数学通讯9月教师版文章汇集.pdf

8 ZUl 1 A 1A a B 1 Bea l 2 I Ca m C a m mA 3 ve n n 4 T B yly r C I y r 2 5 201223 X 1 R 1 T z9r 0 xx z r Y lala s t X t X Y a2 Y aa O xp 1 1 2 r P 1 1 2 T 2 P 4 1 5 XP ti 9 B 2015 2 4 14 r 1 3v10 y 0 v 1 1 101 2 3 0 r 1 r10 2 3t 0 3 x 3 y J 2 14 3101 3 2016 13 1 v 13 121 1 3r 2 32 32 1 1 y rk k R 闯以 1 1 0 问题即为 关 U 的 元 次方名c 8u i 2o 恒成 因此 III A O 11i1 1 t 6B4 JiB 思路三 1催体换元 令 十 丁 y z 1则 ub 1 T 一 u十b ry 一 生 丁 所以 当且仅当口 2 时 等 成立 教师可进步引导 学 生思考 上述两个例题中 都可用引人参数的方法解决 其本质是什么 两个 曲线有公共点即方程组有解 此法是否为通法 何 时可以用此方法 还有哪些方法可以解决二元函数 问题 刀气在此基 础上 让 学生归纳出处理二元函数问题 的般策略 如约束条件是不等式时 可以考虑用线 性规划或基本不等式如约束条件是等式时 可考虑 消元转化为元函数或者可以引人参数 转化为方 程有解问题或利用参数的几何意义 数形结合加以 解决i或者建立不等关系 通 过解不等式求出范围 33 聚焦思想突 出应用 剖析核心概念 蕴含的数学思想方法 解读这些 思想方法在数学知识中的前 后连贯性 是核心概念 后续教学 的重中之重无论题目怎么变化 蕴含其 中 的数学思想方法却是永恒的 不少教师在课堂小结 时都会列出本节课的数学思想方法 学生也会随声 附和但学生在具体解题 过程 中却经常想不到运用 如函数与方程思想 学生在处理变量 的范围时 首先 想到函数思想 但如果不能转化为 函数时就没辙了 如 设a l l cl为实数 首项为 a1 公差为 d的等 差数列 a 满足 3a4 1 0求 的取值范围 学 9 时就想不到 同趔就是 及 山 的死 次方程有实48 解 住敬 学思想b法的达川j lf1 的教i 中 如何促进学 l 11 例4 椭圆1 点处1 j线的力名c的教学片断 Pl 题求椭圆r Bi 1 b 0 ti 点P t Vn 1 tu 处的切线方程 l 的 思 路设所求切线方 1为y k 1 1u 十 代人椭圆 方程消去 得到关于的 元二次 方程 内山判 别式等于0化简得 u 十 2u 4B ny n b 1 0U1j ku y tl b Ru 0解得 k 一 所求切线方程为 eu1 c1 y a 由于字母较多 能最终得到结论 的学生很少 教师的启发我们在研究圆锥曲线的性质时是 从哪些方面研究的 范围 对称性顶点 焦点 离 心率准线等 我们是怎样研究 的 图形和方程 我们知道函数与方程紧密联 系在起我们能否从 函数的角度解释 圆锥 曲线的有关性质呢 r 的 范围对应于 函数的定义域和值域 对称性对应于 函 数的奇偶性 顶点与函数的零点对应等 圆锥曲线的 切线与函数部分哪个知识点对应 函数的导数 椭 圆能看做是个函数的图像吗 思路二不妨设y o 0椭圆上半部分的方程可 改写 为 b 求导 得 一 睾 X 可得点P r o yo 了o 土a 处切线的斜率 U 7o 教师 我们知道切线的斜率可以看作是 由割线 的斜率无 限逼近得到的其中蕴含着极限思想借鉴 这种方法可得如下解法 思路三设点Q 山 是圆上异于点 P T oF yo 的 点则割线PQ的斜率是 1l To 里二二塑 当T 一 Xo时 k 14Q 此时 教师可以启发学生 四个元 Eo yo 1 J1 fi 1 4 Jz 思路 1引人零散 设B 吕年第D 期 下 中H l将条件化为 f 1 5u ld B6泸 1 诗句串通的高 数 学 习 题课改计 ltJ l B I B 川串通 次解题之旅从由 使fHi的j题讲w睬不l1l枯燥 生在解题过程中感悟诗句的 意 境促进数学的 理解 诗旬 间渠那得清如许为有源头活水来 1题组 呈现 题1 1椭圆 B 