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论文（定稿）范文 湖南科技大学毕业设计（论文）题目一些半群上的特殊同余作者唐金波学院数学与计算科学学院专业数学与应用数学学号0707010115指导教师二一一年五月二十五日湖南科技大学毕业设计（论文）任务书数学与计算科学院数学与应用数学系（教研室）系（教研室）主任:（签名）年月日学生姓名:唐金波学号:0707010115专业:数学与应用数学1设计（论文）题目及专题一些半群上的特殊同余2学生设计（论文）时间自xx年3月15日开始至xx年5月20日止3设计（论文）所用资源和参考资料1Howie.J.M,Fundamentals ofsemigroup theory,London:Oxford UniversityPress,1995:1-50.2Gracinda M.S.A Characterizationof theGroup Congruences.New York semigroup form (1993).3李世群,马千里.离散数学M.天津:天津大学出版社,xx.4杨子胥.近世代数（第二版）M.北京:高等教育出版社,xx.5Clifford,A.and G.perston.Algebraic Theoryof Semigroup,Amer.math.Soc,Provideence (1967).6Barbara Weipoltshammer,Certain Congruences on E-inversive E-semigroups New York semigroup form (xx).4设计（论文）应完成的主要内容讨论一些半群上的特殊同余以及商半群的一些性质，得出这些半群上特殊同余结构的相应结果。 同时，证明半群上同余与半群上同态之间的联系和讨论群的不变子群与半群上同余的密切联系。 特别地，通过半群S中的子半群T定义S上的一个二元关系T?，证明如果T是全的、稠密的、酉的不变子半群，则T?是S上的群同余。 并且将文2中的结论4，T为自反的改成T为不变子半群的条件。 最后讨论T是S的不变子半群与T是自反之间的关系。 5提交设计（论文）形式（设计说明与图纸或论文等）及要求提交一份纸制文档及电子文档（含源程序、可执行代码），要求格式规范、叙述清楚、简洁，不少于8000字或20个版面左右。 6发题时间xx年1月4日指导教师（签名）学生（签名）湖南科技大学毕业设计（论文）指导人评语主要对学生毕业设计（论文）的工作态度，研究内容与方法，工作量，文献应用，创新性，实用性，科学性，文本（图纸）规范程度，存在的不足等进行综合评价指导人（签名）年月日指导人评定成绩湖南科技大学毕业设计（论文）评阅人评语主要对学生毕业设计（论文）的文本格式、图纸规范程度，工作量，研究内容与方法，实用性与科学性，结论和存在的不足等进行综合评价评阅人（签名）年月日评阅人评定成绩湖南科技大学毕业设计（论文）答辩记录日期学生学号班级题目提交毕业设计（论文）答辩委员会下列材料1设计（论文）说明书共页2设计（论文）图纸共页3指导人、评阅人评语共页毕业设计（论文）答辩委员会评语主要对学生毕业设计（论文）的研究思路，设计（论文）质量，文本图纸规范程度和对设计（论文）的介绍，回答问题情况等进行综合评价答辩委员会主任（签名）委员（签名）（签名）（签名）（签名）答辩成绩总评成绩-i-摘要本文讨论了一些半群上的特殊同余以及商半群的一些性质，得出了这些半群上特殊同余结构的相应结果，对某些半群的刻画起了一定的作用。 同时，证明了半群上同余与半群上同态之间的联系，由此讨论了群的不变子群与半群上同余的密切联系。 特别地，通过半群S中的子半群T定义S上的一个二元关系,a b?S?(,)a bT?(,)h lT?habl?，证明了如果T是全的、稠密的、酉的不变子半群，则T?是S上的群同余且有kerTT?.进一步得出了S是酉的、稠密的、E-半群，S上最小同余?,a b?S?(,)a b?(,()E Se f?eabf?.并且将文2中的结论4中的条件T为自反的子半群改成了T为不变子半群。 最后讨论了T是S的不变子半群与T是自反的子半群之间的关系。 半群代数经过六十多年的系统研究，得到了一些系统的研究成果，形成了一套独特的系统的研究思路和方法，已成为代数学中一个独具特色的学科分支。 它在很多领域都有广泛的应用，例如自动机理论，计算机理论，组合数学，代数表示论，算子代数等。 因此，数学家们对半群的研究越来越重视。 半群的研究方法很独特，一般从特殊元素出发研究半群的结构和特征。 