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课件可分离变量的微分方程备课讲稿 可分离变量的微分方程第二节一阶微分方程的一般形式(,)y fxy?(,)(,)0PxydxQxydy?（变量与对称）x y若将看作函数，则有x若将看作函数，则有y(,)(,)0)(,)dy PxyQxydxQxy?(,)(,)0)(,)dx QxyPxydyPxy?对称形式讨论一阶微分方程的解法?()()1gydyhxdx?()()y MxNy?22dyxydx?ln0xy yy?()()0xy xxy yeedxe edy?11y xy xe edydxe e? 一、可分离变量的微分方程均可化为 (1)的形式.例如22dyxdxy?lndy dxy y x?形如或或(,)y fxy?问题22dyxdxy?21x Cy?21yx C? (1) (1)0xy yyee dxeedy?对方程两边积分()()gydyhxdx?设设及依次为及的原函数，()G y()H x()g y()h x()()Gy HxC?可分离变量方程的解法分离变量法由于关系式 (2)含有任意常数，故称为（隐式）通解.称为微分方程 (1)的（隐式）解。 于是有将方程分离变量()()gydy hxdx?例例2求解微分方程ln0xyyy?lndy dxyy x?解解分离变量两端积分lndy dxyy x?lnln ln ln,yxC?ln,y Cx?ln.xyxye?或或为为所所求求特特解ln.yCx?是是通通解满足初始条件e yx?1的特解.1xy e?由，得,1ln?e C例例33题衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量M成比正比,已知00M Mt?,求衰变过程中铀含量)(t M随时间t律变化的规律.解解,dtdM衰变速度由题设条件，有00tdMMdtM M? (0)?衰衰变变系系数 (1)建立微分方程和定解条件初值问题00tdMMdtM M?dtMdM?,?dtMdM00,tM M?代代入,lnlnC tM?,tCe M?即00Ce M?得,C?te MM?0衰变规律分离变量两边积分0MtOM（ （2）解微分方程利用死亡生物体内放射性同位素碳14?C14记作的衰变规律，推测生物体的死亡时间，用于考古、刑侦等方面.0tM Me?放射性物质都具有类似的衰变规律假设某人每天的饮食可产生热量，用于基本新陈代谢每天所消耗的热量为kg.J/d?CJ A，用于锻炼所消耗的热量为J/kg.DJ B为简单计，假定增加（或减少）体重所需热量全由脂肪提供，脂肪的含热量为求此人体重随时间的变化规律.例例4（减肥问题）解 （1）建立微分方程与定解条件设设t时刻（d）的体重为?.t w根据热量平衡原理，在dt时间内，人的热量的改变量吸收的热量消耗的热量因此得?t tCw B A wD dd?,DCbDB Aa?记则得方程?.t bw adtdw?设开始减肥时刻为,0?t，体重为0w于是初值条件为?.00w twt?（ （2）解微分方程?00tdwa bw tdtw tw?初值问题分离变量两边积分?dwdta bwt?得通解为代入初值条件可得特解为?0bta awtw ebb?11lna bwtt Cb?btaw tCeb?1btbCabwt e?1lnabwt btbC?11bC btawte ebb?C（ （3）由上面的结果易得如下结论?0bta awtw ebb?bat wt?lim随时间的增加，趋于常数a ABb D?节制饮食调节新陈代谢可以达到理想体重?0bta awtw ebb?,0BAa?即若.0bte ww?则?lim0twt?饮食量仅够维持新陈代谢身体快速消瘦危险！0,0,b C?若若即.,0w atwadtdw?解得则方程变为?.t bwadtdw?只吃饭、不锻炼.?wt时，当身体越来越胖危险！,DCbDB Aa?记要达到理想体重，或者限时减肥或增肥，b a和和的合适组合.都可设计出?0bta awtw ebb?小小结 一、可分离变量微分方程解法然后两端积分.将不同的变量写在等式的两端，分离变量?gydy hxdx? 二、微分方程的简单应用用微分方程解决实际问题的一般步骤1.建立微分方程和定解条件；2.根据方程的类型，用相应的方法求出通解，并根据定解条件确定特解;3.对所得结果进行具体分析，解释它的实际意义.如果与实际相差甚远，那么就应修改模型，重新计算.数学模型思考题下列微分方程是否为可分离变量方程?221.yx x yy?222. (1)10y xyxy?3.210yedx xdy?不是是是是是作业p.269习题1221. (3), (7);2. (1), (4);4;6.有高为1米的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为1平方厘米(如如图图).开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.例例5解解由力学知识得,水从孔口流出的流量为,262.0gh SdtdVQ?流量系数孔口截面面积重力加速度cm100horhdh h?)1(,262.0dt gh dV?另一方面，设在微小的时间间隔,dt tt?水面的高度由h降至,h dh?,2dh rdV?则,200)10(100222h hh r?)2(,)200(2dh hhdV?比较 (1)和 (2)，得微分方程:dh hh)200(2?,262.0dt gh?1?S?,cm2dh hh)200(2?,262.0dt gh?分离变量