高中数学第二章2.3.2离散型随机变量的方差课堂导学案新人教B版选修.docx

2.3.2 离散型随机变量的方差课堂导学三点剖析一、离散型随机变量的方差【例1】袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，但不放回原袋中，直到取到白球为止，求取球次数的期望及方差.解析：当每次取出的黑球不再放回时，设随机变量是取球次数，因为每次取出的黑球不再放回去，所以的可能值为1，2，3，4，5，易知：P（=1）=0.2,P(=2)=0.2,P(=3)=0.2,P(=4)=0.2,P(=5)=1=0.2,所求的概率分布为12345P0.20.20.20.20.2E=10.2+20.2+30.2+40.2+50.2=3,D=(1-3)20.2+(2-3)20.2+(3-3)20.2+(4-3)2+(5-3)20.2=2.温馨提示 求期望和方差的问题关键是求随机变量的分布列，即求每种情况的概率.因此求事件的概率是基础，另外方差可用定义求，也可以用公式：D=E2-(E)2求.二、离散型随机变量的方差的作用【例2】A、B两台测量仪器测量一长度为120 mm的工件时分布列如下：A：1181191201211220.060.140.600.150.05B：1181191201211220.090.150.520.160.08试比较两种仪器的优劣.解析：设随机变量1表示用A仪器测量此产品长度的数值，随机变量2表示用B仪器测量此产品长度的数值，从而有E1=1180.06+1190.14+1200.60+1210.15+1220.05=119.99,D1=(118-119.99)20.06+(119-119.99)20.14+(120-119.99)20.60+(121-119.99)20.15+(122-119.99)20.05=0.729 9,E2=1180.09+1190.15+1200.52+1210.16+1220.08=119.99,D2=(118-119.99)20.09+(119-119.99)20.15+(120-119.99)20.52+(121-119.99)20.16+(122-119.99)20.08=0.989 9，由此可知，E1=E2,D1D2,A仪器测量结果波动较小，表明A仪器质量较好.温馨提示 本题若仅由E1=E2,易产生两台仪器性能一样好的错觉.这表明在实际问题中仅靠期望值不能完全反映随机变量的分布特征，还要研究其偏离平均值的离散程度（即方差）.三、离散型随机变量的方差的最值【例3】 若随机事件A在1次试验中发生的概率为p（0p1）,用随机变量表示A在1次试验中发生的次数.（1）求方差D的最大值？（2）求的最大值.解析：随机变量的所有可能取值为0，1，并且有P（=1）=p，P（=0）=1-p，从而E=0(1-p)+1p=p,D=(0-p)2(1-p)+(1-p)2p=p-p2.(1)D=p-p2=-(p2-p+)+=-(p)2+,0p1,当p=时，D取得最大值，最大值为.(2)=2-(2p+),0p1,2p+2,当2p=,p=时，取“=”，因此，当p=时，取得最大值2-2.各个击破类题演练 1已知某离散型随机变量X服从的分布列为X10Ppq且0p1.q=1-p,求D（X）.解析：由题目知X服从二点分布，所以E（X）=p,D(X)=(1-p)2p+(0-p)2q=q2p+p2q=pq.这表明在二点分布试验中，离散型随机变量X围绕期望的平均波动大小为pq.变式提升 1 已知某离散型随机变量X服从下面的二项分布：P（X=k）=0.1k0.94-k(k=0,1,2,3,4),求E（X）和D（X）.解析：根据题目知道离散型随机变量X服从参数n=4和p=0.1的二项分布，所以E（X）=np=40.1=0.4,D(X)=npq=40.10.9=0.36.类题演练 2 一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个选择正确答案得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分.某学生选对任一题的概率为0.6，求此学生在这一次测验中的成绩的期望与方差.解：设该学生在这次数学测试中选择正确答案的个数为X，所得的分数（成绩）为Y，则Y=4X.由题知XB（25，0.6）,EX=250.6=15,DX=250.60.4=6,EY=E(4X)=4EX=60,DY=D(4X)=42DX=166=96.答：该学生在这次测验中的期望与方差分别是60与96.点评：审清题意得出XB（25，0.6）是解本题的重要一步.变式提升 2若X是离散型随机变量，P（X=x1）=,P(X=x2)= ,且x1x2,又已知EX=,DX=,则x1+x2的值为（ ）A. B. C.3 D.