半群的同余理论是半群基础理论的一个重要研究领域，几乎涉及半群代数理论研究的各个方面，研究成果也非常丰富。 通过半群的同余来研究半群的内部结构、在半群理论研究中占有十分重要的地位。 此外，半群的代数结构的确定在某种程度上又依赖于同余的刻画。 因此，关于半群同余的研究一直是半群代数理论研究中最重要，最活跃的课题之一。 1970年，John Meakin和A.H.Clifford在论文CongruencesonRegular Semigroups中对半群上的群同余进行了深刻的研究，得出了半群上群同余的非常重要的刻画。 1982年，D.R.Latorre和D.B.Mcalister对正则半群上同余的研究，取得了一些重要而又深刻的结果，对于半群结构的研究有十分重要的意义。 半群的代数理论不但是自然科学许多领域的理论基础，而且在应用科学中也有广泛应用。 因而半群的代数理论的研究吸引了众多的学者。 国外的学者如A.H.Clifford、Feigenbaum、M.PetriCh、JM.Howie等，国内的如郭幸琦、任学明、郭小江、田振际、何勇等在这方面都取得了诸多的研究成果。 湖南科技大学本科生毕业设计（论文）-2-第二章预备知识定义2.11设S是非空集合，若?是S的二元运算且满足结合律，则称(,)S?是一个半群， （1）设S是半群，如果存在元素1，对于任意xS?有11=xxx?，则称S是有单位元半群，也称为幺半群； （2）设S是半群，如果半群S中存在元素0，使得任意xS?有000xx?，则称S是零半群； （3）设S是半群，如果任意,x yS?有()xyx xyy?，则称S是左(右)0半群。 显然，在零半群中，易知S中的零元素唯一。 若半群S有单位元，则单位元唯一。 实际上，若1和1?均为单位元，则,1111xS xxxxx?有1111?.当S无单位元时，可以添加元素1，则1S?是有单位元的半群，记作1S；同样地，?00SS?是有零元的半群，规定0xS?，有000xx?.定义2.22设S是半群， （1）S中的元素a称为正则元，若存在,?xS使得aaxa?； （2）S中的元素a，若有aaaa?2，则称a为幂等元，用()E S表示S中所有幂等元作成的集合。 定义2.31称半群S是正则的，如果S中的每个元素都是正则元。 定义2.41设S是半群，则下面条件等价 （1）如果S是半群且,a bS axb yab?在S中有解； （2）如果S是半群且,aS aSS SaS?； （3）S为一个群。 定义2.51称半群S的非空子集I是一个子半群，如果，,x yIxyI?，也可表示为2II?.湖南科技大学本科生毕业设计（论文）-3-定义2.61称半群S的一个非空子半群I是左（右）理想，如果）（IIISSI?；若I既是S的左理想，又是S的右理想，则称I是S的理想。 定义2.71设X?，称XX?上的任一子集?为X上的一个（二元）关系，且将X上所有关系作成的集合记为()P X.关系的运算设,()P X?，称?(,)x y:()(,)X x z(,)z yXXz?为()P X上的二元运算。 定义2.81设?:(,)x yxXxyX?，定义:，?:AaaA?，?1(,)x y:(,)y xXX?.定义2.91?是X上的一个关系，称?是等价关系，如果满足 （1）自反性()(,)X x xx?或()X I?; （2）对称性(,)(,)X x y(,)y xx y?或1(?)?; （3）传递性(,x y z)(,)X x y,(,)y z(,)x z?.显然，如果?是X上的等价关系，则()?()?domranX?.如果?是X上的一个等价关系，设:y y xx?，且称x?是X的一个类，称之为等价类。 记?:/xxXX?，称为X的商集。 定义2.101设(,)S?是一个半群，R是S上的二元关系， （1）如果(,s ta),(,)s t(,)SRas atR?，那么称R为左相容； （2）如果(,s ta),(,)s t(,)SRsa taR?，那么称R为右相容； （3）若R既左相容又右相容，则称R相容； （4）如果R是左（右）相容的等价关系，称R为S上的左（右）同余； （5）若R为相容的等价关系，称R为S上的同余。 命题2.11半群S上的二元关系?是同余当且仅当?既左同余又右同余。 湖南科技大学本科生毕业设计（论文）-4-证明因为?是同余，设(,),s taS?则(,)a a?，于是(,),(,)as atsata?，因此?既左同余又右同余。 反之，设?既左同余又右同余，(,),(,)t ts s?，于是有(,),(,)st s ts ts t?