高中数学第三章3.2均值不等式自主训练.docx

3.2 均值不等式自主广场我夯基 我达标1.x、y同号，当取最小值时，一定有( )A.x=y=1 B.x=y=-1 C.x=y或x=-y D.x=y思路解析：因为x、y同号，所以与都是正数,取最值时=,再由x、y同号,知x=y.答案：D2.下列函数中，最小值为4的是( )A.f（x）=x+ B.f（x）=2C.f（x）=3x+43-x D.f（x）=lgx+logx10思路解析：逐个排除.其中A,D选项不能保证两项为正,排除;而B选项不能取得等号,f(x)=24,要取等号,必须,即x2+4=1,这是不可能的.答案：C3.设x,y为正数,则(x+y)(+)的最小值为( )A.6 B.9 C.12 D.15思路解析：x，y为正数，(x+y)(+)1+4+9，选B.答案:B4.在区间，2上，函数f（x）=x2+bx+c（b、cR）与g（x）=在同一点取得相同的最小值，那么f（x）在区间，2上的最大值是( )A. B.4 C.8 D.思路解析：g（x）=x+13,当x=1时取等号,即当x=1时取最小值3,所以f（x）的对称轴是x=1.所以b=-2.再把(1,3)代入即得c=4.所以f(x)=x2-2x+4,易得在，2上的最大值是f(2)=4-4+4=4.答案：B5.(1)函数f（x）=x+（x5）的最小值为_.(2)函数y=（0x10）的最大值为_.(3)已知2x+3y=12，且x、y均为正数，那么xy的最大值为_.思路解析：(1)由于x5,所以x-50,f(x)=x-5+52(x-5)+5=7,当x-5=,即x=6时取最值;(2)=5,当x=10-x,即x=5时取最值;(3)首先根据条件凑出定值,把xy进行变化:xy=(2x)(3y)=6.答案：(1)7 (2)5 (3)66.已知a、b、c为不全相等的正数，求证：lg+lglga+lgb+lgc.思路分析：根据对数的性质,首先把对数符号去掉,得abc,然后,再利用均值不等式及其变形进行证明,由于式子比较复杂可以采用分析法书写证明过程.证明：要证原不等式成立，只需证lg（）lgabc.又y=lgx是增函数，只需证abc.又已知a、b、c为不全相等的正数，所以由基本不等式，知上述三个不等式不能同时取到等号，abc成立.原不等式成立.7.已知a、b、cR，且a+b+c=1，求证：（-1）（-1）（-1）8.思路分析：首先根据条件a+b+c=1，把其中分子上的1全部换成a+b+c之后,每个括号中的项分别使用均值不等式,然后相乘即可.证明：，又a0，b0，c0，即.同理,可得.由于上面三个不等式的右边都是正数，相乘即得（-1）（-1）（-1）8.8.如图3-2-1所示,平面直角坐标系中，在y轴正半轴（坐标原点除外）上给定两点A、B，试在x轴的正半轴（坐标原点除外）上求一点C，使ACB取得最大值.图3-2-1思路分析：本题是一个含有识图以及与三角函数有关的综合题,首先根据图形建立ACB某一三角函数的一个解析式,根据解析式和均值不等式求最值即可.解：设点A坐标为（0，a），点B坐标为（0，b），0ba，点C坐标为（x，0）（x0），ACB=，OCB=，则OCA=+（0），tan=tan（+）-=.当且仅当x=，即x=（x0）时等号成立.因此当x= 时，tan取得最大值，ACB取得最大值.我综合 我发展9.已知不等式(x+y)()9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为( )A.2 B.4 C.6 D.8思路解析：不等式(x+y)()9对任意正实数x，y恒成立，则1+a+a+19，2或-4(舍去).所以正实数a的最小值为4.答案：B10.若a,b,c0且a(a+b+c)+bc=,则2a+b+c的最小值为( )A. B. C. D.思路解析：若a,b,c0且a(a+b+c)+bc=,所以a2+ab+ac+bc=，=a2+ab+ac+bc=(4a2+4ab+4ac+2bc+2bc)(4a2+4ab+4ac+2bc+b2+c2).所以()2(2a+b+c)2，则(2a+b+c).答案：D11.设tanx=3tany(0yx),则u=x-y的最大值是( )A. B. C. D.思路解析：这是一个和三角函数有关的最值问题,首先要根据三角函数和与差的公式,写出x-y的一个函数关系式:tan(x-y)=,而0yx,所以0x-y.所以0tan(x-y).所以x-y的最大值为.答案:A12.均值不等式（a，b都是正实数，当且仅当a=b时等号成立）可以推广到n个正实数的情况，即对于n个正实数a1，a2，a3，,an有 (当且仅当a1=a2=a3=an时,取等号).同理,当a,b都是正实数时,(a+b)(+)=4,可以推广出这样的结论:对于n个正实数a1，a2，a3，,an,有(a1+a2+a3)();(a1+a2+a3+a4)() ;(a1+a2+a3+an)( );如果对于n个同号实数a1，a2，a3，,an(同正或者同负),那么,根据上述结论,(a1+a2+a3+an)(+)的取值范围是_.思路解析：根据所给结论及类比的方法,可得(a1+a2+a3)( ).同理,(a1+a2+a3+a4)( )16,(a1+a2+a3+an)( +)n2.当实数a1，a2，a3，,an都是负数时,(a1+a2+a3+an)(+)n2.答案:9 16 n2 n2,+）13.已知直线l过点P(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为_.思路解析：设直线l为=1(a0,b0)，则有=1.得1=，即ab8.于是，OAB面积为S=ab4.答案:414.某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，其使用规定：不记名，每卡每次只限一人，每天只限一次.某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元，（1）若使每个同学游8次，每人最少应交多少元钱？（2）若使每个同学游4次，每人最少应交多少元钱？思路分析：把实际问题抽象（转化）成数学问题（比较代数式的大小）也就是建立数学模型是解应用题的关键，而恰当地设出未知数往往是把实际问题抽象（转化）成数学问题的第一步.解：（1）设每批去x名同学，共需去批，总开支又分为：买卡所需费用240x，包车所需费用40.y=240x+40（0x48，xZ）.y=240（x+）2402x=3 840，当且仅当x=，即x=8时取等号.故每人最少应交=80（元）.（2）设每批去x名同学，共需去批，总开支又分为：买卡所需费用240x，包车所需费用40.y=240x+40（0x48，xZ）.y=240（x+）2402x=1 9202，当且仅当x=，即x=5.66时取等号.但0x48，xZ，当x1=5时，y1=240（5+）=2 736；当x2=6时，y2=240（6+）2 720.y1y2，当x=6时，y有最小值，即ymin2 720.故每人最少应交56.67元.15.用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图3-2-2),设容器高为h米，盖子边长为a米，图3-2-2(1)求a关于h