文科一轮学案2.4二次函数与幂函数.doc

第一章 集合与逻辑 推理与证明学案2.4 二次函数与幂函数自主预习案 自主复习 夯实基础【双基梳理】1二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x) 顶点式：f(x) 零点式：f(x) (2)二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，)上单调递增；当0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，)上单调递减【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是.( )(2)二次函数yax2bxc，xR，不可能是偶函数( )(3)在yax2bxc(a0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小( )(4)函数y2x是幂函数( )(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点( )(6)当n0时，幂函数yxn是定义域上的减函数( )考点探究案 典例剖析 考点突破考点一 求二次函数的解析式【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式 变式训练： (1)二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x2，最小值为1，则它的解析式是_(2)若函数f(x)(xa)(bx2a)(常数a，bR)是偶函数，且它的值域为(，4，则该函数的解析式f(x)_. 考点二 二次函数的图象与性质【例2】命题点1二次函数的单调性例2已知函数f(x)x22ax3，x4,6，(1)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间4,6上是单调函数；(2)当a1时，求f(|x|)的单调区间命题点2二次函数的最值例3已知函数f(x)x22x，若x2,3，则函数f(x)的最大值为_. 引申探究已知函数f(x)x22x，若x2，a，求f(x)的最小值命题点3二次函数中的恒成立问题例4(1)设函数f(x)ax22x2，对于满足1x0，则实数a的取值范围为_(2)已知a是实数，函数f(x)2ax22x3在x1,1上恒小于零，则实数a的取值范围为_变式训练：若二次函数f(x)ax2bxc (a0)，满足f(x2)f(x)16x且f(0)2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若存在x1,2，使不等式f(x)2xm成立，求实数m的取值范围考点三 幂函数的图象和性质【例3】例5(1)已知幂函数f(x)kx的图象过点，则k等于()A. B1 C. D2(2)若(2m1)(m2m1)，则实数m的取值范围是()A. B.C(1,2) D.变式训练：(1)已知幂函数f(x)的图象经过(9,3)，则f(2)f(1)等于()A3 B1C.1 D1(2)若(a1)f(1)，则()Aa0,4ab0 Ba0,2ab0 Da0)，且f(m)0 Df(m1)04若函数f(x)x2axa在区间0,2上的最大值为1，则实数a等于()A1 B1C2 D25幂函数yx1，yxm与yxn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为()A1m0n1 B1n0mC1m0n D1n0m16对于任意实数x，函数f(x)(5a)x26xa5恒为正值，则a的取值范围是_7当0x0)f(x)ax2bxc(a0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，)上单调递增；当0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，)上单调递减【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是.()(2)二次函数yax2bxc，xR，不可能是偶函数()(3)在yax2bxc(a0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小()(4)函数y2x是幂函数()(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点()(6)当n0时，幂函数yxn是定义域上的减函数()考点探究案 典例剖析 考点突破考点一 求二次函数的解析式【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式解方法一(利用一般式)设f(x)ax2bxc(a0)由题意得解得所求二次函数为f(x)4x24x7.方法二(利用顶点式)设f(x)a(xm)2n.f(2)f(1)，抛物线的图象的对称轴为x.m.又根据题意函数有最大值8，n8，yf(x)a28.f(2)1，a281，解得a4，f(x)4284x24x7.方法三(利用零点式)由已知f(x)10的两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a1.又函数的最大值是8，即8.解得a4，所求函数的解析式为f(x)4x24x7.变式训练： (1)二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x2，最小值为1，则它的解析式是_(2)若函数f(x)(xa)(bx2a)(常数a，bR)是偶函数，且它的值域为(，4，则该函数的解析式f(x)_.答案(1)f(x)x22x1(2)2x24解析(1)依题意可设f(x)a(x2)21，又其图象过点(0,1)，4a11，a.f(x)(x2)21.f(x)x22x1.(2)由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称，b2，f(x)2x22a2，又f(x)的值域为(，4，2a24，故f(x)2x24.考点二 二次函数的图象与性质【例2】命题点1二次函数的单调性例2已知函数f(x)x22ax3，x4,6，(1)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间4,6上是单调函数；(2)当a1时，求f(|x|)的单调区间解(1)函数f(x)x22ax3的图象的对称轴为xa，要使f(x)在4,6上为单调函数，只需a4或a6，解得a4或a6.