，由传递性(,)st s t?，所以?是同余。 定义2.111设?是半群S到半群S?的映射，如果对任意,x yS?，有()()()x?xyy?，则称?是半群S到半群S?的同态映射；如果?还是满射，则称?为满同态映射，且称半群S与半群S?同态；如果?单射，则称?是单同态映射；如果?是双射，则称?为同构映射，记为SS?.定义2.121设(,)S?，(,)T?是半群，定义运算(,)(,)s t?(,)s t?s s t t?(,s s,)S ttT?则S T?在?下作成半群，称为S与T的直积。 定义2.131设S是半群，,A BS?，?:,ABab aAbB?.显然，()()AB CABC?，()A BCABAC?，()A BCABAC?.定义2.141如果I和?是任意非空集合，定义运算(,)(,)i?(,)i uju?(,?)i jIu?，我们称(,)I?是一个矩形带。 显然，容易验证(,)I?是一个半群，当=1?，(,)I?是一个左零半群，当=1I时，(,)I?是右零半群。 命题2.24设ST?是半群S到半群T的同态， （1）若H是S的子半群，则()H?是T的子半群； （2）S中任一个幂等元a的像是T中一个幂等元； （3）若T为半群S的右（左）理想，则()T?为()S?的右（左）理想； （4）若I为半群S的理想，则()I?为()S?的理想。 证明 （1）显然()H?中的元满足结合律，对于,()a b?H?，?是同态映射，湖南科技大学本科生毕业设计（论文）-5-于是令,(,)aa b?b a b?H?则有aba b?，由于H是子半群，从而abH?，故()a b?H?，即()H?是T的子半群。 （2）设a是S中的幂等元，于是有2aa?，?是同态映射，于是令,()aaaT?，则有22aa?，又2aa?，故有2aa?，即a?是T中一个幂等元。 （3）若T为S的右理想。 则有,(?)()TTSTTS?，又因为()()()T?TSS?，推出()()?()TTS?.所以()?T为S?（）的右理想。 左理想类似可证。 （4）若I为半群S的理想，则I既是半群S的左理想，又是半群S的右理想，由 （3）结论可知()I?为()S?的理想。 定义2.15设S是一个半群，如果H是S的非空子集，且满足(),aS aHHa?，则称H是S的不变子半群。 由命题2.2易知有下面命题推论2.3设S是一个半群，S?是一个有代数运算的集合，如果S与S?同态，则S?也是一个半群。 注该命题的意义在于，要验证一个集合S对所指的代数运算作成半群，可找一个已知的半群，并通过同态来实现。 引理2.4设?半群S到半群S?的同态满射，则在?之下S的不变子群的像是S?的一个不变子半群，S?的不变子群的逆像是S的一个不变子半群。 证明1）设H是S的不变子半群，则()H?是S?的子半群。 aS?，由于?是同态满射，令()aa a?S?，又aHHa?，于是()()aHHa?，从而()(?)()()?aHHa?即()()aHH a?，所以()H?是S?的不变子群。 2）若H?是S?的不变子半群，则可类似证明1()H?是S的不变子半群。 湖南科技大学本科生毕业设计（论文）-6-第三章同余与商半群3.1二元关系、等价关系和半群命题3.1.11设X一个非空集合，则(),)P X?是一个半群。 证明我们只需证明运算?满足结合律，对于,()P X?，因为，(,)x y(?)()(,)X x z(?),(,)z y()()(,)X xu,(,)u z,(,)z y()(,)X xu,(,)u y(,)x y(?)zzXuu?所以()(?)?，即证。 定义3.1.13 （1）设,X Y为非空集合，?是X Y?的一个子集且满足下列条件1）()?,()?domX ranY?；2）对任意()xdom?，都有1x?，则称?是X到Y的部分函数。 若()?domX，则称?是X到Y的全函数。 （2）若?为X上的一个二元关系且对()xdom?，有1x?，则称?是X上的部分函数，即12,x y yX?，若1212(,x y),(,)x yyy?.注()dom?，()ran?都可以是空集。 命题3.1.23X上所有部分函数的全体()B X组成半群(),)P X?的子半群。 证明设,()B X?，若12(,x y),(,)x y?则存在12,z zX?，使得111222(,x z),(,z y),(,),(,z y)xz?，由于,?是部分函数，于是1212,zz yy?，因此?是部分函数。 命题3.1.31若,()B X?，则 （1）1(?)()?()?domrandom?; （2）(?)()?