电动力学课后习题解答.doc

课后习题解答第一章、3第二章、20第三章、42第四章、63第五章、81第六章、94第一章 电磁现象的普遍规律1. 根据算符的微分性与矢量性，推导下列公式：解：矢量性为 微商性 由得 +得上式得令得 2.设是空间坐标x，y，z的函数，证明：解： 3.设为原点到场点的距离，的方向规定为从原点指向场点。 证明下列结果，并体会对原变数求微商（）与对场变数求微商 （ ）的关系 （最后一式在r=0点不成立，见第二章第五节） 求及，其中及均为常矢量。解： 4. 应用高斯定理证明 应用斯托克斯（Stokes）定理证明解： 5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为利用电荷守恒定律证明的变化率为解： 取被积区域大于电荷系统的区域，即V的边界S上的，则 。 6. 若是常矢量，证明除R=0点以外矢量的旋度等于标量的梯度的负值，即,其中R为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。解： 7. 有一内外半径分别为和的空心介质球，介质的电容率为，使介质内均匀带静止自由电荷，求 空间各点的电场； 极化体电荷和极化面电荷分布。解：对空间做高斯面，由： 对空间：做高斯面，由 对空间: 做高斯面，由 由 时,由边值条件:(由1指向2)8. 内外半径分别为 和 的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流 ，导体的磁导率为，求磁感应强度和磁化电流。解：由 所以 所以方向为 对区域由 方向为 对区域有: (2) 由 由 由同理由 得9. 证明均匀介质内部的体极化电荷密度总是等于体自由电荷密度的倍。即：解：由均匀介质有 由得 两边求散度 由得 10. 证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等，发向相反。（但两个电流元之间的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律）解：令两个线圈中的电流分别为和。电流圈对另一个电流圈中的电流元的作用力为： 其中 是电流圈在电流元处激发的磁感应强度，是从中的电流元到电流元的矢径。将式代入式，并对积分，利用斯托克斯定理,同时注意到,即得到电流圈对的作用力： 同样，电流圈对中的电流元的作用力为: 其中 是电流圈在电流元处激发的磁感应强度,是从电流元到电流元的矢径。对的作用力为 注意到于是有 11. 平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为 和 ，电容率为 和，令在两板接上电动势为 的电势，求：电容器两板上的自由电荷面密度介质分界面上的自由电荷面密度；若介质是漏电的，电导率分别为和，当电流达到恒定时，上述两问题的结果如何？解： 由 得当介质漏电时由得有同理12. 证明： 当两种绝缘介质的分界面上不带自由电荷时，电场线的曲折满足：其中和分别为两种介质的介电常数，和分别为界面两侧电场线与法线的夹角。当两种导电介质内流有恒电流时，分界面上电场线曲折满足，其中1和2分别为两种介质的电导率。解： 切向分量连续有 代入上式得： ，切向分量连续， 有 代入上式得13.试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面；在恒定电流情况下，导体的电场线总是平行于导体表面。解：由边值关系： 又由边值关系 即 因为假设为静电情况 即导体外的电场线总是垂直于导体表面。在恒定电流情况下：由 因为 所以 即导体内电场线总是平行于导体表面。14. 内外半径分别为和的无限长圆柱形电容器，单位长度荷电为，极间填充电导率为的非磁性物质（1）证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消，因此内部无磁场。（2）求随时间的衰减规律（3）求与轴相距为r的地方的能量耗散功率密度（4)求长度为L的一段介质总的能量耗散功率，并证明它等于这段的静电能减少率解：（1） 由（3）得 + 又 即与严格抵消。（2）由 = 2LE= E=J= - 解得 当t=0时 (3)t场对自由电荷所做的功率密度为(4) 而长为L的一段介质总的静电能为W= 所以能量耗散功率等于静电能减少率。