高中数学第二讲四弦切角的性质学案新人教A版选修.docx

四弦切角的性质1理解弦切角的概念，会判断弦切角2掌握弦切角定理的内容，并能利用它解决有关问题1弦切角顶点在_上，一边和圆相交、另一边和圆_的角叫做弦切角弦切角可分为三类：(1)圆心在角的外部，如图；(2)圆心在角的一边上，如图；(3)圆心在角的内部，如图.【做一做1】如图所示，AB是O的一条弦，D是O上的任一点(不与A，B重合)，则下列为弦切角的是()AADB BAOBCABC DBAO2弦切角定理文字语言弦切角等于它所夹的_所对的_符号语言AB与O相切于点A，AC与O相交于点A，C，点D在O上，但不在弦切角BAC所夹的弧上，则BAC_图形语言作用证明两个角相等(1)弦切角定理的推论：若一个圆的两个弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等(2)弦切角定理也可以表述为弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半这就建立了弦切角与弧之间的数量关系，它为直接依据弧进行角的转换确立了基础(3)圆心角、圆周角、弦切角的比较圆心角圆周角弦切角定义顶点在圆心的角顶点在圆上，两边和圆相交顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切图形角与弧的关系AOB的度数的度数ACB的度数的度数ACB的度数的度数【做一做21】如图所示，MN与O相切于点M，Q和P是O上两点，PQM70，则NMP等于()A20 B70C110 D160【做一做22】过圆内接ABC的顶点A引O的切线交BC的延长线于点D，若B35，ACB80，则D为()A45 B50 C55 D60答案：1圆相切【做一做1】CADB是圆周角，AOB是圆心角，ABC是弦切角，BAO不是弦切角2弧圆周角ADC【做一做21】BNMP是弦切角，NMPPQM70.【做一做22】A如图，AD为O的切线，DACB35.又ACB80，DACBDAC803545.对弦切角的理解剖析：弦切角的特点：(1)顶点在圆上；(2)一边与圆相交；(3)另一边与圆相切弦切角定义中的三个条件缺一不可如图(1)(2)(3)(4)中的角都不是弦切角图(1)中，缺少“顶点在圆上”的条件；图(2)中，缺少“一边和圆相交”的条件；图(3)中，缺少“一边和圆相切”的条件；图(4)中，缺少“顶点在圆上”和“另一边和圆相切”两个条件题型一 平行问题【例题1】如图，AD是ABC中BAC的平分线，经过点A的O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.求证：EFBC分析：连接DF，于是FDCDAC，根据AD是BAC的平分线，有BADDAC，而BAD与EFD对着同一段弧，所以相等，由此建立EFD与FDC的相等关系，根据内错角相等，可以断定两条直线平行反思：当已知条件中出现圆的切线时，借助于弦切角定理，常用角的关系证明两条直线平行：(1)内错角相等，两条直线平行；(2)同位角相等，两条直线平行；(3)同旁内角互补，两条直线平行等证题时可以根据图形与已知合理地选择题型二 线段成比例问题【例题2】已知ABC内接于O，BAC的平分线交O于点D，CD的延长线交过B点的切线于E.求证：.分析：直接证明此等式有一定的难度，可以考虑把它分解成两个比例式的形式，然后借助相似三角形的性质得出结论反思：已知直线与圆相切，证明线段成比例时，常先利用弦切角定理和圆周角定理获得角相等，再通过三角形相似得到成比例线段题型三 易错辨析易错点忽视弦切角的一边是切线【例题3】如图所示，ABC内接于O，ADAC，C32，B110，则BAD_.错解：ADAC，BAD是弦切角BADC又C32，BAD32.错因分析：错解中，误认为BAD是弦切角，其实不然，虽然ADAC，但AD不是切线反思：在利用弦切角定理解决问题时，要考虑所涉及到的角是否是弦切角，即弦切角的三个条件缺一不可答案：【例题1】证明：连接DF，如图所示，AD是BAC的平分线，BADDAC.EFDBAD，EFDDAC.BC切O于D，FDCDAC.EFDFDC.EFBC.【例题2】证明：连接BD，如图所示AD是BAC的平分线，BADCAD.又BCDBAD，CBDCAD，BCDCBD.BDCD.又BE为O的切线，EBDBAD，EBDBCD.故在BED和CEB中，EBDECB，BEDCEB，BEDCEB.，.又BDCD，.【例题3】正解：CBBAC180，BAC180CB38.又ADAC，BACBAD90.BAD90BAC903852.1如图所示，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上的两点，半圆O的切线PC交AB的延长线于点P，PCB25，则ADC为()A105 B115 C120 D1252如图，AB是O的弦，CD是经过O上的点M的切线求证：(1)如果ABCD，那么AMMB；(2)如果AMBM，那么ABCD3如图，四边形ABED内接于O，ABDE，AC切O于点A，交ED延长线于点C求证：ADABDCBE.4如图，已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1)ACEBCD；(2)BC2BECD5(2011江苏南京一模)如图，AB是半圆O的直径，C是圆周上一点(异于点A，B)，过点C作圆O的切线l，过点A作直线l的垂线AD，垂足为点DAD交半圆于点E.求证：CBCE.答案：1B连接BD，PC与O相切，BDCBCP25.又AB是直径，ADB90.ADCADBBDC9025115.2证明：(1)CD切O于点M，DMBA，CMAB.ABCD，CMAA，AB，AMMB.(2)AMBM，AB.CD切O于M点，DMBA，CMAB.CMAA.ABCD.3分析：求证成比例的四条线段正好在两个三角形ACD和ABE中，所以只要证明ACDAEB即可证明：四边形ABCD内接于O，ADCABE.AC是O的切线，CADAED.ABDE，BAEAED.CADBAE，ACDAEB.ADABDCBE.4分析：(1)证明这两个角都等于ABC；(2)转化为证明BDCECB.证明：(1)，BCDABC.又EC与圆相切于点C，ACEABC.ACEBCD.(2)ECBCDB，EBCBCD， BDCECB.，即BC2BECD.5分析：转化为证明CBECEB.证明：(方法一)连接BE，如图所示因为AB是半圆O的直径，点E为圆周上一点，所以AEB90，即BEAD.又因为ADl，所以BEl.所以DCECEB.因为直线l是圆O的切线，所以DCECBE.所以CBECEB，故CECB.(方法