数据同化基础知识和理论.doc

数据同化基础知识和理论一、基础理论知识1高斯概率分布函数Px=12e-12(x-x)22其中，x=-+xp(x)dx，2=-+(x-x)2p(x)dx2两个相互独立的联合高斯概率分布函数P(AB)=P(A)P(B)Px1=121e-12(x1-x1)212Px2=122e-12(x2-x2)222Px1,x2=1212e-12(x1-x1)212+(x2-x2)2223N个相互独立的联合高斯概率分布函数P(A1A2A3An)=P(A1)P(A2)P(A3)P(An)Px1,x2,x3,xn=1(2)n2123ne-12(x1-x1)212+(x2-x2)222+(x3-x3)232+(xn-xn)2n24点的最优估计假设每组观测都是无偏的，则有Px1,x2,x3,xn=1(2)n2123ne-12(x1-x)212+(x2-x)222+(x3-x)232+(xn-x)2n2对X的最优估计就是使P达到最大值，即I=(x1-x)212+(x2-x)222+(x3-x)232+(xn-x)2n2达到最小值,I对x求导，可得dIdx-2(x1-x)12-2(x2-x)22-2(x3-x)32-2(xn-x)n2求I的最小值，则dIdx-2(x1-x)12-2(x2-x)22-2(x3-x)32-2(xn-x)n20求得x=x112+x222+x332+xnn2112+122+132+1n2一个点的最优估计与观测值的方差有关。5条件概率和贝叶斯理论（Bayes Theorem）PAB=P(AB)P(B) PABPABP(B)PBA=P(AB)P(A) PABPBAP(A) PAB=PBAPA/PB假设：A：t时刻的模式值xtB：0到t时的所有观测值Yt则PAB：给定到t时刻的所有观测值后，t时刻模式值的概率分布PxtYtPBA：给定t时刻的模式值后，0到t时刻所有观测值的概率分布。相当于给定0到t-1时刻的所有观测值后得到模式值的情况下，t时刻观测值的概率分布PytxtP(A)：给定0到t-1时刻的所有观测值后，t时刻模式值的概率分布PxtYt-1P(B)：给定0到t-1时刻的所有观测值后，t时刻观测值的概率分布PytYt-1 PxtYt=Pytxt PxtYt-1/ PytYt-1二、最优插值（Optimal Interpolation）假定有三个变量x1、x2、x3，两个观测值y1、y2。变量的分析值为x1a=x1b+W11y1o-y1b+W21y2o-y2bx2a=x2b+W12y1o-y1b+W22y2o-y2bx3a=x3b+W13y1o-y1b+W23y2o-y2b求x1的最优估计，即方差(x1a-x1t)最小x1a-x1t=(x1b-x1t)+W11y1o-y1b+W21y2o-y2b(x1a-x1t)2=(x1b-x1t)+W11y1o-y1b+W21y2o-y2b2=(x1b-x1t)2+W112y1o-y1b2+W212y2o-y2b2+2W11(x1b-x1t) y1o-y1b+2W21(x1b-x1t)y2o-y2b+2W11W21y1o-y1by2o-y2b因为y1o-y1b(y1o-y1t)-(y1b-y1t)y2o-y2b(y2o-y2t)-(y2b-y2t)代入上式，可得(x1a-x1t)2=(x1b-x1t)2+W112y1o-y1b2+W212y2o-y2b2+2W11(x1b-x1t) y1o-y1t-2W11(x1b-x1t) y1b-y1t+2W21(x1b-x1t)y2o-y2t-2W21(x1b-x1t)y2b-y2t+2W11W21y1o-y1by2o-y2b(x1a-x1t)2=(x1b-x1t)2+W112y1o-y1b2+W212y2o-y2b2+2W11(x1b-x1t) y1o-y1t-2W11(x1b-x1t) y1b-y1t+2W21(x1b-x1t)y2o-y2t-2W21(x1b-x1t)y2b-y2t+2W11W21y1o-y1by2o-y2b (1)模式值与观测值是独立的，所以有(x1b-x1t) y1o-y1t=0(x1b-x1t) y2o-y2t=0y1o-y1b2=1o2+1b2y2o-y2b2=2o2+2b2y1o-y1by2o-y2b=(y1o-y1t)-(y1b-y1t)(y2o-y2t)-(y2b-y2t)=(y1o-y1t)(y2o-y2t)+(y1b-y1t)(y2b-y2t)=covy1 o,y2 o+covy1 b,y2 b把以上五个式子代入（1）式，可得(x1a-x1t)21b2-2W11 covx1 b,y1 b-2W21 covx1 b,y2 b+2W11W21covy1 o,y2 o+covy1 b,y2 b+W1121o2+1b2+W2122o2+2b2上式对W11、W21求导：(x1a-x1t)2W11-2 covx1 b,y1 b+2W21covy1 o,y2 o+covy1 b,y2 b+2W111o2+1b2(x1a-x1t)2W21-2 covx1 b,y2 b+2W11covy1 o,y2 o+covy1 b,y2 b+2W212o2+2b2方差(x1a-x1t)2达到最小，则(x1a-x1t)2W110 且 (x1a-x1t)2W210即W21covy1 o,y2 o+covy1 b,y2 b+W111o2+1b2covx1 b,y1 bW11covy1 o,y2 o+covy1 b,y2 b+W212o2+2b2 covx1 b,y2 b写成矩阵形式为1o2+1b2covy1 o,y2 o+covy1 b,y2 bcovy1 o,y2 o+covy1 b,y2 b2o2+2b2W11W21covx1 b,y1 bcovx1 b,y2 b定义B1b2covy1 b,y2 bcovy1 b,y2 b2b2，O=1o2covy1 o,y2 ocovy1 o,y2 o2o2b=covx1 b,y1 bcovx1 b,y2 bB+OW=b全矩阵形式：定义x：代表模式变量的N维列向量yo：代表观测值的K维列向量xb：同化观测值前的模式状态向量，称为背景状态xa：同化观测值后的模式状态向量，称为分析状态W：NK维的权重系数矩阵H：把模式格点值投影到观测点的映射矩阵，又称为观测算子，维数为NK一个状态向量的分析值可表示为：xaxb+W(yo-Hxb)三、卡曼滤波（Kalman Filter）假设分析方程存在xaxf+K(yo-Hxf)上标f表示预报（forecast）。对于一个高斯分布的状态量，概率分布函数（PDF）表示为pxa=1(2)ne-12(xa-xa)T(xa-xa)C使pxa达到最大值，相当于令方差最小，所以KWTbB+O=b(B+O)-1B=yf-yt(yf-yt)T=Hxf-Hxt(Hxf-Hxt)T=Hxf-xt(xf-xt)THT=HCfHTb=xf-xt(yf-yt)T=CfHT所以，可以得到K（Kalman gain）的表示式KCfHT(HCfHT+O)-1如果Cf是给定的，则卡曼滤波相当于最优插值，因此，最优插值也称为静态卡曼滤波（stationary Kalman Filter）。四、三维变分（Three dimensional variational algorithm）假设模式背景场与观测值都符合高斯分布，则有PxtYt-1=1(2)nC12e-12(x-xb)TC-1(x-xb)Pytxt=1(2)nR12e-12(yo-Hxa)TR-1(yo-Hxa)PxtYt=Ke-12x-xbTC-1x-xb+yo-HxaTR-1(yo-Hxa)MaxPxtYt=MinJx其中Jx-xbTC-1x-xb+yo-HxaTR-1(yo-Hxa)C为背景误差协方差，R为观测误差协方差。C可以从模式的历史数据时间序列得到。如果C是预先给定的，则三维变分只是最优插值的另外一种表达形式