故a的取值范围是(，64，)(2)当a1时，f(|x|)x22|x|3其图象如图所示又x4,6，f(|x|)在区间4，1)和0,1)上为减函数，在区间1,0)和1,6上为增函数命题点2二次函数的最值例3已知函数f(x)x22x，若x2,3，则函数f(x)的最大值为_. 答案8解析f(x)(x1)21，2x3(如图)，f(x)maxf(2)8.引申探究已知函数f(x)x22x，若x2，a，求f(x)的最小值解函数yx22x(x1)21，对称轴为直线x1，x1不一定在区间2，a内，应进行讨论，当21时，函数在2,1上单调递减，在1，a上单调递增，则当x1时，y取得最小值，即ymin1.综上，当21时，ymin1.命题点3二次函数中的恒成立问题例4(1)设函数f(x)ax22x2，对于满足1x0，则实数a的取值范围为_(2)已知a是实数，函数f(x)2ax22x3在x1,1上恒小于零，则实数a的取值范围为_答案(1)(2)解析(1)由题意得a对1x4恒成立，又22，.(2)2ax22x30在1,1上恒成立当x0时，适合；当x0时，a2，因为(，11，)，当x1时，右边取最小值，所以a2xm成立，求实数m的取值范围解(1)由f(0)2，得c2，所以f(x)ax2bx2 (a0)，f(x2)f(x)a(x2)2b(x2)2ax2bx24ax4a2b.因为f(x2)f(x)16x，所以4ax4a2b16x，解得a4，b8.所以f(x)4x28x2.(2)由f(x)2xm，可得mf(x)2x4x210x2，设g(x)4x210x2，x1,2则g(x)maxg(2)2，m(m2m1)，则实数m的取值范围是()A. B.C(1,2) D.答案(1)C(2)D解析(1)由幂函数的定义知k1.又f，所以，解得，从而k.(2)因为函数yx的定义域为0，)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于解2m10，得m；解m2m10，得m或m.解2m1m2m1，得1m2，综上所述，m2.变式训练：(1)已知幂函数f(x)的图象经过(9,3)，则f(2)f(1)等于()A3 B1C.1 D1(2)若(a1)(32a)，则实数a的取值范围是_答案(1)C(2)1，)解析(1)设幂函数为f(x)x，则f(9)93，即323，所以21，即f(x)x，所以f(2)f(1)1，故选C.(2)易知函数yx的定义域为0，)，在定义域内为增函数，所以解之得1af(1)，则()Aa0,4ab0 Ba0,2ab0 Daf(1)，所以函数图象应开口向上，即a0，且其对称轴为x2，即2，所以4ab0，故选A.2已知函数f(x)ax2x5的图象在x轴上方，则a的取值范围是()A. B.C. D.答案C解析由题意知即得a.3函数yx的图象是()答案B解析显然f(x)f(x)，说明函数是奇函数，同时由当0x1时，xx；当x1时，xx，知只有B选项符合4已知函数yx22x3在闭区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为_答案1,2解析如图，由图象可知m的取值范围是1,25(教材改编)已知幂函数yf(x)的图象过点，则此函数的解析式为_；在区间_上递减答案yx(0，)巩固提高案 日积月累 提高自我123.4.5.6.7.8.910.【体验高考】1. （2012课标全国，1，5分）已知集合,，则中所含元素的个数为A.3 B.6 C.8 D.102.3.学案1.2 命题与逻辑联结词【学习目标】【重点难点】自主预习案 自主复习 夯实基础【双基梳理】【课前热身】1. 2.3.4.5.考点探究案 典例剖析 考点突破考点一 集合的基本概念【例1】变式训练： 考点二 集合间的基本关系【例2】变式训练：考点三 集合的基本运算【例3】变式训练：【感悟与反思】巩固提高案 日积月累 提高自我123.4.5.6.7.8.910.【体验高考】1. 2.3.学案1.3 充要条件与命题四种形式【学习目标】【重点难点】自主预习案 自主复习 夯实基础【双基梳理】【课前热身】1. 2.3.4.5.考点探究案 典例剖析 考点突破考点一 集合的基本概念【例1】变式训练： 考点二 集合间的基本关系【例2】变式训练：考点三 集合的基本运算【例3】变式训练：【感悟与反思】巩固提高案 日积月累 提高自我1如果函数f(x)x2ax3在区间(，4上单调递减，则实数a满足的条件是()Aa8 Ba8Ca4 Da4答案A解析函数图象的对称轴为x，由题意得4，解得a8.2函数f(x)(m2m1)xm是幂函数，且在x(0，)上为增函数，则实数m的值是()A1 B2C3 D1或2答案B解析f(x)(m2m1)xm是幂函数m2m11m1或m2.又在x(0，)上是增函数，所以m2.3设函数f(x)x2xa(a0)，且f(m)0 Df(m1)0，f(x)的大致图象如图所示由f(m)0，得1m0，f(m1)f(0)0.4若函数f(x)x2axa在区间0,2上的最大值为1，则实数a等于()A1 B1C2 D2答案B解析函数f(x)x2axa的图象为开口向上的抛物线，函数的最大值在区间的端点取得，f(0)a，f(2)43a，或解得a1.5幂函数yx1，yxm与yxn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为()A1m0n1 B1n0mC1m0n D1n0m1答案D解析可作直线x2，观察直线x2和各图象交点的纵坐标可知212n202m21，1n0m1.6对于任意实数x，函数f(x)(5a)x26xa5恒为正值，则a的取值范围是_答案(4,4)解析由题意得解得4a4.7当0xg(x)f(x)解析如图所示为函数f(x)，g(x)，h(x)在(0,1)上的图象，由此可知，h(x)g(x)f(x)8已知函数f(x)x22ax2a4的定义域为R，值域为1，)，则a的值为_答案1或3解析由于函数f(x)的值域为1，)，所以f(x)min1.又f(x)(xa)2a22a4，当xR时，f(x)minf(a)a22a41，即a22a30，解得a3或a1.9已知函数f(x)ax2bx1(a，b为实数，a0，xR)(1)若函数f(x)的图象过点(2,1)，且方程f(x)0有且只有一个根，求f(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，当x1,2时，g(x)f(x)kx是单调函数，求实数k的取值范围解(1)因为f(2)1，即4a2b11，所以b2a.因为方程f(x)0有且只有一个根，所以b24a0.所以4a24a0，所以a1，所以b2.所以f(x)x22x1.(2)g(x)f(x)kxx