1的 1 i Oi分 别为八1八2点户在C I lI 1 线I 1八 的斜率的取 试范围是 11那么I 线尸八的斜率的取自 1 范 围是 尾巴 1函 一周1n 1 1 N是椭圆l 关f 原 对称的阈 1 址椭圆1任意 点 B穴线 p M 11N的斜率分为 k k o 若lk 1 1Ih1的最小f八力1川椭圆的离心中 为 题 1 3 i X 1ll1 线 1 V 1 r1 o 1 1 M a b 右焦 址 1 i顶点分 川Ji 1 八 过1们八八 的垂线 1 双 曲线交j 门 网 1 才 八H 1八 则 双曲线 的渐近线 的斜率为 常数 动因 C B 点八八分 男 1 为C的左 顶六 I j 相 交j 八H 1 点 点八在第 象限 i H在第 象限 则l 1l 线 八八 1于e 线片 月的交点M的轨迹 方名为 2源头示 在圆 曲线学习中 I而这个消老是大家熟知 的 圆周角定理 的穴径 八月阙 y 另分析与解 以I各 中州 川少 ij r这个常 I 1i i包 找j 1l它 l 你的解 灵气 流动 思路llj 畅il 如这水为何如此清 川S i 因为淄 头总 r l 水 内不停地流 b 3 N J Jal 1 1 1i i 1 I ktA u 1 11lBEB k 舟1 1 1 山l 1线I 八 的斜率的 良范 书1 1 可快速得到直线 尸八的斜 率的取 1 1i以离心华为 J 对j题1 山题意11l知l 1线八 H l i八 的 斜率 Ir 为相反教所以 k A 11 H k 八 k八1 I 1 1j Il b1 b 1ll i t 11f NlK H11 所 1 1 AliN 曲线的i斩近线的斜中 与1 1 1 书之 彩1为之值 川快速得到点M的轨迹方甲 1为 4评析启迪 化解忻1L何 习过程中 像这样的源头还 i很 多鼓励学 1在习翩解决中 多彩 斟 客沾川 It 尔的 解题先满姓 小题 会更快捷 大题 会情助你尽快找 到解题的思路和突破I I 二 诗旬二不识庐山真面 目 只缠身在此山中 1间 虽现 满足八H 2 八 大们 1 是 2解法探究 因 为八1B 2 定 r 4nBr c r b c 2a i Fa 1 a b 1 笋 一 丝 分别求数列 b 十 c 和 b c 的通项公式 2 设 A B C n N 的内角八 B C 所 对的边长分别为a bc 若b c 2a 1l a a l 则动点八 的轨迹是 刊 评注本题旦1 的椭圆 上运动而且 靠近椭 口数 学家华罗庚所说解题 即转化 如果能从数列中跳出 来转化为椭圆的性质的应用解法 灵动了问题变 得简单了 类似的问题还有很多比如 在直角坐标系中 若与点A 2 2 的距离为1且与点B 粥 O 的距离 为3的直线恰有两条则实 数机的 取值范围为 分析将问题转化为以人为圆心半径 为 1的 圆与以B为圆心半径为3的圆恰有两条公切线 故两国是相交的位置关系 利用 R T AB R r 求解答案是 2 2万2 U 2 2 2 3 找到题中不样 的背景移步换形就会有新 的 认识就会有突破正如身在庐山之中 只能看到它 的峰岭丘壑识破问题的背景 解法自然触 及本质视野就不再受到局限 解题也不拘泥 了 三 诗旬三 山重水复疑无路柳暗花明又 村 1问题呈现 已知M N在抛物线Cx 4y上0为坐标原 点 动直线0MON的斜率分别记为k 壳 2 当k k k k 1时 问直线M N是否过定点 若过定 点 求出该定点的坐标i若不过定点请说明理由 2解法探究 设直线M N的方程为 kx十b点M x J1 N 2 y2 联立直线M N的方程与抛物线方 程 消去 后得 4b0所以 X l X 2 42 Fx1xz 4b 又 一 兰 k z 一 立全 代人 k x t 4 2 4 k k 1化简可得4 c1 x z c1c2 16所以有b 一 4k4故直线MN的方程为 kx十4k4恒 过定点 44 3评析启迪 如果本题先用趴 k来表示出M N点的坐标 然后进步写 出直线 MN的方程计算繁琐导致 结果出不来此时需要学会变通 这也再次说明做解 析几何题往往 第粒纽扣 很重要 旦第步 设 的不好可能会导致走不通常规方法或许计算 繁琐困难重重 为什么不改变 下绕道而行 山峦 重重水道弯弯 与众不同的思维 就能绝处逢生 