2017_18学年高中数学第二章2.2.2向量减法运算及其几何意义学案含解析.docx

2.2.2向量减法运算及其几何意义相反向量提出问题问题1：一个数a的相反数是什么？提示：a.问题2：一个向量有相反向量吗？提示：有，向量a的相反向量是a.导入新知相反向量与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a.(1)规定：零向量的相反向量仍是零向量；(2)(a)a；(3)a(a)(a)a0；(4)若a与b互为相反向量，则ab，ba，ab0.化解疑难对相反向量的理解(1)两个非零向量a与b互为相反向量应具备两个条件：长度相等；方向相反二者缺一不可(2)与互为相反向量，且0.向量的减法提出问题问题1：两个相反数的和为零，那么两个相反向量的和也为零吗？提示：不是，是零向量问题2：根据向量加法，如何求作ab?提示：先作出b；再按三角形法则或平行四边形法则进行导入新知向量的减法(1)定义：aba(b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量(2)几何意义：以O为起点，作向量a，b，则 ab，如图所示，即ab可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量化解疑难透析差向量的作法(1)表示ab.强调：差向量“箭头”指向被减向量(2)可以用向量减法的三角形法则作差向量，也可以用向量减法的定义aba(b)(即平行四边形法则)作差向量，显然，后一种方法作图较烦琐作非零向量a，b的差向量ab，可以简记为“共起点，连终点，指向被减”向量的减法运算例1化简：(1)()()；(2)()()解(1)()()()()0.(2)()()()()0.类题通法1向量减法运算的常用方法2向量加减法化简的两种形式(1)首尾相连且为和；(2)起点相同且为差做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用活学活用化简下列各式：(1)；(2)；(3).答案：(1)(2)(3) 向量的减法及其几何意义例2(1)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是()ABCD0(2)如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量abc.解(1)A(2)如图所示，在平面内任取一点O，作a，b，则ab，再作c，则abc.类题通法求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如ab，可以先作b，然后作a(b)即可(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量活学活用在本例(2)的条件下作出向量：(1)abc；(2)abc.答案：如图所示利用已知向量表示未知向量例3如图，解答下列各题：(1)用a，d，e表示；(2)用b，c表示；(3)用a，b，e表示；(4)用d，c表示.解由题意知，a，b，c，d，e，则(1)dea.(2)bc.(3)abe.(4)()cd.类题通法用已知向量表示某向量的基本步骤第一步：观察各向量的位置；第二步：寻找(或作)相应的平行四边形或三角形；第三步：运用法则找关系；第四步：化简结果活学活用如图，已知a，b，c，d，f，试用a，b，c，d，f表示以下向量：(1)；(2)；(3)；(4)；(5).答案：(1)ca(2)da(3)db(4)bafc(5)fd典例设点M是线段BC的中点，点A在线段BC外，|216，|，则|()A8B4C2 D1解析以，为邻边作平行四边形ACDB，则由向量加、减法的几何意义可知，因为|，所以|.又四边形ACDB为平行四边形，所以四边形ACDB为矩形，故ACAB.则AM为RtABC斜边BC上的中线，因此，|2.答案C多维探究1平行四边形中有关向量的以下结论，在解题中可以直接使用：(1)对角线平方和等于四边的平方和，即|ab|2b|22(|a|2|b|2)；(2)若|ab|ab|，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形2高考对向量加法、减法的考查，重在考查对加法法则、减法法则的理解，要特别注意首尾顺次相接的若干向量的和为0.一般将向量放在具体的几何图形中，常见的有三角形、四边形(平行四边形、矩形、菱形)、正六边形等活学活用1如图，在正六边形ABCDEF中，()A0BC D答案：D2如图，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则()A0B0C0D0答案：A随堂即时演练1在三角形ABC中，a，b，则()AabBbaCab Dab答案：D2化简以下各式：(1)；(2)；(3) .结果为零向量的式子个数是()A0B1C2D3答案：D3.如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中b，c，则等于_答案：bc4化简的结果是_答案： 5已知任意四边形ABCD，E为AD的中点，F为BC的中点，求证：.证明：如图，在四边形CDEF中，0，所以.在四边形ABFE中，0，所以.，得()()()E，F分别是AD，BC的中点，0，0，.课时达标检测一、选择题1若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()ABC D答案：B2在ABC中，|1，则|的值为()A0 B1C. D2答案：B3已知一点O到ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，则向量等于()Aabc BabcCabc Dabc答案：B4有下列不等式或等式：|a|b|ab|a|b|；|a|b|ab|a|b|；|a|b|ab|a|b|；|a|b|ab|a|b|.其中，一定不成立的个数是()A0 B1C2 D3答案：A5平面上有三点A，B，C，设m，n，若m，n的长度恰好相等，则有()AA，B，C三点必在同一直线上BABC必为等腰三角形且B为顶角CABC必为直角三角形且B90DABC必为等腰直角三角形答案：C二、填空题6若a，b为相反向量，且|a|1，|b|1，则|ab|_，|ab|_.答案：027在正六边形ABCDEF中，若AB1，则|_.答案：28设平面向量a1，a2，a3满足a1a2a30，如果平面向量b1，b2，b3满足|bi|2|ai|，且ai顺时针旋转30后与bi同向，其中i1,2,3，则b1b2b3_.答案：0三、解答题9如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于一点O，若a，b，c，求证：cab.证明：在ABCD中，cab().10如图，在正五边形ABCDE中，若a，b，c，d，e，求作向量acbde.解：acbde(ab)(cde)()().如图，连接AC，并延长至点F，使CFAC，则.所以，即为所求作的向量acbde.11设O是A