()?ranrandom?;湖南科技大学本科生毕业设计（论文）-7- （3）(?),(x)()xdomx?.证明 （1）设()xdom?则存在,y zX?使得(,),(,)z yxz?，于是()?()?zrandom?且1(,)z x?，因此11()?()?xz?random?.反之，1()?()?xrandom?则存在()?()?zrandom?使得1xz?，即(,)xz?，因为()zdom?，存在yX?，使得(,)z y?，于是(,)x y?，从而()xdom?，所以1(?)()?()?domrandom?. （2）类似可以证明(?)()?()?ranrandom?. （3）设(,)()(,)X x y,(,)y zxzy?，又,?都是部分映射，于是有,(?)yx?zy?zx?，因此()()xx?.定义3.1.23设?是X到Y的部分函数， （1）若()?ranY，则称?为部分满射函数； （2）若()yran?都存在唯一的,xY xy?，则称?为部分单射函数；规定空关系是部分单射函数。 （3）若?既是部分单射函数，又是部分满射函数，则称?为部分双射函数。 注部分双射函数不一定是全函数。 例如?,x yz,ABa b?，?(,),(,)x ayb?.由定义中不难看出，如果?是X到Y的部分函数，则有 （1）?为部分满射函数?yY?，存在,xX xy?. （2）?为部分单射函数?12,()x xdom?，若12xx?有1?2?xx?.定理3.1.4设?是A到B的部分函数，?是B到C的部分函数，则 （1）若,?是部分满射（部分单射，部分双射）函数，则?也是部分满射（部分单射，部分双射）函数; （2）若?是部分满射函数，则?是部分满射函数，但?不一定是部分满射函数;湖南科技大学本科生毕业设计（论文）-8- （3）若?是部分单射函数，则在定义域()dom?内的?是部分单射函数，但?不一定是部分单射函数; （4）若?是部分双射函数，则在定义域()dom?内的?是部分单射函数，?是部分满射函数。 证明 （1）易知?是A到C的部分函数，对cC?，因为?是部分满射函数，故存在bB?使得bc?，又因为?是部分满射函数，故存在aA?使得ab?，于是有aA?使得()()aa?c?，所以?也是部分满射函数。 类似可证其它相应结论。 （2）对于zC?，因为?是部分满射函数，必存在xA?使得(?)()xx?z?，令xyB?使得yz?，所以?是部分满射函数。 但?不一定是部分满射函数。 例?,x yz,a b c C,ABd e?，?(,),(,),x b(,),(,)b dy e?，?(,),(,)x dy e?. （3）因为?是部分单射函数，则对于任意12,()x xdom?，若12xx?，则有1?2?()()xx?，于是12?xx?因此?在()dom?内是部分单射函数。 （4）因为若?是部分双射函数，由 （2）知?是部分满射函数，由 （3）知?是部分单射函数。 由此可知命题3.1.53设()T X是X上所有(全)函数的集合，则()T X是(),)P X?的子半群。 记号1X是任一非空集合，X上的所有变换记为()J X.显然，,?是变换，则?也是变换，故()J X对?作成一个半群。 命题3.1.61设S是半群且1XS?，则存在一个单同态:()SJ X?.证明对于每一个aS?，定义映射11:aSS?，axxa?1()xS?，因此()aJ X?.令:()SJ X?，aa?()aS?.湖南科技大学本科生毕业设计（论文）-9-1）1(,),()11?b?aba bSaxS xaxbabab,所以?是单射。 2）1(),(x)()()abababxSxxa bx?，因此()()()abab?,所以?是同态映射。 我们称以上表示为S的右正则表示。 对称地，若存在单同态:()SJ X?，aa?()aS?，其中11:aSS?，axax?1()xS?，则?称为S的左正则表示。 定理3.1.7 （1）如果S是一个右零半群，则存在右正则表示:()J SS?. （2）如果S是一个左零半群，则存在左正则表示:()J SS?.证明 （1）若S是一个右零半群，对于每一个aS?，定义映射:aSS?，axxa?()xS?，故()J Sa?.令:()J SS?，aa?()aS?，易知?是映射。 1）?是单射因为，(,),aba bSab?abaaaaaabbab?.2）?是同态映射因为，(),(S x)()()abababxxxa bx?，因此()()()abab?.3)(,),()(S x)abba bSxxabbx?,故abb?. （2）若S是一个左零半群，对于每一个aS?