课堂小结掌握常见基础知识点 因为那是解 题 的活水源头把握知识的相关点 移步换形数形 结合因为解题即转化 善于寻找解题的突破口 逆 r么 飒破点 八在以B C 为焦点 着烈的增大 动点 A越来越 i圆短轴的端点从而 S 为递增数列正女 32数学通讯 20 16 年第9期 下半月 解题方法 剖析2016 为了能准确把握高考命题趋势笔者细细地品 味了2016年高考中的导数试题感觉这些试题平淡 中蕴藏精彩很值得我们思考和总结在解析这些试 题中 笔者深深地感到分类标准的合理建立 函数 隐零点的处理技巧的应用 关注函数值为零的点 函 数构建的局部与整体的把握是解决这些试题最大的 思维障碍点非常值得我们深入研究和探讨 为此 笔者就这些思维障碍点谈谈 自己的点想法供读 者参考 1分类讨论中分类标准的合理建立 借助导数解决含参函数的问题时能适时进行分 类讨论是学生不得不掌握的基本的能力在教学 中 我们总能发现很多的学生分类讨论比较紊乱没有 清晰的分类标准 这是需要特别引起关注 的在教学 中 我们需要让学生理解分类讨论的合理性 也即理 解为什么讨论 基于何种因素讨论 如何合理建立分 类标准进行讨论等基本问题 更重要的是要总结常 见 的分类讨论 的基本范式 例如 在进行函数单调性 讨论时 我们可以以函数的极值点的个数多少进行 讨论在求解函数最值时 要基 于函数单调性来确定 最值可能取到的各个函数值 再比较这些函数值的 大小等等事实上 20 16年高考对这些基本问题的 关注度依然很高 例1 2016年高考天津卷第 20题 设函数 f x r 1ya rb r R 其中a b R 1 求f r 的单调区间 若f r 存在极值点 r ol且f cl f zo 其中r l xo 求证 r l 2 o 3i 皿 设a O 函数g x If I 求证g r 在区间 0 2上上的最大值不小千 上 3 4 解 1 由于j r 3 c1y a下 面通过 讨论f x 的极值点 若a 0 时 f r 在 oo oo 上单调递增B 若a 0 时f x 有两个极值点 且当 1 或 1十 时e 妁 0 从而f I 在 oo 1上单调递增 在 1 1 上单调 蘧硪在 十o o 上单调递增 由 I 中 的讨论 可知 使f c 有 极值点 时则a 0 由于厂 E O 即3 z o 1Y a O 故a 一 3 Z o 1y从而 x o 1 2 3 x o1 1 2 x o1 1 由于 1 o 故r i 2z o 3 皿 由 U 知当a O时 f z 有两个极值点 其中m 1 为极大值点 1十 为极小值 l f mi l 因此我们要先讨论 f T 的单调性再 年高考导数试题中的 思维障碍点 林国夫 浙江省春晖中学 312353 卜数进行分 类讨 论 无极值点 且f O 故 解题方法数学通讯 2016年 第9期 下半月 3 3 讨论两个 极值点 T 的单调性再 确定 f x 一 f mi 的可能取值 当机 1 O 即a 3时 则当 仁0 2 时 f r O 从而f r 在 0 2 上单调递减 f x l 1ni f 2 l2ab r 2 2 2 2 当0 a 3时则当 O m U n 2j时 f r O当r m 川时f T O从而f r 在 O m 上单调递增 在 m n 上单调递减在 n 2 上单调递增故 f r mi min f n f 0 f x Max f m f 2 下 面我们具体确定 首先来 确定 f r mi 考虑 到 f n 3 n f 0 2a n 3丁 一 了 n 1 o 由此可知 f x if n 再来 确定 f 工 与上述类 似f m 27 号 b 又 f n 12ab 则 f m f 2 2 a 1 故当 0 a 主时 f r f 2 当 a 3 4 4 时 f x f z I 当O a 时 mi n f r 1 2n 2 2 2 3 4 2 当 a 3 时 n mm 1 mny lm 2n 目 l 2 2 综合上述 g z 在区间 0 2 上的最 大值不小 于丁 尽管上述求解过程比较冗长但是讨论的思路 是非常清晰的 我们先通过讨论f x 在 0 21上的 极值点的个数也即 比较m ln与区间 0 2 的位置 来确定f r 的单调性 从而来确定f r 的最值取到 时可能的位置再确定具体的最值这其实是解决含 