第二章 静电场1.一个半径为R的电解质球，极化强度为，电容率，（1）计算束缚电荷的体密度和面密度；（2）计算球外电荷的体密度；（3）计算球外和球内的电势；（4）求该带电介质产生的静电场总能量。解；（1） =- 由 (2) 由 （3）由于球内电荷为球对称分布，所以电荷在球外产生的势相当于点电荷在球外产生的势。 Q=对球内用高斯定理有； 4 = 对球外用高斯定理有（4）由题意得；球外有 球内有 （）+ =（）+（）=2（）=2（）（1+） 2. 在均匀外电场中放置半径为的导体球，使用分离变量法求下列两种情况的 （1）导体球上接有电池，求与地保持电势差；（2）导体球上带总电荷Q。解：（1）以球心为圆点，以外电场方向建立球坐标系，本题的定解问题； 由于此问题具有轴对称,从(1)得通解 （cos）(R由=得= +（R）由得 =+(2) 建立同样的坐标系；定解问题为： 重复第一问的过程，得到 =+ 有条件（4）得到 = = = =-4 代入上式代替得 =+（RR）3. 场均匀介质球的中心置一点电荷，球的电容率球外为真空，试用分离变量法求空间电势，把结果与用高斯定理结果相比较。解：由题意得定解问题对(1)设 则， 由（1）（2）解得 由（3）（4）解得 由（5）（6）解得= （7）= （8）对（7）(8)式，当n=0时 解得当n=1时 解得 同理 4. 均匀带电体（电容率1）的中心置一电偶极子，球外充满了另一种电介质（ 容率2），求空间个点的电势和极化电荷的分布。解；由题意得定解条件 设 由（1）（2）解得 由（3）（4）解得 由（5）（6）解得 = （7）= （8）对（7）（8）式，当n=0时 解得当n=1时 解得对n1时 解得 = （RR） 5. 空心带电体球壳内外半径为R1和R2，球中心置一偶极子，球壳带电Q，求空间个点电势和电荷分布。解：由题意得定解条件设 则得；由（1）（3）解得 由（2）（4）解得 由（5）解得 （7）由（6）解得 =4 （8）由（2）（8）解得当n=0时 解得当n=1时 解得当n1时解得 6.在均匀外电场中置入一带电自由电荷的绝缘介质球（电容率），求空间各点的电势。解： 得定解条件 由（1）（2）解得 由（3（4）解得 = 由（5（6）解得= （7）= （8）由（7）（8）得当n=0时 当n=1时 当n=2时 =（）（RR） 置一点电荷Q，试用分离变量法求空间各点电势，证明所得结果与镜像法结果相同解：由题意得定解条件： 令 则有 由第一式得 带入第二式得 由第二式得 解得 设b= 上式=由镜像法解题：由=常数得由得9接地的空心导体球的内外半径为,在球内离球心为a()处置一点电荷Q，用镜像法求电势，导体球上的感应电荷有多少？分布在内表面还是外表面？解:设B处有电荷来代替球壳上感应电荷，在球内产生的场所以 =由于求敲及球外电场为零，感应电荷只能分布于内表面，因为区域电场为零故由高斯定理 所以 10上题的导体球壳不接地，而是带总电荷或使其优电势又问和是何关系解：由上题可知若在球外放置电荷，则球面上电势为零若在球心上放置则球壳电势由零变为由球为等势体，球外电势为球对称分布有高斯定理求内电势升高由前题结果得若球有确定电势则 当两情况的解相等。11在接地得到体平面上，有一半径为a的半球凸部，半球的球心在平面上，点电荷Q位于系统的对称轴上并与平面相距为b(ba) 试用电像法求空间电势 解：选取像电荷-Q放在（0，0，b）处使导体平面电势为零然后选取和像电荷，使之与Q和-Q所成的电势在球面为零，由9题结果得 则上半空间的电势就是这四种电荷所产生的电势的叠加 12。有一点电荷Q位于两个相互垂直的接地导体平面所围成的直角空间内，它到两个平面的距离为a和b，求空间电势解：像电荷选取如图： 13设有两平面围成的直角形无穷容器，其内充满电导率为的液体，取该两平面为XZ和YZ，在()和()两点分别放正负电极并通以电流I求导电液体中的电势 解：设容器两边界分别为x=o和y=o平面作一包围正电极的高斯面，有 其中为导线的电导率设则同理在负电极上在容器边界由所以即 对于以平面为保证，选取镜像位置上放置同号电荷项电荷放置如左图在x0。Y0空间上电势就是这8个电荷产生的电势叠加14画出函数的图，说明是一个位于原点的偶极子的电荷密度解：处于原点的偶极子可以表示为因为所以15证明：（1) (a0) (若a0，结果如何) （2）x=0证明：（1）由得 （2） 又 所以x=016.