，定义映射:aSS?，axax?()xS?，故()J Sa?.令:()J SS?，aa?()aS?，易知?是映射。 1）?是单射因为，(,),aba bSab?abaaaaababab?.2）?是同态映射因为，1(),(x)()()ababbaxSxb axx?，因此()()()abab?，即证。 湖南科技大学本科生毕业设计（论文）-10-命题3.1.81如果?是X到Y的一个映射，则1?是一个等价关系。 证明因为，?1(,)x y:()(,)X xz,(,)y zX Y?z?(,)x y:XYx?y?,所以显然1?满足自反性，对称性，传递性。 3.2同余和同态命题3.2.1S是一非空集合，?为S上的二元关系且iA（iI?）是S中的一族同余，则iA?是S上的同余。 证明因为iA是S上的同余，从而iA是S上的等价关系，于是iA?是S上的等价关系。 设(,),(,)a bs t?iA?，则对于任意的iI?，有(,),(,)a bs t?iA，从而(,)as bt?iA，由i的任意性知(,)as bt?iA?，所以iA?是S上的同余。 命题3.2.2设(,)S?是代数系统，iA（iI?）是S中的一族同余且iA?满足传递性，则iA?是S上的同余。 证明 （1）易知iA?是S上的等价关系。 （2）设(,),(,)a bst?iA?，则存在iI?，使得(,)a b?iA且存在jI?，使得(,)st?jA.若ij?，则(,)as bt?iA；若ij?，则(,)as bs?iA且(,)bs bt?jA，于是(,)as bs?iA?，(,)bs bt?iA?，又iA?是传递的，故有(,)as bt?iA?，所以iA?是S上的同余。 引理3.2.3?为半群S上的等价关系，那么?为S上的同余当且仅当?是S的积半群SS?的子半群。 证明因为?为S上的同余，故?非空，设(,),(,)s ta b?，则(,)(,)sta b(,)sa tb?，于是?是SS?的子半群。 反之，?是SS?的子半群，则(,),(,)s ta b?，有(,)(,)(,)sta bsatb?，湖南科技大学本科生毕业设计（论文）-11-所以?是S上的同余。 命题3.2.41如果?为半群S上的同余，如下定义商集/S?上的二元运算()()()abab?，则(/,)S?是一个半群，称为商半群。 证明对于,a a b b?S?，若,aabb?，则(,),(,)b ba a?，从而(,)ab a b?，于是()()aba b?，故该二元运算为/S?上的代数运算。 又易知该代数运算满足结合律。 定理3.2.5设?是半群S到半群T的同态映射，则?是S上的相容关系；反之，若?为半群S上的同余且?为S上的映射，则?为S到S上的同态。 证明若(,),(,)a bst?，则ab?，st?，从而()?()()asa?s?bt?，因此(,)as bt?.反之，设aa?，bb?，于是(,)a a?，(,)b b?，由于?是同余，故(,)ab a b?，即()?()()aba b?a?b?，所以?为S到S上的同态。 定理3.2.6设?是半群S到半群T的同态映射，定义半群S上的一个等价关系?如下,a b?S?，a b?ab?,则?是S上的同余；反之，如果?是S上的同余，定义映射?/SS?，a?a?，则?是S到/S?上的同态。 证明对于任意,a b c dS?，若a b?，c d?，则有ab?，cd?，由于?是同态映射，故()?()()aca?c?，()?()()bdb?d?.于是()?()()acb?d?，因此ac bd?，即?是S上的同余。 反之，因为/S?是一个半群，又对于任意,a bS?，()?abab?，而a?()()abba?b?，于是()?()()aba?b?,所以?是S到/S?上的同态。 湖南科技大学本科生毕业设计（论文）-12-命题3.2.71设S是正则半群，?是S上的同余，则?/S也是正则半群。 证明?/?a?S?，Sa?.因为S是正则半群，所以aS?，由,()()()(),aa aa a aaaaaaaa aa?()()()()aaaaaa?a?，即?a的逆元为a?，由?a的任意性，可知?/S是正则半群。 命题3.2.81如果?是正则半群S上的同余，设(/)E Sa?，则存在()eE S?，使得ae?.证明设(/)E Sa?，则2()aa?，从而2?，因为?是正则半群上的同余，aa故存在xS?，使得2?22aa xa；令eaxa?，则2eaxaaxaaxae?且有22?2?eaxa a xa?aa?，因此ae?.命题3.2.91（自然同态）若?