参函数最值或不等式最基本的程序具有典型性 非 常值得我们总结和归纳 2函数的隐零点及其处理策略 从本质上讲利用导数解决含参函数问题 关键 在于确定函数的单调性其核心在于确定函数的极 值点的位置退步讲即求解导函数的零点问题 但 是导函数的零点在很多时候 是无法直接求解出来 的我们称之为 隐零点 即能确定其存在 但又无 法用显性的代数式进行表达 对于 隐零点 我们 处理的技巧是 形式上虚设 运算上代换 数值运算 上估计 策略上等价转化 例2 2016年高考全 国卷I 第21题 已知函 数f x 2 e a T1y有两个零点 I 求实数a的取值范围 设z 1 是f x 的两个零点证明 c1 x z 2 解 I f r 的定义域为R f T x 若2a O 即a 0时 2a 0故当 时f x OB当 1时f x 0故f r 在 2 4 求 解f x 的最 值因此我们需要 m ln是否在区间 0 2 内来确定 34 数学通讯 2016年 第 期 下半月 斛 周 万 oo 1 上单调递减 在 1 o o 上单调递增由于 a O时 或lim f r oo 当a 0时 f x 的 草图如下当a 0时为图 1 当a0时 为图2显 然a 0符合条件 X 图1 图2 自当2a O 即a 0时则方程e 2a O有唯 实根To即e 十2a 0由df r 有两个零点则 r o 1下面我们讨论 r o与 1的大小 i 当T o 4 1时则 当r E o或 r 1时f r O当 T 1时f T O故f T 在 一 z o 上单调递增 在 r o 上单调递减 在 1 c o 上单调递增 考虑 到lim f r o o f To T o 2 e a x o 1 2 x o 2 2a a x o 1 2 a x 4 o 5 40 f 1 e Oi lim f x o o则f r 的草图如图3不符合条件 l7 图3图4 ii 当r o 1时则当 r 1或r x o时f T O当1 r o时f T O故f r 在 一1 上单调递增在 1 了o 上单调递减在 z o o o 上 单调递增考虑到 lim f o o f xn J o e o a x o 1 z x o 2 2a a x o 1 2 x4 o 5 40 f 1 e oB lim f x 需证明f r z f 2 r 由于f Tz O 故只需 Z 考虑到厂 山 T t 2 e a T1 O T e z I 其中山 1 构造函数 T 2 y Me z e 40 x41 2x X 从而从r 在 o o 1 上 单调递减故h r h 1 0 图5 h T 1 0命题得证 在上述问题 的解决过程中 在第 I 问中我们 对极值点x o不进行直接求解 若要求解也是可求解 的但还是虚设更清晰 并在分析f T o 的正负性 时进行了代换 即e 用 2a代换 从而实现简化 表达式的作用在解决 U 问时 我们利用函数的单 调性进行了等价转化 可谓奇妙 这些处理隐零点 的技巧是非常重要 的 在解决下列问题的过程中这 些技巧的应用则更显得淋漓尽致 请读者细细品味 例3 2016年高考全 国卷 U第2 1题 J j t 1 Wj 1 eB9早调往 开让 明当x 0时 z2 e T 2 O 皿 证明 当a 0 1 时 函数 g ax a x 2 r O 有最小值 设 g r 的最小值为 a 求函数h a 的值域 解 I f z 的定义域为 oo 2 U 2 cJo则f r 的 草 图 如图 4不符 合条 件 综合上述 实数让 的取值范围为 O c o I 当a 0 时f T 有两个零点 r 1Fzz且r 1 x z 如图5 要证明 T1 xz 2即证 z 2 r 由d 2 Tr 1 r z 1且f 了 在 1 co 上单调递增故只 表 y八X X 解周方法数学通讯 2016年第9期 下半月 3 5 土 0从而 八a在 一 2 上单调递 下面求 a 的值域由于 a g m 一 增 在 2十o 上单调递增 m z 考虑到 m 2 e am 2aO 从而 由千岁r 0时不等式 r2 e T 2 O仁 m 1 器亡 T 42 考虑到f 了 在 O o o 上单调递增 从 而f r l 八0 1 0 故上述不等式成立 由于 牙 T z r 0 