一块极化介质的极化矢量为，根据偶极子静电势的公式极化介质所产生的静电势为 另外，根据极化电荷公式及极化介质所产生的电势由可表示为 证明以上两表达式是等同的证明： = = = 17证明下述结果，并熟悉面电荷和面偶极层两侧电势和电场的变化（1）在面电荷两侧。电势法向微商有越变，而电势是连续的（2）在面偶极层两侧电势有越变 而电势的法相微商是连续的解：对面电荷作高斯面有即=-跨过面电荷取微小路经电势法向微商有越变 两边取极限右边第一项是有限值， 也是有限值所以极限为零，即=0（2）对面电荷作高斯面，有即=0由图，显然有 18一半径为的球面，在球坐标的半球面上电势为 ，在 的半球面上电势为 ，求空间各点电势 解：由题意得定解问题 由（1）（2）得 由（3）（4）得 对（5）用泰勒多项是展开 由得当l为偶数时 C2 = 0当l为奇数时由和得 由（5）得 同理19 上题能用格林函数方法求解吗?结果如何？解：球外空间各林函数 第三章 静磁场 1试用表一个沿方向的均匀恒定磁场，写出的两种不同表示式，证明二者之差是无旋场。解：令则令 则而 即二者之差是无旋场2均匀无穷长直圆柱螺线管，每单位长度线圈匝数为n，电流强度为I，试用唯一性定理球管内外磁感应强度解： 此解显然满足上述防城和边界条件，根据唯一性定理他是本问题唯一正确的解由此得3设有无穷长的线电流沿Z轴流动。以Z0区域为真空试用唯一性定理求磁感应强度，然后求出磁化电流分布解：空间磁场均匀分布满足 和边值关系 根据上述定解条件和显然与r有关。而且只有分量为此提尝试解 因而 此解满足全部方程和边值关系，因此是唯一正确的解根据得到 = 再由 由Z=0处=0得到= （Z=0）4设x0空间为真空今有线电流I沿Z轴流动求磁感应强度和磁化电流分布解：由麦克斯韦方程组x=0处因为只与r有关，所以有所以解得 =因为 所以5某空间区域有轴对称磁场，在柱坐标原点附近已知 其中为常量，求该处解：因为磁场为轴对称所以有 所以令=由因为=0所以 6两个半径为a的同轴圆形，位于Z=L面上，每个线圈上载有同方向的电流I（1）求轴线上的磁感应强度（2）求在中心区域产生最接近均匀的磁场时L和a的关系 解： 由图得 =因为= 将两线圈产生的磁场叠加 令=0得2L=a7.半径为a的无限长圆柱导体上有恒定电流均匀分布于截面上，试解矢势的微分方程解：设导体的磁导率为导体外的磁导率为因为关于小x.y方向的方程和边界条件均为齐次.所以解为零.有(1)得 (因为只与r有关.所以只取r项) (7)由(2)得 (8)由(4)得由(3)得 (9)由(6)得 (10)由(10)得 (11)由(9) (11) 得 只有 代入解得:8. 假设存在磁单极子其磁荷为它的磁场强度为，给出它的矢势的一个可能的表示式.并讨论它的奇异性.解:由 (真空中)有和有球坐标系有今利用球坐标系有 (4)因为r方向对无贡献.选取.由(3)得所以 所以常数 因为有限.所以 (5)将(5)式代入(2)式.验证(2)式成立. 所以. .9. 将一磁导率为半径为的球体，放入均匀磁场内。 求总磁感应强度和诱导磁矩?解:以方向选为轴.用球坐标.选用磁标势 (8) 所以由(8)得到由 (9)由(8)得 由所以 (10)由 (6) (7)式得 当n=0时有 当n=1时有 当n=n时有所以 所以10 有一个内外半径为和的空心球.位于均匀外磁场内.球的磁导率为求空腔内的场讨论的磁屏蔽作用.解 有限 解得由 得:当n=1时有 由(9) (11) 得: (12)由(8) (10) 得: （13）由(8) (12) 得: (13)代入(14)得: (15)对(15)式整理得:又代入上式得: 11.设理想铁磁体的极化规律为.是恒定的与武官的量.今将一个理想铁磁体做成的均匀磁化球(为常数)侵入磁导率为的无限介质中.求磁感应强度和磁化电流分布?解:有限解得:由(3) (4)式得:由(5) (6)式得当n=0时当当n=1时 因为 所以 12. 将上题的永磁球放入均匀外磁场中.结果如何?解:解得:由(3) (4)式得:由(5) (6)式得当n=0时。当n=1时所以定义:13.有一个均匀带电的薄导体壳.其半径为总电荷为Q.今使球壳饶自身某一直径以速度转动.求球内外的磁场解:设球壳绕z轴转动.