为半群S上的同余，则存在同态满射:/SS?.证明定义以下映射:/SS?，xx?，则这显然是S到/S?的一个满射。 又任取,x yS?，则有()()()()xyxyxy?，于是?是S到/S?的一个同态满射。 从本命题中可以看出，任何半群都与其商半群同态。 命题3.2.10（半群同态基本定理）设?是半群S到半群T的同态映射，则?1ker(,)a b:SSa?b?是S上的同余且存在单同态映射:/kerST?，()?()?ranran?.证明由前面的命题知1?是一个等价关系，令(,),(,)kera bc d?，从而,a?b?cd?，于是有()?()()()()()?aca?c?b?dbd?，因此(,)kerac bd?，所以ker?是一个同余。 现在来定义:/kerST?，(ker)a,()a?aS?.湖南科技大学本科生毕业设计（论文）-13-1）?是映射且为单射设,a b?S?，则(ker)(ker)(,)a bkeraba?b?.2）?是同态映射(ker)(ker)()(ker)()?()()abababa?b?由?的定义(ker),()aa?aS?，可知()?()?ranran?.推论3.2.11设?是半群S到半群T的同态满射，则/kerST?.命题3.2.9表明，任何半群都与其商半群同态；推论3.1.11表明，如果一个半群S同另一个半群T同态，则这个半群T在同构意义下是S的一个商半群。 因此，每个半群能而且只能同它的商半群同态。 命题3.2.12（第一同态定理）设?为半群S上的同余，?是半群S到半群T的同态映射，且ker?，则存在唯一的同态映射:/ST?，且()?()?ranran?.证明令:/ST?，(),(/)?s?s?s?S1）先证?是映射设ss?，则(,)ss?，于是(,)kers s?，因此ss?.2）再证?是同态映射()()()?()?()()()(?)sssssss?sss?，(,)?s sS.因为(),(/)?ss?sS?，故()?()?ranran?，且有?.3）唯一性因为任何满足?的同态映射必须按式定义，所以?的唯一性是显然的。 命题3.2.13（第二同态定理）设?，?是半群S上的同余，又?，则存在同态满射:/?SS?.证明令:/?SS?，(),(/)?a?a?a?S,1）证明?是映射设ab?，从而(,)a b?，于是(,)a b?，因此ab?.2）?是满射对于任意/?aS?，有()aa?.3）?是同态映射湖南科技大学本科生毕业设计（论文）-14-()()()?()?()()()(?)abababa?b?ab?.所以?是/S?到/S?的同态满射。 命题3.2.14设?，?是半群S上的同余，又?，则?/(,)(/)(/):(,)?SS?x?y?x y是/S?上的同余，且(/)/(/)/SS?.证明由命题3.2.12和命题3.2.13直接可得。 推论3.2.15设?，?是半群S上的同余，且存在映射:?/?SS?，(),()xx?xS?则有?.证明设:/?SS?，(),()xx?xS?，则有(,)x y?，从而xy?，于是()()xy?，故()(,)x yx?y?，因此?.命题3.2.161如果I是半群S的一个理想，令()1ISI I?，则I?是S上的同余。 证明因为(,)Ix y?当且仅当xy?或,x yI?.易知I?是自反的，对称的，传递的。 设(,),(,)x yIst?则有xy?或,x yI?且st?或,s tI?，无论,x yst属于何种情况都有(,)I?xs yt?，所以I?是S上的同余。 我们称I?是S上的Rees同余。 命题3.2.171设I?是半群S上的Rees同余，则商半群?I?x?/?:ISxS I?，且I为其零元。 一般记/?/ISS I.证明事实上，对于任意,x yS?，由IIxy?，则有(,)Ix y?，于是(,)x yI?或xy?，即,x y同在I中或,x yS I?，此时xy?为同一个元。 若任意,x yI?，则有()()?x?y?III，若,xI yS I?，则()()IIxyIyI?，同理()()IIyxyII?，因此I是/I?中的零元。 S湖南科技大学本科生毕业设计（论文）-15-定理3.2.18设,I J是半群S上的理想，又IJ?，则/(/)/(/)S IS JJ I?.证明,I J是S上的理想，IJ?，则有IJ?，令:/S IS J?，()IJaa?，易知?是/S I到/SJ的同态满射。 从而知?ker/(,)/:(,)IIJJ IabSI SI?a b?为/SI上的同余。 令:?(/)/(/)SI/J ISJ?，()kerIa?Ja?，由前面的结论可知，?