则 r a x z 2T e a xa x2 e ax 2a 为了能讨论g r 的正负性 设r T x2 f r ux 2a 0 则 r x e x e a 一 T1 e十a Fr 工e O 从而r x 在 O cx 上单调递增 从而r T 在 O co 上的值域 为 1 a F o o 由于 0 a 1则1 a O故 r 在 O c o 上存在唯零点 即 x o 1 e u O 其中0 x o4 1 故当0 x x o 时 r O当 x o 时 r T 0 即 1 T 在 0 x o 上单调递减 在 x o oo 上单调递增 考虑到lim r r 2 2a O x o 1 Tn 1 o o从而r r 的 草图如图6所示 从上可知r x 在 O J o o 上存在唯零 点 y X m且当0 x m时 O 当 m时r r O r x g r 丁 0从而 g 1 在 0 m 上单调递 图5 减在 m o o 上单调递增从而g r 在 O oo 上有最小值 a g m 其中r m m2 e at 1 2a 0 三 2 e 下面我们估计的范围由于 a m 2 一 f m 考虑f r 在 O c o 上单调递增且f 2 o f 0 1 X1 a 0 故 o4 142 hta m 2 对双曲线 有 号 一 弘 一 只 性质6如图4对于椭圆1为内心延长线段 PI 交线段 F F 于 Q 则有 仔 e 性质7如图 5对于双曲线 为旁心延长 P 交线段F 几 的延长线于Q 则有仔 卦 e 23焦点三角形与面积之间的关系 三角形中个最重要的问题就是求三角形的面 枧 对于焦点三角形来说 除常见面积公式之外必 图4 然隐含着其自身特殊 的面积计算公式 性质 8 如 图 1对于椭圆 有 S F F 一 bz 号对于双曲线 有S F 一 号 由性质8易得 推论 5对于椭圆 有I PF II P F I 一 1 c o s7 B对于双曲线 有I PF I I PF 1 1 c o s bz tan L 推论6如图 1对于椭圆有yp 对 n z c ot 于双曲线有yp i 性质9若I PF 1 I PF I 对 椭 圆 有 b 三下对双曲 线有 S F pF 一 A F t PF 2 n m 性质10如图1若 I p F I 1 p F I 对于椭 圆有 S F p F b a 2 书 Y 对于双曲线有 Sa r p F n 2 d z c 2 性质11若1 0P I 对椭圆 有S乙F pF 一 b 三下对双曲线 有S F p F 办 m 性质12如图4对于椭圆 为 P F F 的内 切圆的半径则S如F pF r a c 性质13如图5 对于双曲线 为 P F F 的 旁切圆的半径则S F p F r m c 既然焦点三角形内切圆 旁切圆与焦点三角形 的面积有着必然联系那么外接圆呢 性质14对 于椭 圆 有Sa F pF 一 cbz R土 萨三下 对于 双曲 线 有S F pF 一 图2图3 推论7对于椭 圆当 号 时S F p F B 对于双曲线当 号 时SaF pF n 24焦点三角形涉及的光学性质 圆锥曲线的焦点三角形中的 焦点 其实就是 源自物理光学中光线聚焦之处因此圆锥曲线天然 与物理光学有着不解之缘即与圆锥曲线的切线和 法线密切相关 性质15如图6椭圆上任点P处的法线平 分过该点的两条焦半径的夹角 即P处 的切线平分 过该点的两条焦半径的夹角的外角 基于此从椭圆个焦点出发的光线经过反射 后聚集于另个焦点这正是椭圆的光学性质 性质16如图7双曲线上任点P处 的切线 平分过该点的两条焦半径夹角 即P处 的法线平分 过该点的两条焦半径的夹角的外角 基于此从双曲线个焦点出发的光线经过反 射后似乎其反向延长线聚集于另个焦点这正是 双曲线的光学性质 图6 图7 由上述性质15性质 16易得 推论8椭圆 双曲线 个焦点F 关于椭 圆 双曲线 上任点P处 的切线的对称点为Q 则直 线PQ 必过该椭圆 双曲线 的另 个焦点Fz 由上述性质15性质 16及推论8就得到以下 性质 性质17过椭圆上任意不同两点A B作椭圆 的切线若两条切线垂直且交于点P 则点P的轨 迹为圆r 2 y 2 a z 十 性质18过双 线及法线的斜率有着本质的关联 性质19如图6对于椭 圆 过点P的切线斜 