由由(1) (2) (3) (4) 解得:由(5) (6) (7) 得:n=0时.当n=1时:解得 设14 电荷按体均匀分布的刚性小球其总电荷为半径为它以角速度饶自身某一直径转动求：（）它的磁矩（）它的磁矩与自转动量矩之比（设质量是均匀分布的）解：15有一块磁矩为的小永磁体。位于一块磁导率非常大的实物的平坦界面附近的真空中。求作用在小永磁体上的力？解：应用电象法求得 （为与轴的夹角）第四章 电磁波的传播1考虑两列振幅相同偏振方向相同，频率分别为和的线偏振平面波。它们都沿z轴方向传播(1) 求合成波。求证波的振幅不是常数。而是一个波。(2) 求合成波的相位传播速度和振幅传播速度。解：（1） 所以振幅为不是常数。而是一列波。(2)相速度t时刻时刻. 群速度 2以平面电磁波以从真空入射到的介质。电场强度垂直于入射面。求反射系数和折射系数。解：由 解得由菲涅耳公式：由定义:3有一可见平面波由水入射到空气,入射角为,证明这时将会发生全反射,并求折射波沿表面传播的相速度和进入空气的深度.设该波在空气中的波长为,水的折射率为解: 所以 4频率为的电磁波在各向异性介质中传播时，若仍按变化，但不再与平行（即=不成立），（1）证明，但一般; (2)证明; (3)证明能流与波矢一般不在同一方向上.解: (1) 由, 得 由, , 所以 由, 因为,所以 由, 由 , , 又由 (2)由 由按变化得 所以有 将（2）代入（1）得 （3） 因为 所以.5有两个频率和振幅都相等的平面单色波沿轴传播,一个波沿方向偏振,另一个沿方向偏振,但相位比前者超前,求合成波的偏振.反之,一个圆偏振可以分解为怎样的两个线偏振?合成波为圆偏振.6平面电磁波垂直射入到金属表面上,试证明透入金属内部的电磁波能量全部变为焦耳热.解: , , ,由（1）=（2）, 所以透入金属内部的电磁波能量全部变为焦耳热.7已知海水的,试计算频率为50,Hz的三种电磁波在海水中的透入深度.解: , ,8平面电磁波由真空倾斜入射到导电介质表面上,入射角为,求导电介质中电磁波的相速度和衰减长度,若导电介质为金属,结果如何? 提示:导电介质中的电磁波波矢量,只有分量.解:由边值关系有 设入射角为,则有:,设折射波矢是由（2）（3）两式有 ,可见,透射波矢中只有分量,因此:而 于是，由两式得到关于方程组解得 并由式得 透入波的衰减长度为 ,透入波的相速度为 若导电介质是金属,即有,因而因此 这说明对于良导体,电磁波倾斜入射与垂直入射所得的结果是相近的。9无限长的矩形波导管,在z=0处被一块垂直地插入的理想导体平板完全封闭,求在z=-到z=0这段管内可能存在的波模.解: 设的径向分量为：代入u分离变量得: 解得 由同理由由 由 得由 ,有 10电磁波在波导管中沿z方向传播,试使用及证明电磁场所有分量都可用及这两个分量表示.解:由由将 （7）代入式中得:由（8）（12）解得：由（9）（11）解得：11写出矩形波导管内磁场满足的方程及边界条件.解: 由 又由 由得 由,令得: 由得:12论证矩形波导管内不存在或波.解: 当(m,0)时则电场的解为:当(0,n)时,则电场的解为:即在（m,0）,(n,0)下，只有一组特解，由10题结果可得:,即不可能是TM波.13频率为的微波,在0.7cm0.4cm的矩形波导管内能以什么波摸传播?在0.7cm0.6cm的矩形波导管内能以什么波摸传播?解:频率为的微波波长为,宽为a,高为b的矩形波导内,能传播的(m,n)型波截止角频率相应的截止波长为以 a=0.7cm,b=0.4cm, 及 a=0.7cm,b=0.6cm,分别代入上式，可算出最初几个波形的截至波长，列如下表：波形a=0.7b=0.41.40.70.470.80.40.650.52a=0.7b=0.61.40.70.471.20.60.810.51所以,对于微波,0.7cm0.4cm的矩形波导管只能传波, 0.7cm0.6cm的矩形波导管只能传波及波.14一对无限大的平行理想导体板,相距为b,电磁波沿平行于版面的正方向传播,设波在x方向是均匀的,求可能传播的波摸和每种波摸的截止频率.解: 设 代入分离变量得:解得由边界条件:.当y=0,b时 其中由独立截止频率15证明整个谐振腔内的电场能量和磁场能量对时间的平均值总相等.