是(/)/(/)S IJI到/SJ的同构映射。 定理3.2.19设,I J是半群S上的理想，则,IJ IJ?也是S上的理想，且()/()IJJI IJ?.证明1）因为S()IJSISJIJ?，()S IJSISJIJ?所以,IJ IJ?都是S的理想。 2）由于?J?x?x?()/:():()IJJxIJJJxIIJ?x?/():()I IJIJxIIJ?，因此存在()/IJJ?到/()I IJ?的双射且为同构映射，所以()/()IJJI IJ?.湖南科技大学本科生毕业设计（论文）-16-3.3群中两种同余关系的等价性定理3.3.1设?是群G到群G?的同态映射，令?ker:()?xGxeH?，e?为G?的单位元，?1(,)x y:()?()yG G?x?，1(,):a babH?，则 （1）1?; （2）设?e为1/G?中的单位元，则?eH且是G的不变子群; （3）?1/?:?GHa aG.证明 （1）设1(,)a babH?，由H的定义可知111()()(a?)()()a?abbbe?，从而()()ba?，于是1(,)a b?.反之，1(,)a b?，则()?()ba?，于是111()()a?()(a?)()bbabe?，即1abH?，因此(,)a b?，所以1?. （2）因为1?是G上的同余，故1/G?为商群，又 （1）知1?，由群中商群的结构可知?eH，加上H是G的不变子群，所以?e是G的不变子群。 （3）由 （1）1?，而1(,)a babH?，?1/?/:?a?GGaG，则.?aHa事实上，1(,)a b().?a?b?abHhH ahbbHa推论3.3.2设?是线性空间X到X?的同态映射，定义,a b?X?，(,)a bkerab?，则1?且?1/?ker:?XXaaX?.证明由定理3.3.1直接可得。 湖南科技大学本科生毕业设计（论文）-17-定理3.3.3设G是一个群，e是G的单位元，则 （1）如果N是G的不变子群，那么?1(,)a b:NG Gab?N?是G上的同余，且对任意gG?有NgNg?; （2）如果?是G上的同余，那么Ne?是G的不变子群且N?; （3）如果M，N都是G的不变子群，那么MNMN?，MNMN?.证明 （1）易知N?是等价关系，对于任意(,)a b，(,)x yN?，则1abN?，1xyN?，于是111111()()()ax byaxyba xyaabN?（因为N是不变子群），因此(,)Nax by?，所以N?是G上的同余。 对任意gG?，有?1:(,)g a:NNgaa gaNaNgNaNggN?. （2）由?是G上的同余，?:(,)e yNey?，对于任意,yN aG?，则有(,)e y?，又?是同余，于是(,)a ay?，111(,)(,e aya)aaaya?，因此1ayaN?，所以N是不变子群。 从而可知?11(,):a b(,):(,a b)(,):(,)a b(,):(,)a b.NabNe abb aa b? （3）设(,)a b?MN?，则1abM?，1abN?，于是(,)a b?M?，(,)a b?N?，故MN?MN?.反之，MN?MN?显然成立。 所以MNMN?.设(,)a b?MN?，则存在cG?，且有(,)Ma c?，(,)c bN?，从而1acM?，1cbN?，于是111abac cb?MN?，故(,)a b?MN?.反之，如果(,)a b?MN?，则1ab?MN?，可知存在,mM nN?，使得1abmn?，从而11ab nm?，于是111()()()aba nbnbbMNnbG?，故1()a nbmM?，1()nb bnN?，因此(,)Ma nb?，(,)Nnb b?，所以(,)a b?MN?.湖南科技大学本科生毕业设计（论文）-18-第四章一些特殊半群上的同余4.1半群上的群同余定义4.1.12S是一个半群，T是S的一个子集， （1）如果对任意的aS?，存在,x yS?，有,ax yaT?，称T是稠密的； （2）如果()E ST?，称T是全的； （3）如果对任意的,a bS?，abT?ba?T?，称T是自反的； （4）如果对任意的,aS tT?，()atTtaTaT?，称T是酉的。 定义4.1.22T是半群S的子半群，如果T是全的、稠密的、自反的，称T是S的正规子半群。 定义4.1.32T是半群S的子半群，定义S上的二元关系T?对于,a b?S?，(,)a b(,)Th lT?habl?.定义4.1.42?是半群S上的同余，如果/S?是一个群，称?是S上的群同余；并称子集?2:(/)E S:(,)aS aaSaa?为?