文科数学高考立体几何考点总结.pdf

立体几何立体几何考点总结考点总结 文科 文科 一一 线面位置关系的证明与判定线面位置关系的证明与判定 知识知识梳理 梳理 例1 四 棱 锥中 分别为的中点 求证 求证 例 2 在四棱锥PABCD 中ABPAD 平面 ABCD PDAD E PB的中点 F是CD上的点 且 1 2 DFAB PH为PAD 中AD边上的高 1 证明 PHABCD 平面 2 若121PHADFC 求三棱锥EBCF 的体积 3 证明 EFPAB 平面 例 3 2010 安徽卷 如图 在多面体ABCDEF中 四边形ABCD是正方形 EF AB EFFB 22ABEF 90BFC BFFC H为BC的中点 求证 FH 平面EDB 求证 AC 平面EDB 求四面体BDEF 的体积 H FE D C B A 例 4 2011 安徽卷文 如图 ABEDFC为多面体 平面ABED与平面ACFD垂直 点 O在线段AD 上 1OA 2OD OAB OAC ODE ODF 都是正三角形 证明直线 BCEF 求棱锥FOBED 的体积 例 5 2009 安徽卷文 如图 ABCD是边长为2的正方形 直线l与平面ABCD平行 E 和F式l上的两个不同点 且EAED FBFC E 和 F 是平面ABCD内的两点 EE 和 FF 都与平面ABCD垂直 证明 直线EF 垂直且平分线段AD 若60EADEAB 2EF 求多面体ABCDEF的体积 A B C D E F 第 20 题 例 6 2014 安徽卷理 如图 1 5 四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 A1A 底面 ABCD 四边 形 ABCD 为梯形 AD BC 且 AD 2BC 过 A1 C D 三点的平面记为 BB1与 的交点 为 Q 图 1 5 1 证明 Q 为 BB1的中点 2 求此四棱柱被平面 所分成上下两部分的体积之比 例 7 2014 安徽卷文 如图 1 5 所示 四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 8 的正方形 四条侧棱长均为 2 17 点 G E F H 分别是棱 PB AB CD PC 上共面的四点 平面 GEFH 平面 ABCD BC 平面 GEFH 图 1 5 1 证明 GH EF 2 若 EB 2 求四边形 GEFH 的面积 例 8 2013 安徽卷理 如图 圆锥顶点为P 底面圆心为O 其母线与底面所成的角为 22 5 AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦 轴OP与平面PCD所成的角为 60 证明 平面PAB与平面PCD的交线平行于底面 求cosCOD 例 9 2012 安徽卷文 如图 长方体中 底面是正方形 是的中点 是棱上任意一点 证明 如果 2 求 的长 1111 DCBAABCD 1111 DCBAO BDE 1 AA BD 1 EC ABAE2 1 ECOE 1 AA 例 10 2008 安徽卷文理 如图 在四棱锥OABCD 中 底面ABCD四边长为1的菱形 4 ABC OAABCD 底面 2OA M为OA的中点 N为BC的中点 证明 直线MNOCD平面 求异面直线AB与MD所成角的大小 求点B到平面OCD的距离 例 11 2007 安徽卷文理 如图 在六面体 1111 DCBAABCD 中 四边形ABCD是边长为 2的正方形 四边形 1111 DCBA是边长为1的正方形 1 DD平面 1111 DCBA 1 DD平面 ABCD 2 1 DD 求证 11 AC与AC共面 11 B D与BD共面 求证 平面 11 A ACC 平面 11 B BDD 求二面角 1 ABBC 的余弦值大小 N M A B D C O 例 12 如图 已知四边形 ABCD 是平行四边形 点 P 是平面 ABCD 外的一点 则在四棱 锥 P ABCD 中 M 是 PC 的中点 在 DM 上取一点 G 过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH 求证 AP GH 例 13 如图 直三棱柱 ABC A1B1C1中 D E 分别是 AB BB1的中点 1 证明 BC1 平面 A1CD 2 设 AA1 AC CB 2 AB 2 2 求三棱锥 C A1DE 的体积 二 二 角度角度 距离问题计算距离问题计算 例 1 如图 在正方体 1111 ABCDABC D 中 MN 分别是CD 1 CC的中点 则异面 直线 1 AM与DN所成的角的大小是 例 2 直三棱柱 111 ABCABC 中 若90BAC 1 ABACAA 则异面直线 1 BA 与 1 AC所成的角等于 A 30 B 45 C 60 D 90 例 3 正方体 1111 ABCDABC D 中 1 BB与平面 1 ACD所成角的余弦值为 例 4 已知正四棱锥 111111 2 ABCDABC DAAABCDBDC 中 则与平面所成角的正 弦值等于 例 5 已知三棱锥中 底面为边长等于 2 的等边三角形 垂直于底面 那么直线与平面所成角的正弦值是 A B C D 例 6 四棱锥SABCD 中 底面ABCD为平行四边形 侧面SBC 底面ABCD 已知 45ABC 2AB 2 2BC 3SASB 证明SABC 求直线SD与平面SAB所成角的大小 N M B1 A1 C1 D1 B D C A SABC ABCSA ABC3 SA ABSBC 3 4 5 4 7 4 3 4 D B C A S 例 7 如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面 1 AEC F所截面而得到的 其 中 1 