证明:解得将E的方程代入得:电场能量密度对时间平均值为: 由代入 = = = 由 得：（ 第五章 电磁波的辐射1. 若把麦克斯韦方程组的所有矢量都分解为无旋的(纵场)和无散的(横场)两部分,写出E和B这两部分在真空所满足的方程式,并证明电场的无旋部分对应与库仑场. 解: 首先将电磁场分成两部分: 其中L为纵场T为横场.所以有: 将 （1）（3） 代入电荷守恒定律有: （10）由（9）得:将（1）（2）（3）代入真空中的麦氏方程组得 由(11) 及(7)式得: (15) 由(13)及(8)式得: (16)将(16)及(4)式代入(12)得 (17) 将(5)式代入(10)式得: (18)由（8）式及（4）式得 (19)由（18）（19）式得 （20）将（5）式及（20）式代入（14）式得 (21)若空间有电流为常失,则必产生磁场，所以常失应归入.只有 (22) (23)以上（15）（16）（17）（22）式及（23）式为和的横场和纵场，所满足的方程式，由最后说明为由空间全部电荷所激发的场，所以为库仑场，而是由全部磁场所激发的，为有旋场。2. 证明在线性各向同性均匀非导电介质中，若P=0,则可完全有失势决定。 若取，这时满足哪两个方程？解：在各项同性均匀介质中，常数，常数，达朗贝尔方程为： 若则方程中只含有和，若定，则可由方程求出。在和全定后，由可求出和。若由（1）（2）可得3. 证明沿Z轴方向传播的平面电磁波可用失势表示，其中，垂直于Z轴方向.解：平面电磁波在没有电荷电流分布的空间传播，因而势方程1.9变为波方程 ：其平面波解为由得 只要给定，则平面波完全可用失势表示，若平面波沿Z方向，则：=由垂直于Z轴。4. 设真空中失势可用复数傅立叶展开为其中是的复共轭。（1）证明满足谐振子方程（2）当选取规范(3) 把和用和表示出来. 解：（1）可改写为若采用洛仑兹规范 则A=0所以（2）若 时所以(3) 电磁波在真空中传播有A=0, . 由 , 5. 设和是满足洛仑兹规范的失势和标势（1） 引入一矢量函数赫兹矢量），若令,证明（2）若令 证明Z满足方程,写出在真空中的推迟（3）证明和可通过用下列公式表出 , 解：(1) 由洛仑兹规范： . 由代入得 所以 由必须满足协变性，即规范不变性，所以 由必须满足方程 所以后面不能有只有（2）由达朗贝尔方程 将 代入得： 所以 由后面 ，所以后面不能随意加常失两边不能随意加梯度场.所以只有所以 由于此方程与相似可由书P或做如下代换 ，得解为 （v为场源）(3) 由将（2）（3）代入（1）得: （5） 将（4）代入（5）式得 由 得： （6）由 得：6. 两个质量，电荷都相同的粒子相向而行发生碰撞，证明电偶极辐射和磁偶极辐射都不会发生解： 设两粒子运行得方向为轴方向，由题意有由 ， 所以由书式得 则 由牛顿的三定律得 所以 B=0同理( 所以电偶极辐射为零. 由磁矩的定义有 又由 ，由题意所以磁偶极辐射为0.7. 设有一球对称的电荷分布，以频率w沿径向作简谐振动，求辐射场，并对结果给以物理解释.解：本题为球对称问题，所以用球坐标. 由题意：电荷分布为球对称性， 所以有： 取微元，在某时刻（）处有 = + 由 所以 所以不会发生辐射8. 一飞轮半径为R，并有电荷均匀分布在其边缘上，总电量为Q，设此分轮以恒定角度旋转，求辐射场。解：使用柱坐标：由题意 所以 0所以没有电偶极辐射 所以， 所以没有磁偶极辐射飞轮没有辐射9用电荷守恒定律，验证A和的推迟势满足洛伦兹条件解： (c=)第一项化为面积分，由于积分区域V包括所有电流在内，没有电流通过区域的界面S，因而这面积分为零。第二项由于所以恒为0。所以10半径为的均匀永磁体，磁化强度为，球以恒定角速度绕通过球心而垂直于的轴旋转，设，求辐射场和能流。解：坐标原点取在球心，Z轴为小球的转动轴。因为以角速度垂直于Z轴转动，因此，它可以分解为x方向和y方向两个相位差为的线振动：小球的总磁矩为于是我们得到这旋转磁化球的辐射场 平均辐射能流为11. 带电粒子e作半径为a的非相对论醒圆周运动，回旋频率为，求远处的辐射电磁场和辐射能流。解：所以 利用 12. 设有一电矩振幅为，频率为的电偶极子距理想导体平面为a/2处, 平行于导体平面，设，求处电磁场和辐射能流。解： 产生的辐射场为：因故r2r1 ,于是得 13 设有线偏振平面波照射到一个绝缘介质球上，引起介质球极化，极化质量是随时间变化的，因而产生