11 2a z 2 率为k则石 十 从 pF 一 d 2 1 IZ 性质20如图7对于双曲线过点P的切线 斜率为壳则女 女 一 竽尚 依据性质19与性质20易得 推论9设点P处法线斜率为k 对于椭圆 双 k k 2 曲线 有呵 十石 1 e z 25焦点三角形内切圆 外接 圆及旁切圆的关系 性质21如图8对于椭 圆点 P到焦点三角 形 P F F 的内切圆的切线长为定值 ac 性质22如图9对于双曲线点 P到焦点三 角形 P F F 的旁切圆 指旁心在 P F F 平分线 上 的切线长为定值cm 图8 图9 性质23如图10对椭圆焦点三角形的内心 1的轨迹方程为 十鱼书 歹 兰 1 o 性质24如图11对双曲线 焦点三角形的内 心I的轨迹方程为x m n y n 0 图11 bz 线上任意不同两点A B作双 图10 44数学通讯 2016年第9期 下半月 专论荟萃 由上述性质23性质2 4易得 推论10椭圆焦点三角形的 内切圆 圆心在以 原来椭 圆焦点作为顶点的 小椭圆 上充分体现了 椭圆的遗传不变形性 推论11双曲线的焦点三角形的内切 圆圆心 恒在条线段上且与 轴相切于双曲线的顶点 推论12动圆M与以F c Fo F c O 为 端点的线段相切于A a Fo c a 0 则过F F 且与动圆M相切的两条直线的交点P 的轨迹方程 崞 1如图12 性质25如图13 对椭圆焦点三角形 P F F 的旁切圆 指旁心在 PF F 的平分线 上 的圆心的轨迹方程为 ra 图12 图 13 性质26如图14 对于椭圆焦点三角形 P F F 的旁切 圆 指旁心在 F P F 的平分线 上 的圆心I的轨迹方程为 十 云孓 兰 1 0 性质27如图15对于双曲线 P F F2的旁 切圆 指旁心在 P F F 的平分线上 的圆心I的 轨迹方程为 丝絮乒兰 1 r c 图14 由性质25性质261 推论4可得 推论 13对于椭圆 当焦点三角形的旁 切圆圆 心在 PF F 的平分线上 时其轨迹恒 在直线上 当焦点三角形的旁切 圆圆心在 F P F 的平分线 上时其轨迹是 个 小椭圆 二者结合反 映了椭圆 的遗传与变异 推论 14对于双曲线焦点三角形的旁切圆圆 心在以原来双曲线的焦点作 为顶点的 大双曲线 上充分体 现 了 双曲线的遗传不变性 推论15 若动圆与以 F cro F c O 为 端点的线段相切 于 A a l o a c 0 则过F F 且与动圆相切的两条直线的交点 P的轨迹 方程为 我们熟知三角形的内切圆与外接圆的半径之间 有著名的欧拉定理作为特殊三角形 焦点三角 形其内切 圆与外接圆 的半径之间还 通过圆锥曲线 最为显著的特征离心率之间建立关系 性质28对于椭 圆焦点三角形的 内切圆与外 接圆的半径之比云 2 e 1 e 26 共焦点的焦点三角形 焦点三角形分为单个圆锥曲线的焦点三 角形及 共焦点的圆锥曲线的焦点三 角形上述都是针对单 个圆锥曲线的焦点三 角形以下进 步研究共 焦点 的圆锥曲线的焦点三 角形的性质 设椭圆和双曲线 的离心率分别为 e和e 2 性质29 如图1 若椭圆与双 曲线共焦点 则 有 2si na 2 el ez s 1ny 性质30 P是共焦点的椭 圆与双曲线的交点 经过点P 的椭圆和双 曲线的切线相互 垂直 性质31如图1 若椭圆与双 曲线 共焦 点P 是椭圆与双曲线 的交 点则有 S F pF bn 性质32 如图1 若椭 圆与双 曲线共焦 点P 是交点则有 c osac o s p 爷茅 由性质32易得以下结论 推论17椭圆与等轴双 曲线 共焦点 F F z P 图 15 性质27及证明过程并结合 是它们的交点 则cos a c osR 生 2 e 专论荟萃数学通讯2016年 第9期 下半月 4 5 3点感悟 31渴 望与心愿 波利亚感叹 好问题如同蘑菇类似它们都成 堆地生长 找到个以后你应当在周围找找很 可能附近就有好几个 焦点三角形 问题正像 蘑 菇 教师应该 领学生寻觅蘑菇群 不仅节约宝 贵的教学时间极大地提高课堂教学效率而且能破 解批又批试 题将学生从苦不堪言的解析几何 综合问题的泥潭中解 放 出来更为重要的是对提升 学生学习数学的积极性 增强学生的自信心 优化学 生 的思维品质激发学生的创造能力 构建新课改下 