=，0=.解得x1=8，y1=-1.设MN的中点O(x0，y0)，则x0=1，y0=-1，而O既是AC的中点，又是BD的中点，所以x0=，y0=，即1=，-1=.解得x2=4，y2=-3.同理，x3=-6，y3=-1.所以B(8，-1)，C(4，-3)，D(-6，-1).10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c等于(-1,2),则c等于( )A.a+b B.a-bC.ab D.a+b解析：根据平面内任一向量可用该平面内一组基底唯一线性表示的结论，再结合待定系数法可求.答案：B2.已知ABCD中，=(3，7)，=(-2，3)，对角线AC、BD交于点O，则的坐标为( )A.(，5) B.(，5) C.(，-5) D.(，-5)解析：如图所示，=(-2，3)+(3，7)=(1，10).=(，5).=(，-5).答案：C3.已知点A(，1)，B(0，0)，C(，0).设BAC的平分线AE与BC相交于点E，那么有=,其中等于( )A.2 B. C.-3 D.-解析：AE为BAC的平分线，=2.=.答案：C4.若将向量a=(，1)按逆时针方向旋转得到向量b，则b的坐标为_.解析：由三角函数的定义，可知a与x轴正向的夹角为，按逆时针方向旋转到OP的位置，易知OP=2，xOP=120.根据三角函数的定义，OA=2cos120=-1，AP=2sin120=，所以b=(-1,).答案：(-1,)5.已知边长为单位长的正方形ABCD，若A点与坐标原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴的正向上，则向量的坐标为_.解析：根据题意建立坐标系如图,则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1).=(1，0)，=(0，1)，=(1，1).=(2，0)+(0，3)+(1，1)=(3，4).答案：(3，4)6.已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及.求：(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限?(2)四边形OABP能否构成平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.解：(1)=(1+3t，2+3t)，若P在x轴上，只需2+3t=0，所以t=；若P在y轴上，只需1+3t=0，所以t=-；若P在第二象限，只需t-.(2)因为=(1，2)，=(3-3t，3-3t)，若OABP为平行四边形，则.由于无解，故四边形OABP不能构成平行四边形.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.在ABC中，已知A(2，3)、B(8，-4)，G(2，-1)是中线AD上的一点，且=2，则点C的坐标为( )A.(-4，2) B.(-4，-2) C.(4，-2) D.(4，2)解析：设C点坐标为(x，y)，由于G是ABC的重心，则2=，x=-4；-1=，y=-2.答案：B2.已知A(-2，4)、B(3，-1)、C(-3，-4)，且，试求点M、N和的坐标.解：A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4)，=(-2+3，4+4)=(1，8)，=(3+3，-1+4)=(6，3).于是=3(1，8)=(3，24)，=2(6，3)=(12，6).设M(x，y)，则有=(x+3，y+4)，解之，得即M点的坐标为(0，20).同理,可求得N(9，2).因此=(9-0，2-20)=(9，-18).故所求的点M、N的坐标分别为(0，20)，(9，2)，的坐标为(9，-18).3.如图2-3-8所示，已知ABC中，A(7，8)、B(3，5)、C(4，3)，M、N是AB、AC的中点，D是BC的中点，NM与AD交于F，求.图2-3-8解：A(7，8)、B(3，5)、C(4，3)，=(3-7，5-8)=(-4，-3)，=(4-7，3-8)=(-3，-5).又D是的中点，=()=(，-4).又M、N分别为AB、AC的中点，F为AD的中点.=(，2).4.用坐标法证明=0.证明：设A(a1,a2),B(b2,b2),C(c1,c2),则=(b1-a1,b2-a2)，=(c1-b1,c2-b2)，=(a1-c1,a2-c2).=(b1-a1,b2-a2)+(c1-b1,c2-b2)+(a1-c1,a2-c2)=(0，0)=0.=0.5.已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若(R)，试求为何值时，点P在第一、三象限的角平分线上？点P在第三象限内？解：设点P的坐标为(x，y)，则=(x，y)-(2，3)=(x-2，y-3)，+=(5，4)-(2，3)+(7，10)-(2，3)=(3，1)+(5，7)=(3，1)+(5，7)=(3+5，1+7).，(x-2，y-3)=(3+5，1+7).P点的坐标为(5+5，4+7).(1)若点P在第一、三象限的角平分线上，则5+5=4+7，=.(2)若点P在第三象限内，则-1，即只要-1时，点P便在第三象限内.6.已知向量u=(x，y)与向量v=(y，2y-x)的对应关系可用v=f(u)表示.(1)证明对于任意向量a、b及常数m、n，恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立；(2)设a=(1，1)，b=(1，0)，求向量f(a)及f(b)的坐标；(3)求使f(c)=(3，5)成立的向量c.答案：(1)证明：设向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2),则f(mx1+nx2，my1+ny2)=(my1+ny2，2my1+2ny2-mx1-nx2)，又mf(a)=(my1，2my1-mx1)，nf(b)=(ny2，2ny2-nx2)，所以mf(a)+nf(b)=(my1+ny2，2my1+2ny2-mx1-nx2).所以f(ma+nb)=mf(a)+nf(b).(2)解：f(a)=(1，1)，f(b)=(0，-1).(3)解：由得所以c=(1，3).7.如图2-3-9所示，已知平面上三点A、B、C的坐标分别为(-2，1)、(-1，3)、(3，4)，求点D的坐标，使得这四点能构成平行四边形的四个顶点.图2-3-9解：(1)当平行四边形为ABCD时，因为，所以(4，1)=(x+2，y-1).所以x=2，y=2，即D(2，2).(2)当平行四边形为ACDB时，因为，所以(-1，-2)=(3-x，4-y).所以x=4，y=6，即D(4，6).(3)当平行四边形为DACB时，因为，所以(-2-x，1-y)=(4，1).所以x=-6，y=0，即D(-6，0).8.如图2-3-10，已知O是ABC内一点，AOB=150，BOC=90.设=a，=b，=c，且a=2，b=1，c=3，试用a和b表示c.图2-3-10解：以O为坐标原点，OA所在直线