高中数学第二章.3.4平面向量共线的坐标表示知识巧解学案.docx

2.3.4 平面向量共线的坐标表示疱工巧解牛知识巧学一、用坐标表示两个共线向量 向量a与非零向量b共线，当且仅当存在一个实数，使得a=b.这样可由向量相等，构造出向量坐标相等的关系式. 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)(x2，y2不同时为零). 根据实数与向量的积的坐标可得b=(x2，y2). 因为a=b，即(x1，y1)=(x2，y2)， 则必有消去后，得x1y2-x2y1=0. 这就是说，当且仅当x1y2-x2y1=0时，向量b与a(a0)共线. 若x2、y2都不为零时，则可化为.即若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行，也可依此判断a与b共线. 由此可知，设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，若ab，则x1y2-x2y1=0；反之，若x1y2-x2y1=0，则ab.该条件成立，是在假设b0的情况下推出的，事实上，由于我们规定零向量与任何向量平行，所以可去掉b0这一限制条件.学法一得 向量共线有两种刻画形式：(1)ba(a0)b=a，是唯一确定的实数；(2)ba(a0)x1y2-x2y1=0.典题热题知识点一 利用坐标解决向量共线例1 判断下列向量是否平行：(1)a=(1，3)，b=(2,4)；(2)a=(1,2)，b=(,1).解：(1)14-32=-20,a与b不平行.(2)11-2=0,ab.巧解提示:(1),a与b不平行；(2),ab.本方法适合于作分母的向量坐标不是零的情况.知识点二 利用两个向量共线求未知数例2 已知向量a=(1，1)，b=(4，x)，=a+2b，v=2a+b且v，求x.思路分析：由于平面向量可用坐标表示，所以有关向量的加、减及实数与向量的积都可先用坐标表示出来，再转化为坐标运算去求值.解：=(1，1)+2(4，x)=(1，1)+(8，2x)=(9，1+2x)，v=2(1，1)+(4，x)=(2，2)+(4，x)=(6，2+x).v，9(2+x)-6(1+2x)=0.解得x=4.例3 求与向量a=(3，4)共线的单位向量.解：设与a共线的单位向量为e=(x，y)，则x2+y2=1. 又ea，所以3y-4x=0. 解由组成的方程组得或即e=()或().巧解提示:a=(3，4)，|a|=.与a共线的单位向量e=a，或e=a，即e=()或().方法归纳 利用两个向量共线的条件去布列方程，求未知数的值.由x1y2-x2y1=0可解决一个未知数的值；若由可解决两个未知数的值.例4 平面内给定三个向量a=(3，2)，b=(-1，2)，c=(4，1).(1)求3a+b-2c；(2)求满足a=mb+nc的实数m、n；(3)若(a+kc)(2b-a)，求实数k；(4)设d=(x，y)满足(d-c)(a+b)且|d-c|=1，求d.思路分析：在引入向量的坐标表示后，向量的加、减、数乘运算完全代数化，这样更简洁，但必须对平面向量基本定理、向量的有关概念有深刻的理解.解：(1)3a+b-2c=3(3，2)+(-1，2)-2(4，1)=(9，6)+(-1，2)-(8，2)=(9-1-8，6+2-2)=(0，6).(2)a=mb+nc，(3，2)=m(-1，2)+n(4，1)=(-m+4n，2m+n).解之,得(3)(a+kc)(2b-a)，又a+kc=(3+4k，2+k)，2b-a=(-5，2)，2(3+4k)-(-5)(2+k)=0.k=.(4)d-c=(x-4，y-1)，a+b=(2，4)，又(d-c)(a+b)且|d-c|=1，解之,得或d=()或d=().方法归纳 求未知数的值，需列含有未知数的方程或方程组，这就是方程思想.由于平面向量的坐标表示，所以有关向量的加、减及实数与向量的积、共线向量、向量的模等，都可用于列方程求未知数的值.知识点三 向量平行与三点共线例5 向量=(k，12)，=(4，5)，=(10，k)，当k为何值时，A、B、C三点共线?解：=-=(k，12)-(4，5)=(k-4，7)，=-=(k，12)-(10，k)=(k-10，12-k).A、B、C三点共线，即(k-4)(12-k)-(k-10)7=0.整理，得k2-9k-22=0.解得k1=-2或k2=11.所以当k=-2或11时，A、B、C三点共线.例6 如果向量=i-2j，=i+mj，其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值使A、B、C三点共线.思路分析：只需根据向量共线的条件，解关于m的方程即可.解：A、B、C三点共线，即、共线，存在实数使得=，即i-2j=(i+mj).m=-2，即m=-2时，A、B、C三点共线.方法归纳 利用向量证明三点共线的思路是：先利用三点构造出两个向量，求出唯一确定的实数使得两向量共线.由于两向量必过同一点，所以两向量所在的直线必重合，即三点共线.知识点四 定比分点坐标公式例7 已知两点P(-1，6)和Q(3，0)，延长线段QP到A，使|AP|=|PQ|，求A点坐标.思路分析：由于A、P、Q三点共线，且|AP|=|PQ|，所以可先从三点中任取两点，确定出两个共线向量间的共线，再借助于向量运算法则进行求解.解：如图2-3-25，|AP|=|PQ|,图2-3-25=.=+=+=+(-)=-=(,8)-(1,0)=(,8).A(,8).例8 若直线y=-ax-2与连结P(-2，1)、Q(3，2)两点的线段有交点，求实数a的取值范围.思路分析：当直线与线段PQ有交点时，这个交点分有向线段PQ所成的比不小于0，从而得到关于a的不等式，但应注意考虑端点的情况.解：当直线过P点时，有2a-2=1，a=.当直线过Q点时，有-3a-2=2，a=.当直线与线段PQ的交点在P、Q之间时，设这个交点M分PQ的比为，它的坐标为M(x0，y0)，则x0=，y0=，而直线过M点，则，整理，得.由0，得，解得a或a.故所求实数a的取值范围为a或a.例9 连结直角三角形的顶点与斜边的两个三等分点，所得两条线段的长分别是sin和cos(0)，求直角三角形的斜边长.思路分析：建立适当的坐标系，设定点的坐标，然后根据已知条件列关系式求解.图2-3-26解：以直角三角形的两直角边为坐标轴，如图2-3-26所示，建立直角坐标系，设A(a，0)，B(0，b)，D、E分别为AB的三等分点，把D点看成分成定比为=的定比分点，由定比分点坐标公式可求得,即D(a，b).同理可求得E(a，b)，又|OD|=sin，|OE|=cos，即(a2+b2)=1.又|AB|=，|AB|=.问题探究材料信息探究问题 假如有两个质点M1、M2，它们的质量分别为m1、m2，由物理学知识，这两个质点的重心M在线段M1M2上，并且分此线段为与质量成反比例的两部分，即或.设点M1、M2、M对应的向量分别是r1、r2、r，则上式可以写成m1(r-r1)=m2(r2-r)，所以r=，即点M处的质量为m1+m2.那么如何利用向量得到三个质点的重心呢