的魅力课堂大有裨益 有关焦点三角形相关试题频频出现在各类试题 中 常考常新 常新常考学生疲于应付因此迫切渴 望有关焦点三角形 相关性质的归类以便直接利用 和进步研究这正是笔者先后 花去三年多时间构 思并撰写拙文的本意所在 32命制与赏析 有关焦点三角形的综合问题主要有两类 其 是问题特殊化即将上述性质及推论中的字母 赋予具体数字就得到个个鲜 活的试题 主要体现 在选择题填空题以及解答题 的第 1问其二是特殊 问题般化即将具体问题引申 拓展推广其中先 借助现代信息技术 如几何画板 直观感觉 再进 步给予严谨论证从而发现 般规律这主要体现在 各类考试乃至竞赛的压轴题 上述两种策略正是专 家命制试题 的依据所在专家不断地在 般与特殊 之间切换 从而命制出许许多多令人惊叹的高质量 试题充分凸显特殊与 般具体与抽象等数学思想 方法 33遗传 散见于很多文章之 中虽然内心真诚想把这 些作者 列 出但由于未能及时记录这些作 者与文章 加 上构思这篇文章断断续续三年多在此向相关作者 致以深深歉意请求谅解 同时致以深深感谢让笔 者及读者们得到份较为完整的资料并分享到您们 的研究成果 由于篇幅限制本文没有对上述性质给予详细 证明 敬请谅解其 中绝 大部分性质的证明较 为简 单 部分性质的证明过程较为复杂 比如性质4 5 6232628及推论4详见 文 2 性质8推论 45 6详见文 副性质1213 14详见文 4 性质17 18 详见文口 性质2 1 232426 27详见文 7l 性质303 1 32详见文邙 9 等 参考文献 1 吴跃 忠等关于等差 等比 数列 的研究进展口 数学 通讯 教师刊 20 15 6 384 1 町熊光汉椭 圆焦点三角形 的若干 性质口 数学通报 200 4 5 2425 国徐希扬双曲线焦点三角形的几个性质 J 数学通报 2 0 0 2 27 国玉邴图焦点三角形面积 的另类公式 4 数学通讯 20 06 15 28 国王淼生黄昌毅蒙日圆以及应用口 中学数学 高 中 版 2016 0 国唐永金圆锥曲线焦点三角形 的性质探微口 数学通 报2000 9 24 25 罔闻杰神奇的圆锥曲线与解题秘诀 M 杭州 浙江大 学出版社 2013 国王淼生共焦点的 圆锥曲线离心率之间的性质口 福 建中学数学2013 12 9 王淼生由道质检题得到组有趣的结论口 福建 中学数学2013 10 1113 王淼生从道模拟试题到道联赛试 题口 福建中 学数学2012 10 4749 王淼生从道质检压轴题所联想到的口 高中数学 教与学2013 10 1416 王淼生 攻克解几试题 的策略组团抱团 4 中小学数学 高中版 20 14 5 55 58 34 M意与感恩 13 王淼生师不 必贤于弟子 J 数学通讯 上半月 上述性质既是教学心得及试题拓展 又是偶尔2014 78 24 拜读名家大师相关文章 著作的积累 由于这些性质 收稿日期 2016 o 401 与变异 圆锥曲线综合问题具有 家族 现象在 遗传 中蕴含 变异 同时 变异 中包含 遗传 上述性质 1o 完全展示遗传性与变异性的完美结合 彰显数学的 口1 和谐之美奇异之美比如性质 232627等体现遗 传性i性质24等体现变异性i性质 29性质30性质 1幻 31体现和谐性 复 习参锣教学目以 20 tl II 够 小 中1l 移 一矿 求A嗔 访的取猩t范l1i 变式二L知八八陨址位的 内B 襄角形 求两 i消的取fl 范障1 变式三如1矧7八1J址 圆0的条弦名 1 P满 足 万 兀万求川 门 j 5j 取最 J l ll t tkJf1 1 变式四 I方体八13 cD八13 D 的棱长为 2 M N 是它内切球的条 图 弦 把球面上任意两个点之 间的线段称为球的弦 9 P为正方体表面上的动点 当弦MN最长时求 尸月的最大值 该组变式的设计从 引题 的发现引1 极化恒 等 到 变式 的简单应 用到 变式二变式三 的 思维提升再到 变式四 的推广拓展每个变式题的 设计意图清晰目的 明确而笔者以为 更重要的是 每道变式题均有题多解的功能 而且都以极化恒 美lJq数 B察哈尔1UU 说问题是数学的心 U1 欲 eB 1 趔课 B 1B的 l 街有效建钰 取 决l 否 能设计出 好问 I j 好变式 而笆本以为 