4 2 3 1ABBCCCBE 求BF的长 求点C到平面 1 AEC F的距离 例 8 902 PABCDABCBADBCADPABPAD 中 与都是边长为2等边三角 形 I 证明 PBCD II 求点 APCD到平面的距离 A B C D E F C1 三 三 有关几何体有关几何体体积计算体积计算 直接公式法直接公式法 分割法分割法 转化法转化法 补形法 模型法 补形法 模型法 例 1 如图 直三棱柱 111 ABCABC 的体积为V 点 P Q分别在侧棱 1 AA和 1 CC上 1 APCQ 则四棱锥BAPQC 的体积为 A A 2 V B B 3 V C C 4 V D D 5 V 例 2 如图 2 已知多面体ABCDEFG 中 ABACAD 两两互相垂直 平面ABC 平 面DEFG 平面BEF 平面ADGC 2ABADDC 1ACEF 则该多面体的体积 为 2 4 6 8 例 3 如图 5 一圆柱被一平面所截 已知被截后几何体的最长侧面母线长为 4 最短侧 面母线长为 1 且圆柱底面半径长为 2 则该几何体的体积等于 Q P C B A C B A 例 4 如图 三棱柱 111 ABCABC 中 若 E F分别为 AB AC的中点 平面 11 EBC将三 棱柱分成体积为 12 V V的两部分 那么 12 V V 例 5 如图 在多面体ABCDEF中 已知平面ABCD是边长为3的正方形 EFAB 3 2 EF 且EF与平面ABCD的距离为2 则该多面体的体积为 A 9 2 5 6 15 2 例 6 在三棱锥 A BCD 中 AB CD 6 AC BD AD BC 5 则该三棱锥的外接球 的表面积为 例 7 2013 年年安徽安徽 如图 四棱锥PABCD 的底面ABCD是边长为 2 的菱形 60BAD 已知2 6PBPDPA 证明 PCBD 若E为PA的中点 求三棱锥PBCE 的体积 AB DC EF 例 8 如图 四棱锥 P ABCD 中 PA 底面 ABCD PA 2 3 BC CD 2 ACB ACD 3 1 求证 BD 平面 PAC 2 若侧棱PC上的点F满足7PFFC 求三棱锥PBDF 的体积 例 9 如图 三棱柱 111 ABCABC 中 CACB 1 ABAA 1 60BAA 证明 1 ABAC 若2ABCB 1 6AC 求三棱柱 111 ABCABC 的体积 例 10 如图 直三棱柱 ABCA B C 90BAC 2 ABAC 1AA 点 M N分别为 A B和 B C的中点 证明 MN 平面 A ACC 求三棱锥 AMNC 的体积 A BC P M A BC P M 例 11 在如图所示的多面体PMBCA中 平面 PAC平面ABC PAC 是边长为 2 的 正三角形 PM BC 且52 42 ABPMBC 求证 BCPA 求多面体PMBCA的体积 四 四 探索探索 存在性问题存在性问题 主要主要有探索线面位置关系有探索线面位置关系 对命题条件的探索常采用以下三种方法 1 先猜后证 即先观察与尝试给出条件再给出证明 2 先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件 再证明充分性 3 把几何问题转化为代数问题 探索出命题成立的条件 1 探究线面平行问题 探究线面平行问题 例 1 如图 在四棱锥中 底面为菱形 为的 中点 1 若 求证 平面平面 2 点在线段上 试确定 的值 使平面 PABCD ABCD60BAD QAD PAPD PQB PAD MPCPMtPC t PAMQB 例2 如 图 三 棱 柱 111 ABCABC 中 侧 面 11 AACC 底 面ABC 11 2 AAACACABBC 且ABBC O为AC中点 在 1 BC上是否存在一点E 使得 OE平面 1 A AB 若不存在 说明理由 若存在 确定点E 的位置 例 3 如图 在底面是菱形的四棱锥 P ABC 中 ABC 600 PA AC a PB PD a2 点 E 在 PD 上 且 PE ED 2 1 I 证明 PA 平面 ABCD II 在棱 PC 上是否存在一点 F 使 BF 平面 AEC 证明你的结论 B C D A P E 1 A B COA 1 B 1 C 2 探究探究线面线面垂直与面面垂直与面面垂直 垂直 例 1 如图 在四棱锥 S ABCD 中 平面 SAD 平面 ABCD 四边形 ABCD 为正方形 且 P 为 AD 的中点 Q 为 SB 的中点 M 为 BC 的中 点 1 求证 CD 平面 SAD 2 求证 PQ 平面 SCD 3 若 SA SD 在棱 SC 上是否存在点 N 使得平面 DMN 平面 ABCD 并证明你的结论 例 2 如图 边长为 4 的正方形 ABCD 所在平面与正三角形 PAD 所在平面互相垂直 M Q 分别为 PC AD 的中点 1 求四棱锥 P ABCD 的体积 2 求证 PA 平面 MBD 3 试问 在线段 AB 上是否存在一点 N 使得平面 PCN 平面 PQB 若存在 试指出点 N 的位置 并证明你的结论 若不存在 请说明理由 例 3 四棱锥PABCD 的底面是矩形 侧面PAD是正三角形 且侧面PAD 底面 ABCD 当 AB AD 的值等于多少时 能使PBAC 并给出证明 例 4 正 ABC的边长为 4 CD是AB边上的高 E F分别是AC和BC边的中点 现将 ABC沿CD翻折成直二面角ADCB 在线段BC上是否存在一点P 使APDE 证明 你的结论 A B CD E F A B CD E F A B C D E F A B C D E F C B D A P F 例 5 如图 在四棱锥PABCD 中 底面ABCD为矩形 侧棱 PA 底面 ABCD AB 3 BC 1 PA 2 E 为 PD 的中点 求直线 AC 与 PB 所成