的核，记为ker?.易知，如果?是半群S上的群同余，则?ker:1aS a?.（1?为/S?的单位元）定义4.1.52S是一个半群， （1）如果()E S是一个子半群，称S是E-半群； （2）如果()E S是S的稠密子集，称S是稠密子半群； （3）如果()E S是S的酉子集，称S是酉半群。 湖南科技大学本科生毕业设计（论文）-19-引理4.1.1设S是一个半群，T是S的不变子半群，即对任意的xS?，有xTTx?，则,a b?S?，tT?，abT?atbT?.证明设,a b?S?，tT?，因为abT?，由于T是S的不变子半群，故atbaTbabTT?，即有atbT?.引理4.1.2设S是一个半群，T是S的不变子半群且T是酉子集，则,a b?S?，tT?，abT?atbT?.证明设,a bS?，tT?，因为abT?，由引理4.1.1知atbT?.反之，如果atbT?，由于T是不变子半群，故atbabtT?，又因为T是酉的子集，所以abT?.引理4.1.3设S是一个半群，T是全的、稠密的子集，且为S的不变子半群，则T?是S上的群同余且kerTT?.证明因为T是S的不变子群，对任意的aS?，由于T的稠密性，存在xS?，使得,ax xaT?，于是ax aaxa?，因此(,)Ta a?.（自反性）设(,)a bT?，(,)b cT?，则存在,h lh lT?，使得habl?，h bcl?，从而h h ah bl?c l l?，由于T是子半群，故,h hl l?T?，所以(,)Ta c?.（传递性）设,a bS?，使(,)Ta b?，则存在,h lT?，使得habl?，因为T是稠密的，存在,y zS?使得,by yb az zaT?，又由引理4.1.1，有zha，blyT?.又T是S的子半群，故,zhaybT azblyT?，且azbly bazhayb?，因此(,)Tb a?.（对称性）下证T?是右相容的，设,a bS?，使(,)Ta b?，且cS?，则存在,h lT?，使得habl?，因为T是稠密的，存在,y zS?使得,by ybaz zaT?且存在xS?，使得,xc cxT?；由引理4.1.1知b cxyT?，()x ybcx yb lc?T?，从而2()bcxy hT?，且我们有22()()bcxy hacbcxy blcbcxybcxyblc?因此(,)Tac bc?.类似可证，T?是左相容的，所以T?是S上的同余。 湖南科技大学本科生毕业设计（论文）-20-下证/TS?是群设h，lT?，则有(,)Tl h?，特别地2(,ll)T?，于是T含于一个有幂等元的T?-类中，即为0l，0l为T中的一固定元。 为证明0l是/TS?的单位元，设aS?，则存在xS?，使得ax，xaT?，由引理4.1.1知0xl a，0al xT?，从而0000()()ax lax la?a xla xla?，2000()()al xaalxa lxa?于是0(,a la)T?，0(,a al)T?，即0?0()()()lal aa?，0?0()()()alala?因此0l是/TS?的单位元。 另一方面有0(,)Tax l?，0(,)Txa l?，故x是a在/TS?中的逆元。 所以T?是S上的群同余。 同时0l是包含T的幂等元类，于是有kerTT?.例4.1.1设N为自然数组成的集合，N对于自然数的乘法作成有单位元的半群；定义关系(,)a b?ab是偶数或ab是奇数，则?是N上的群同余且?/0,1N?.引理4.1.42设S是一个半群，?是S上的群同余，则ker?是S的正规子半群，且ker?.证明因为?是S上的群同余，则有()kerE S?，又对任意的aS?，存在,kerx y?使得,kerax ya?，于是知?ker:1aS a?是S的全的、稠密的子半群。 再设,a bS?，使得kerab?，则a b1ab?，即有ba ba1b?a?于是2(),)kerbaba?，故kerba?，因此ker?是自反的。 下证ker?是酉的设,a bS?，使得kerah?，则有1a h1aaah?于是kera?.最后证ker?设,a bS?，如果(,)kera b?，则存在,kerh l?，使得habl?于是湖南科技大学本科生毕业设计（论文）-21-a1?hablbl1bbaha?因此(,)a b?.反之，如果(,)ab?，有ba?（a，/bS?）.设xS?，使得1xa?，于是1bxaxxa?，故bx，kerxa?，因此bx abxa?，即(,)kera b?.推论4.1.5设T是半群S的正规子半群，则kerTT?当且仅当T是酉的。 证明如果kerTT