题课 1好的l i 1 l j变式 1亥是 有竹 t有思想有 知 规律的试题优质的问题 I j变式不仅能加1深 Y八对 JI 础知杉的川 解和节佣对思想力法的领情与J川 还能提le1J i的思维能力 认 1门有F 0所以 3函数F T 在 1闩上单调递增 F r n山 F 1 司上的最小值是了 求实数 口的值 3 2 若 1时f r g c 恒成立求实数 口 u 1这与函数F 在li 刁上的最小值是号 相矛 的取值范围 盾 3 当n 2且n N时 求证 若1 u e在 1 u 上有F 了 0函数 ln2 ln3 ln71 1 F x 单调递减在 u e 上有F O 函数F 力 丁 十1 单调递增所以 F 山 F a lnu l B ln t l 县I 所以 所以 当 k十1n 原不等式成立 由 知 原不等 式 成 立即 丁丁 Irv1 厂 考查目标 本题 以对数函数和 对勾两数 为背 景主要考查导数的应 用 求最值 不等式恒成立和 不等式的证明等知识 以及导数法求单调区间 和最 值构造函数法 二阶求导法 累乘法或 数学小1纳法 等数学方法 函数与方程思想 分类讨 论思想转化 化归思想等数学思想 综合考查了学生的逻辑思维 能力等价转化能力和运算能 力 设计思路本题以近几年高考压轴题 的模式为 命题方 向以 两效导数和不等式 为载体的导数综合 运用题第 1 问设计厂利用导数求函数的最 问 题给1 了最小f良求所含参数的值融入 了分类讨 i仑思思要根据给 定 1司 1e x寸进行讨论进 步求出函数最小值进而求出 的值B第 问 世i 丁不等式和1成 I1 题需要构造函数 二次求函数的 导数求得函数11B人们 进而求出 1的取f1 范 第 0 Y承 接 第 2 111 设iB丁 iu明 个合刀的不等式 了liJ 明过Pl 中要用到第 同的结 论 l 叮以运用 累粟 法证明 也可以达川常见的数学1纳法进行h1明 因 为本给出的函数 Y 比较熟悉 所以第 l 11i Y l 人F 客场f1t是第 2 斤 lj中要研究 同 午牧的单调W和 第0同中远川第 2 卜ij解题 过程 中得B禺 n 1 1t 至关重 要 这 些都是学生的软肋 难度估计 50 命题人 韩红军 陕西省麟游县 中学721599 题21 1 设点M到坐标原 tco的距离和它 到直线 了 1n n1 0 的距离之比是 个常数 tj h B 僻 r 川 介 条 f B 1 记点M的轨迹为曲线C 1 求曲线0 的方程并讨论 的形 的关 系1 复习参考 数学通讯 20 16年 第9期 下半月 6 1 线C 向左平移个单位得到曲线E 过点P 2 0 的直线t与曲线E交于不同的两点 八 r 1yi 一 32T 于是a 32z 当AD与 轴垂直时 八点的横坐标为 1 B r e J2 过 F 1 0 的直线AF B F分别交曲线E a 1显然 a 32r 也成立 于点DQ设八 方万事 卢 苍 p R 求 十 同理可得 P 32r z P的取值范 围设直线1的方程为 是 x 2 代人曲线E 的方程并整理得 22 2 nx z 82 Z 工 8k z 2o 依题意 有k 0且丛一 8V 4 22 z 1 82 2 o解得o 专 Bk z 又r l 卞r z 2 十1 贝Ij a十芦 苫 1十 3 2 2m x m m Z A 1罔 戡 刀刀卞 1 2 2 瓦条 1当 1时 曲线C 为焦点在 轴上的双 1 2 曲线 当0 1时曲线C为焦点在 轴上的 椭圆 图1图2 当 m 一 1时得到的曲线C 的方程 为 气 严 十 1故曲线E的方程方学十 1 1 Fy a 由万事 一 方得 Jl ay3即a J3 当AD与 轴不垂直时直线A D的方程为 一 为 T1 即x 十拍 代人曲线E X l 1 71 的方程并注意到会十 1整理得 32x r 十 82 2 8 62 x x 2 62X 2k z 4 1 14 22 Z 4 1 由0 叫得6 14 六 10即6 a p 1o 故a P的取值范围是 6 10 考查目标考查 圆锥曲线的第二定义考查椭 圆双曲线抛物线的统方程考查椭圆双曲线焦 点位置与方程 的关系 考查直线与椭圆的位置关系 考查平面向量的坐标运算等知识考查设而不求法 整体代人法等数学方法和分类讨论等数学思想 综